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어른이 되어도 수학공부를 해야 하는 이유

학창 시절 입시를 위해 어쩔 수 없이 수학을 배웠던 사람들이 많았다. 하지만 분야에 상관없이 본질을 명확하게 보기위해, 문제 해결을 위해 체계를 스스로 만들고 논리적인 해답을 찾기 위해선 ‘수학적 사고력’이 필요하다. 『수학의 힘』은 수학적으로 사고할 수 있도록 돕는다. 수학은 계산하는 학문이 아니라 헤아리는 학문이라고 저자는 말한다. ‘계산’의 괴로움에서 ‘헤아림’의 수학적 깨달음을 알려주고 하는 것이 이 책의 목표이다.

저자는 우리가 수학을 배워야 하는 이유로 ‘살아가면서 만나는 각종 문제 상황을 합리적으로 바라보고 해결할 수 있는 능력을 기르기 위해서’라고 말한다. 수학은 ‘수’와 ‘도형’이라는 언어가 ‘논리’라는 길을 통해 하나의 사고 체계를 이룬 것을 말한다. 즉, ‘수(대수)’와 ‘도형(기하)’, ‘논리력’이 수학의 핵심이며 이 책은 이 세가지 개념의 깊이 있는 탐구이다. 본문의 60여 개의 사례와 문제를 통해 문제 해결 과정에서 ‘수학적 사고’를 어떻게 해 나가는지 보여주며 학창 시절 배웠던 수학이 새로운 세계에서 더 넓은 곳을 바라보게 하는 ‘힘’을 주고 있음을 알려준다.

우리가 수학을 공부해야 하는 이유

20세기 미국의 교육심리학자 브루너(J.Bruner)는 수학 학습의 목표가 지식 획득이 아니라 지식을 만들어내는 구조의 내면화라고 말한 바 있다. 구조는 곧 본질이며 논리가 작동하는 길이다. 중요한 것은 구체적인 문제 상황에서 본질(구조)를 파악하고 지식을 구성해낼 수 있는 능력이지 지식 그 자체가 아니다. -본문 중에서

학창 시절 대학 입학를 위해 어쩔 수 없이 극기 훈련하는 느낌으로 수학을 배웠던 사람들이 많았다. 졸업 후 ‘수학은 살아가는 데 별 쓸모가 없어’, ‘돈 계산만 정확하게 할 줄 알면 돼.’라고 생각하는 사람들이 많은 것도 사실이다. 하지만 분야에 관계없이 문제의 본질을 명확하게 꽤 뚫을 수 있는 눈이 필요하다거나, 문제 해결을 위해 체계를 스스로 만들고 그에 따라 논리적인 해답을 찾기 위해선 무엇보다 ‘수학적 사고력’이 필요하다는 말을 들으면 왠지 부정할 수 없게 되는 것도 사실이다.
‘수학적으로 사고한다’는 것이 대체 어떤 것이길래 그럴 수 있을까? 성적이 좋았던 나빴던, 우리 모두 중ㆍ고등학교 6년 동안 다같이 수학을 배웠는데, 어디에 문제가 있었던 걸까? 수학적 마인드라는 게 존재하기는 하는 걸까?
수학은 계산하는(calculating) 학문이 아니라 헤아리는(thinking) 학문이라고 저자는 말한다. ‘계산’의 괴로움에서 ‘헤아림’의 깊은 깨달음으로 가야 함을 알려주는 것이 이 책의 목표이다.

다시, 진짜 수학을 공부하자

수학적 사고력이란 무엇일까? 저자는 우리가 수학을 공부해야 하는 이유 중 하나로 ‘살아가면서 만나는 각종 문제 상황을 합리적으로 바라보고 해결할 수 있는 능력을 기르기 위해서’라고 말한다. 그러기 위해서는 ‘수학적’으로 사고할 수 있어야 한다고 말하고 있다.
수학은 수(number)를 통해 문제를 해결하는 학문이다. 수는 세는 행위(counting)에서 시작되었고, 이러한 수가 인간의 감각(시각)을 통해 표현된 것이 도형이다. 즉, 수학은 ‘수’와 ‘도형’이라는 언어로 이루어져 있으며 그 언어는 ‘논리력’을 바탕으로 운용될 수 있다. ‘논리’라는 길 위에 놓여있지 않는 수나 도형은 단지 추상적인 그림에 지나지 않기 때문이다.
간단히 정리하자면 ‘수’와 ‘도형’이라는 언어가 ‘논리’라는 길을 통해 하나의 사고 체계를 이룬 것이 수학이다. 즉, ‘수(대수)’와 ‘도형(기하)’ 그리고 ‘논리력’이 수학의 핵심이자, 전부라고 할 수 있다. 이 책은 이 세가지 개념에 대한 깊이 있는 탐구이다.
저자는 수학의 기본 언어인 ‘수’와 ‘도형’이 수학적 ‘논리’를 통해 어떻게 우리의 사고를 넓혀주는지 구체적으로 보여주고 있다. 본문에 나와 있는 60여 개의 사례와 문제를 통해 문제 해결 과정에서 어떻게 ‘수학적 사고’를 해 나가는지를 직접 보여주는 것이다.
학창 시절 단지 문제를 풀기 위해 필요했던 여러 가지 수와 도형들이 이제는 새로운 세계에서 더 넓은 곳을 바라보게 하는 ‘힘’을 주고 있음을 깨닫게 한다.
책의 후반부에는 수와 도형이라는 수학의 언어가 함수와 미적분으로 통합, 확장되어가는 과정을 담았다. 인간이 자신을 둘러싼 환경을 본격적으로 분석하고 이해하는 과정에서 탄생한 함수와 미적분의 세계는 수학을 통해 우리의 사고가 얼마나 넓게 펼쳐질 수 있는지를 알게 해 준다.

수학의 세계는 딱딱하고(堅) 엄밀하면서도(嚴) 부드럽고(柔) 융통성이 있다(融). 고통스럽지만 이해의 순간에 기쁨이 있다. 수학적 이성은 감성의 반대편에 있는 것이 아니라 그 연장선상에 있으며 감성이 고도로 집약되고 절제된 형태다. -본문 중에서

<프롤로그>
-우리에게 수학 시간이 괴로운 이유
-수학은 계산이 아니다
-수학의 본질은 합리적 문제해결에 있다

Ⅰ. 수학의 기본 요소__논리ㆍ도형ㆍ수

1. 생각의 흐름을 이끌어가는 힘, 논리력
1) 연역추론
① 삼단논법
② 정의하기
2) 개연추론
① 귀납
② 유추
3) 개연추론과 연역추론은 서로를 필요로 한다
2. 직관으로 추론하는 힘, 기하력
1) 직관의 세 축: 닮음, 같음 그리고 극한
2) 모든 것은 정의에서 시작되었다
3) 정의는 정의하기 나름
4) ‘같음’에 대한 새로운 정의가 만들어낸 기하학, 위상수학
3. 문자로 추론하는 힘, 대수력
1) 수의 자리를 문자로 대신한 대수
2) 대수적 문제해결의 두 단계, 번역과 변형
3) 사고 과정을 계산 과정으로 바꾼 불 대수

Ⅱ. 수학의 확장__함수ㆍ미적분

1. 변화를 이해하는 힘, 함수
1) 독립과 종속으로 변화를 묶다
2) 대수와 기하의 통일, 함수
3) 변화를 넘어선 함수: 독립, 종속에서 대응으로
4) 대응으로부터 발견된 동형구조
2. 변화를 보다 정밀하게 다루는 힘, 미적분
1) 속도 구하기로부터 시작된 미분
2) 순간변화율로 변화의 전체 양상을 이해하다
3) 위치 구하기로부터 시작된 적분
4) 미분을 거꾸로 계산함으로써 변화의 총량을 구하다

<에필로그>
-수학은 학문의 원형이다
-사유의 종착점, 자유
-힐링에서 성숙으로: 어른들이여, 수학을 공부하자