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수학적 사고법 : 시행착오를 통해 생각의 해답을 찾는다

원제 : 數學的思考法
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책소개

『수학적 사고법』은 학생들에게는 수학을 배우는 데 있어서 중요한 핵심을 일러주고, 어른들에게는 수학적 사고법에서 중요한 핵심을 수학자의 눈으로 쉽게 설명한 책이다. 어려운 수식이 없이 칼럼 형식으로 되어 있어서 부담 없이 읽을 수 있다.

출판사 서평

업무나 일상생활의 어떤 일에 부닥쳤을 때
수학적 사고(思考)가 그 해결의 열쇠가 되어준다

최근 삼성이나 현대차 등 대기업 업무적성 검사 시험 문제에 ‘수학적 사고’를 요구하는 문제들이 출제되어 수험생들을 당황케 하고 있다. 삼성 관계자는 “이 같은 문제는 다양한 정보를 머릿속에서 취합한 후 종합적으로 사고하는 수학적 논리력을 측정하는 것”이라며 “기출 문제를 달달 외우는 식으로 준비한 학생들은 어려웠을 것”이라고 말했다. 이것은 곧 기업이 입시문제를 달달 외우는 모범생을 원하는 것이 아니라, 업무에서 능력을 발휘할 창조적인 인재를 원한다는 의미이기도 하다.
업무에서나 일상에서 어떤 일에 부닥쳤을 때 문제를 해결하기 위해서는 ‘생각하는 힘’이 필요하다. 그것은 논리적으로 분석하고 시행착오를 거쳐 해결방법을 찾아가는 과정인데, 그 과정에서 수학적 사고가 중요한 역할을 한다. 수학교육 교수인 저자는 요즘 젊은이들이 문제해결 능력이 부족하다고 생각하고, 그 이유 중 하나가 어릴 적부터 수학을 배울 때 암기 학습법으로 요령만을 배웠기 때문이라고 말한다. 이 책은 수학자의 입장에서 논리적인 생각과 설명하는 방법을 친절하게 소개하고 있다.

시행착오를 통해 ‘생각의 해답’을 찾는다
저자는 머리말에서 “원래 ‘창조’라는 것은 스스로 여러 가지로 궁리하여 새로운 것을 만들어내는 것이지, 무엇인가를 외우거나 흉내 내는 것이 아니다. 창조력을 키운다는 것은 ‘문제 해결을 위한 좋은 아이디어는 없을까’하고 시행착오를 거쳐 포기하지 않고 해결에 이르는 과정을 끈질기게 생각해나가는 힘을 기르는 것을 의미한다”고 밝히고 있다.
수학적 사고를 통해 배울 수 있는 것들 중에는 경제나 비즈니스뿐만 아니라 사회문제든 정치적 문제든 우리 주변의 여러 가지 문제를 생각하고 해결할 때 그 열쇠에 되는 것이 아주 많다. 그리고 ‘영감(inspiration)'이라는 것도 느닷없이 하늘에서 뚝 떨어지는 것이 아니라, 생각에 생각을 거듭한 끝에 문득 깨닫게 되는 것이다. 그리고 머릿속 생각으로만 그치면 암묵지(暗?知)이 지나지 않고, 그것을 형식지(形式知)로 완성시키는 것은 수학의 문제해결 과정과 비슷하다고 말한다. 즉 증명문제의 사전단계로 ’어떤 좋은 방법이 없을까‘라고 자문하고, 시행착오를 거친 뒤, 수학의 증명 후 단계에서 논리적으로 분명한 설명문을 완성시키는 과정을 거쳐야 문제해결에 접근할 수 있다는 것이다. 이것이 우리가 수학적 사고를 익혀야 하는 이유라고 강조한다.

분수 계산을 못 하는 대학생
이 책에서는 일본의 유토리 교육(2002년부터 일본의 공교육에 도입된 교육방침으로, 여유 있는 교육이라는 뜻. 학습능력 저하를 우려하는 목소리가 커지자 최근 재검토되고 있다.)으로 인한 학력 저하를 비판하며, 학력저하의 상징처럼 되어 있는 ‘분수 계산을 못 하는 대학생’의 예를 들고 있다.
1/2 + 1/3 = 2/5
이렇게 잘못된 계산을 하는 대학생들도 초등학교 때는 분명 제대로 풀 수 있었던 문제이다. 그러나 원리는 이해하지 않은 채 방법만 외운 결과로, 대학생이 되어서는 분수 계산조차 못 하는 대학생이 되어버린 것이다.
우리나라도 수포자(수학 포기자), 과목 축소, 자율학기제 등등 학력 저하를 초래할 요인들이 많이 있어서, 결코 이웃나라의 얘기만은 아니라는 데 그 심각성이 있다. 왜냐하면 모든 분야에서 수학적 인재를 필요로 하기 때문이다.
저자는 수학교육을 단순히 계산하는 학문이라고 생각하지 않고 분석하고 설명할 수 있는 능력을 기르는 것이라고 말하며, 실제로 IT나 금융 등 모든 영역에서 수학이 꼭 필요한 학문이라고 강조한다. 이것이 수학 전공자가 아니어도 수학을 알고 수학적 사고를 익혀야 하는 이유이기도 하다.

끈질기게 생각하고 명쾌하게 설명하라
사회생활이나 회사 생활에서, 혹은 토론에서의 의사소통은 ‘정확한 개념으로 제시된 객관적인 언어의 표현’이 기본이다. 그런 의미에서 수학의 증명문제 다음 단계로 이어지는 논리적 설명문 쓰기는 아주 중요하다. 긴 설명문 또한 작은 단락으로 나뉘는 것이 일반적이고, 따라서 긴 긴 설명문을 쓰다보면 전체를 통찰할 수 있는 능력이 생긴다.
‘구슬이 서말이어도 꿰어야 보배다’라는 우리 속담이 있다. 아무리 머릿속에 많은 지식을 담고 있어도 그 구슬(지식)을 꿰어(논리적 설명) 남에게 내놓아야 성과를 기대할 수 있다. 지금 현대인들에게 요구되는 가장 중요한 능력은 ‘끈질기게 생각하는 능력’과 ‘논리적으로 분명하게 설명하는 능력’이다. 그 두 가지를 기를 수 있는 것이 ‘증명력’을 기르는 교육이고, 그러려면 수학 문제풀이의 접근 방식을 익히는 것이 유리하다. 학교 교육뿐만 아니라 다른 면에서도 수학적 사고가 중요한 것이다.
이 책은 학생들에게는 수학을 배우는 데 있어서 중요한 핵심을 일러주고, 어른들에게는 수학적 사고법에서 중요한 핵심을 수학자의 눈으로 쉽게 설명하고 있다. 어려운 수식이 없이 칼럼 형식으로 되어 있어서 부담 없이 읽을 수 있는 것도 이 책의 미덕이라고 할 수 있다.

목차

머리말: 수학적 사고의 필요성

1장 수학에 대한 오해

분수 계산을 못 하는 대학생
젊은이들은 왜 지도를 읽지 못할까
인도의 수학 교육은 무엇이 다른가
객관식 문제의 본질적 결함
이과, 수학 과목을 기피하는 이유
'결론만 증후군'에 빠지지 말자
'처리'에 급급하면 '전략적 사고'를 잃는다

2장 '시행착오'라는 사고법

풀지 못한다 해도 생각하는 것이 중요하다
'운'에서 '전략'으로
개수(個數)의 기본은 하나, 둘, 셋… 하고 헤아리는 것
'검토'란 스스로를 의심해보는 중요한 시행착오
'조건'을 변경하면 무슨 일이 일어날지 사전에 예측하자
맹목적인 '정규분포 신앙'에서 벗어나기를
'정성적'인 것은 암기, '정량적'인 것은 시행착오

3장 '수학적 사고'의 핵심

해결을 위해서는 '요인의 개수'에 유의하라
목표부터 '접근'하도록 하자
규칙성의 이해를 위해 필요한 것
대상을 '치환'해서 생각하자
'동형(同型)'적 발상이 창조력을 키운다
효과적인 '구별'을 모색하자
'경우에 따른 분류'로 과제의 핵심에 접근하자
질문 방법에 주의하자
기대치는 로또를 위해서 존재하는 것이 아니다
부지런히 데이터를 수집하자
부지런히 상관도를 그려보자
아날로그형 숫자, 디지털형 숫자를 다루는 법

4장 '논리적인 설명'의 열쇠

'논리'를 바탕으로 한 설명, '데이터'를 바탕으로 한 설명
'가정에서 결론을 이끌어내는 법'과 '전체의 균형'
어떤 설명에나 반드시 '열쇠'가 있다
'모든'과 '어떤'의 용법은 부정문과 함께 이해하자
일상의 설명에서 사용되는 '귀류법'의 함정
'예를 들어서…'를 능숙하게 사용하는 법
생각하고 있는 대상이 '전순서'인지 확인하자
통계를 사용할 때는 '데이터의 개수'를 잊지 말자
'불법사채'와 '제3금융권'의 차이
인간의 예측은 '직선적'이다
설명문도 자꾸 써보면 잘 다듬어진 글이 완성된다
점보다 선, 선보다 면으로 설명하자

맺음말

본문중에서

수학적 사고를 통해 배울 수 있는 것들 중에는 경제나 비즈니스뿐만 아니라 사회문제든, 정치적 문제든 우리 주변의 여러 가지 문제를 생각하고 해결할 때 그 열쇠가 되는 것이 아주 많다. 그리고 '설명력'에 있어서도 산수나 수학에서 배운 논리력이 큰 도움을 준다. 수학자의 입장에서 이러한 생각과 설명하는 기술과 방법을 충분히 소개하려는 것이 이 책의 의도이다. (7p)

실제로 분수 계산조차 만족스럽게 하지 못 하는 대학생이 아주 많다. 대부분의 사람들은 대학생들이 초등학교 무렵부터 분수 계산을 못 하는 채로 대학생이 된 것이라고 생각하고 있는 듯하다. 사실은 그렇지 않다. 내 자신이 문과, 이과를 불문하고 수많은 대학생을 직접 접해온 경험을 통해 봐도 그렇고, 한 전문대학에서 수학의 복습 수업을 도와주고 있는 졸업생들의 보고 내용을 봐도 알 수 있듯이 분수 계산을 하지 못하는 대학생들이라 할지라도 대부분은 초등학교 고학년부터 중학생 무렵의 한 시기에는 분수 계산을 할 줄 알았다. 그리고 그들은 “예전에 어렸을 때는 분수 계산을 할 줄 알았으나 방법을 잊어버려 지금은 못 한다”고 대답한다. (17P 「분수 계산을 못 하는 대학생」)

2+4×7-6÷3=2+28-2=28
위의 계산에서 곱셈과 나눗셈은 덧셈이나 뺄셈보다 먼저 계산한다. (… ) 인도의 교과서에서는 2개의 계산 예에 대해 계산규칙을 무시하면 어떤 결과가 일어나는지를 각각 3가지 방법으로 설명한다. 예를 들어 앞선 식에서 '2+4'를 먼저 계산해버리는 다음과 같은 식으로 말이다.
2+4×7-6÷3=42-6÷3=12
당연히 다른(틀린) 답이 나오게 되는데, 그것을 바탕으로 '계산 규칙'의 필요성을 설명하고 그것을 도입하는 것이다. (33P 「인도의 수학 교육은 무엇이 다른가」)

수학에 있어서도 목표에 이르기까지의 직접적인 길은 보이지 않는다 하더라도, 그것만 알면 목표에 이를 수 있는, 표지가 될 만한 무엇인가가 목표 근처에 존재하는 경우가 있다. 그 표지를 찾는 법은 “목표에 이르기 위해서는 무엇을 알면 되는가?”하고 끊임없이 자문하면 된다. 그리고 목표 자체에 이르는 길은 잘 보이지 않아도, 그 표지에 이르는 길은 뜻밖에도 쉽게 찾아내는 경우도 있다. 실제 사회의 문제에 있어서도 목표부터 '접근'하는 발상은 도움이 된다. (105P「목표부터 접근하도록 하자」)

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