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수학은 세상의 모든 지식으로 들어가는 열쇠다!

세상을 움직이는 비밀, 수와 기하 『문명과 수학』. 2011년 ‘EBS 다큐프라임’ 5부작으로 제작된 ‘문명과 수학’을 바탕으로 엮은 책으로, ‘기술’과 ‘계산’이라는 수학에 대한 오해를 바로잡기 위해 세상에 왜 ‘수’라는 것이 탄생했는지, 그 뿌리로의 접근을 시도한다. 다시 말해, ‘보이지 않는 수’를 통해 눈에 보이는 기술과 문화를 발전시켜 문명을 탄생시킨 ‘진짜 수학’에 대해 이야기하고자 한다.

피타고라스, 유클리드, 라이프니츠, 뉴턴 등 수많은 수학자들이 만들어낸 문제가 단순히 난해하고 복잡한 수학 문제가 아니라, 자신의 사상을 표현하는 수단이자 세상을 앞으로 나아가게 하는 새로운 문명의 열쇠였음을 흥미로운 이야기와 이미지를 통해 들려준다. 한편, 원작에서는 다루지 않았던 ‘중세 학문의 메카’ 이슬람 부분을 추가 구성함으로써, 더욱 흥미로워진 수학의 세계로 안내한다.

《문명과 수학》 수상이력
2012 방송통신위원회 방송대상
2012 대한수학회 특별공로상
제48회 백상예술대상 작품상
제39회 한국방송대상 프로듀서상
제39회 한국방송대상 작가상
2012 대한민국과학문화상
2012 대한민국콘텐츠 대상 작가상
2012 그리메상 최우수작품상

유용함을 염두에 두지 않은 추상적 이론이 가장 유용한 인류의 도구가 되기도 하고, 특정 목적으로 만든 수학이론이 새로운 개념을 이끌기도 한다. 어쩌면 우리는 이 시대를 유용성과 추상성이 합의 단계에 도달하는 시기로 볼 수 있지 않을까?
-박형주 포항공대 수학과 교수

“세상의 모든 지식으로 들어가는 열쇠, 그것은 수학이다.”
깊이 있는 내용과 구성, 장대한 스케일,
한국 과학 다큐멘터리의 새 영역을 개척한 역작을 책으로 만나다

첫 방송 이후 세 차례나 걸쳐 앙코르 방송이 어이진 ‘EBS 다큐프라임’ 5부작 《문명과 수학》을 접한 일반 시청자들의 첫 감상평은 모두 한결 같았다.

“10대일 때 이런 책을 만나볼 수 있었다면 난 정말 행복했을 것이다.”

수많은 시청자들이 이런 프로그램을 10대일 때 접했다면 수학을 대놓고 포기하는 비극 따위 일어나지 않았을 것이라 고백했으며, 그런 아쉬움을 뒤로하고 자녀나 조카, 또는 제자들에게 방송 시청을 적극 권하는 어른들이 쏟아졌다. 학교와 학원에서는 《문명과 수학》 시청 후 감상문 쓰기 같은 과제가 이어지기도 했다.
이처럼 명품 다큐멘터리를 먼저 알아본 것은 시청자들이었다. 블로그와 트위터, 교육 및 학습 관련 인터넷 커뮤니티에 “재미있고 감동적이었다”는 평이 이어졌고 이런 대중의 호평을 반영하기라도 하듯 ‘방송통신위원회 방송대상 대상’ 수상작으로 선정되었다. 문명이 본격적으로 탄생하기 이전에 출현한 수의 개념에서부터 현대 수학에 이르기까지 문명의 중요한 이정표로서의 수학을 알기 쉽게 풀어낸 《문명과 수학》은 이후에도 ‘대한수학회 특별공로상’ ‘한국방송대상 작가상’ ‘대한민국과학문학상’ 등 수많은 상들을 휩쓸기 시작했다.

이번에 책으로 발간된 『문명과 수학』은 이러한 원작 다큐멘터리의 흐름을 좇되, 보다 발전적인 구성 방식을 택하고 있다. 영상 문법과 다른 책의 특성을 살려서 내용을 다채롭게 보강하는 한편, 원작에서는 다뤄지지 않은 ‘중세 학문의 메카’ 이슬람 부분을 추가했다. 또한 원작의 텍스트를 보강한 본문 외에 좀 더 수학적 이해가 필요한 부분을 부록으로 구성함으로써 내용의 깊이를 더하고자 했다. 따라서 원작을 경험한 이들이라도 이 책을 통해 더욱 깊이 있고 흥미로워진 수학의 세계를 만날 수 있다. 수학의 본질은 세상의 신비를 캐고, 진리를 알아 나가는 즐거움에 있다. 삶을 좀 더 풍성하게 만들고 세상을 한걸음 더 나아가 이해하게 만드는 학문. 많은 독자들이 이 책을 통해 뉴턴이 동경하며 서 있던 진리의 해안으로 동행할 수 있기를 바란다.

“문명과 수학은 하나였고, 수학은 우리 삶의 학문이었다.”
보이지는 않으나 현실너머에서 세상을 움직이는 힘,
우리는 여전히 그 힘을 모르는 채 일상을 살아가고 있다.

2014년 8월, 4년마다 열리는 ‘세계수학자대회International Congress of Mathematicians’가 드디어 서울에서 열린다. 이 대회는 미국, 일본, 영국, 독일, 프랑스, 이탈리아, 러시아, 캐나다 등 지금까지 수학 수준이 최고 등급(5등급)인 나라에서 개최되어 왔다. 총 5000명이 넘는 세계 각국의 주요 수학자들이 참석하고 이들을 개최국의 국가원수가 맞이하는 게 전통인 것을 보면 이 대회가 얼마나 중요한지를 알 수 있다. 뿐만 아니라 이 시기에는 세계 모든 언론이 이 행사의 일부인 펠즈상 수상자에게 이목을 집중한다. 펠즈상은 40세 미만의 젊은 수학자들에게 주는 수학계의 노벨상으로, 지금까지 수상자를 가장 많이 배출한 나라는 역시 미국이다. 여기서 우리는 ‘수학은 곧 국력’이라는 말을 곰곰이 다시 한 번 생각해 볼 수밖에 없다.
고대 이집트에서 21세기 초강대국들에 이르기까지 문명 선진국들은 하나같이 수학 중흥에 힘을 썼다. 나폴레옹은 전쟁에 앞서 수학 학교부터 세웠고, 19세기 독일은 수학 연구에 대폭 투자해 이후 국가 중흥의 기초를 마련했다. 세계 2차 대전 중 미국은 히틀러에게서 도망 나온 모든 유럽의 수학자들을 받아들였다. 도대체 ‘수학’이 무엇이기에?

대한민국의 수학은 입시 도구로 전락한지 오래다. 더 큰 문제는 우리가 이런 현실을 외면하고 ‘사유’와 ‘철학’의 학문인 수학을 계속해서 ‘기술’과 ‘계산’으로 치환해 오해하고 있다는 것이다. 게다가 입시 공부가 끝나는 순간 ‘계산’ 차원으로나마 가까이하고 있던 수학과 우리는 급속도로 멀어지기 시작한다. 언제나 가장 먼저 포기한 과목으로 수학을 꼽고 성인이 되어서도 수학이라면 고개를 절레절레 젓는 현실.
EBS 5부작 다큐멘터리를 바탕으로 엮은 『문명과 수학』은 이처럼 수학에 대한 왜곡된 인식을 바꾸기 위해 문명의 태두였던 그 뿌리로의 접근을 시도한다. 즉 세상에 왜 수(數)라는 것이 탄생했는지, 그 ‘보이지 않는 수’를 다루는 수학이 가시적인 우리 삶과 얼마나 치밀하게 연결되어 있는지를 살펴본다. 문명과 수학은 하나였고, 수학은 우리 삶의 학문이었다. 그리고 수학은 철학자들이 자신의 사상을 표현하는 수단이었다. 이를 통해 우리는 기존에 알고 있던 수학 공식들 속에 삶의 공식 또한 숨겨 있다는 것을 알게 된다. 뿐만 아니라 피타고라스, 유클리드, 라이프니츠, 뉴턴, 오일러, 푸앵카레, 와일스, 페렐만 등 수많은 수학자들이 만들어낸 문제가 단순히 난해하고 복잡한 수학 문제가 아니라 세상을 앞으로 나아가게 하는 새로운 문명의 열쇠였음을 흥미로운 스토리와 이미지를 통해 재발견할 수 있을 것이다.

책속으로 추가

“수학에서 제가 겪은 경험을 비유해 보자면, 불 꺼진 집에 들어섰을 때와 비슷합니다.
어두운 방에 들어갑니다. 완전히 캄캄하죠.
이리저리 움직이면 가구들이 발에 차이는 걸 느껴요.
그러다 보면 조금씩 어둠에 익숙해집니다.
가구들의 위치가 감에 잡히고요.
마침내 반년쯤 지나 전등을 찾아 켭니다. 갑자기 밝아지죠.
자신이 어디에 있는지 정확히 알게 됩니다.”
앤드루 와일스처럼 천재적인 수학자도 미지의 영역 앞에선 더듬거릴 수밖에 없다.
우리 삶은 이처럼 오래 더듬고, 때론 장애물에 차이며, 조금씩 나아갈 뿐이다._230~231쪽

프롤로그 ……4
감수의 글 ……18
서문 세상 모든 지식의 문으로 들어가는 열쇠 ……22

제1부
수의 시작 ……28
수는 어떻게 생겨났을까? 곱셈과 나눗셈은 어떻게 시작됐을까.
파이값도 모르면서 원의 면적을 어떻게 구했을까.

수학의 모든 것은 이집트에서 출발한다.
3500년 전 이집트 서기관이 썼던 파피루스 한 장에 의지해
인류 최초의 문명 이집트가 왕국을 운영하던 방식,
그리고 어떻게 분배와 측량의 기술을 터득했는가를 살펴본다.

제2부
원론 ……50
미국의 독립선언서, 뉴턴의 『프린키피아』가 모범으로 삼은 책이 있다.
바로 유클리드의 『원론』이다.

유클리드는 그리스의 철학과 수학을 집대성해 한 권의 책에 담았다.
『원론』, 이 책은 수학의 원론이 아니라 이후 모든 논리학과 철학, 과학의 원론이 되었다.
“점이란 무엇인가”라는 이 간단한 질문 하나에 피타고라스에서 플라톤,
아리스토텔레스에 이르기까지 온 그리스의 철학자들이 매달린 이유를 살펴본다.

제3부
신의 숫자 ……72
공허를 없는 게 아니라 있는 것으로 본 민족이 만든 수, 0.
그것은 신의 숫자였다.

신을 사랑하고 영원을 믿었던 나라, 그들이 만든 숫자 하나가 인류의 역사를 바꿨다.
존재와 부재를 넘나드는 기묘한 숫자, 0은 수학을 무한의 세계로 뻗어 나가게 만들었고,
과학에게 우주를 상상할 수 있는 힘을 주었다. 종교의 나라 인도에서 인류 최고의 발명품 0이 탄생한 내력을 추적한다.

제4부
문명의 용광로 ……96
대수학, 산술, 기수법, 이전 문명의 위대한 지적 유산들…….
그 찬란한 정신이 이제 아랍의 언어로 문명의 소통을 시작한다.

서양의 지성이 혼돈 속에 잠든 시절, 아랍인들은 중세 문명을 이끌었다.
메소포타미아, 그리스, 인도의 수학이 아랍으로 녹아들어 새로운 진화를 보여 주었다.
삼각법의 발전, 인도 숫자의 전파, 무엇보다 대수학의 엄청난 도약이 있었다.
당대 문명의 뜨거운 용광로였던 이슬람에서 우리는
학문을 향한 쉼없는 열정과 또 다른 융합을 발견한다.

제5부
움직이는 세계, 미적분 ……116
‘미적분’을 둘러싼 뉴턴과 라이프니츠의 치열했던 싸움!
17세기 영국과 유럽 대륙은 지적 재산권 전쟁에 휘말렸다.

학계는 서로 100년 동안 서신 왕래도 끊었다. 전쟁의 중심에 서 있던 사람은
영국의 뉴턴과 독일의 라이프니츠. 그들이 서로 먼저 발견했다고 주장한 것은 미적분이었다.
미적분은 변화하는 모든 것을 방정식으로 풀어내는 마법과 같은 것이었기 때문이다.
뉴턴과 라이프니츠, 과연 승자는 누구였을까

제6부
남겨진 문제들 ……136
아마추어 수학자가 낸 문제, 그 봉인은 300년 동안 풀리지 않았다.
저주받은 난제에 도전한 천재 수학자들의 치열한 도전을 만난다.

1963년 영국 케임브리지의 동네 도서관에서 열 살 난 꼬마가 수학 문제 하나를 발견했다.
문제는 초등학생도 이해할 만큼 쉬웠다. 꼬마는 책을 빌려 집으로 돌아가면서
그 문제를 꼭 풀어야겠다고 다짐했다.
그러나 그것은 300년 동안 답이 있는지도 없는지도 모를 베일에 싸인 문제였고,
아이는 해답을 얻는 데 30년을 바쳤다. 인류에게 남겨진 위대한 수학 문제,
‘페르마의 마지막 정리’와 ‘푸앵카레의 추측’을 통해 문명의 지평을 탐색한다.

부록 ……164
에필로그 ……230
참고 자료 ……240

그러나 이 세상의 질서는 유목민이 살던 곳과 너무도 다르다. 수학의 전형들이 바로 이곳에 있다. 아무리 마음에 드는 물건을 발견해도 ‘계산’ 없이는 그 무엇도 손에 넣을 수 없다. 뿐만 아니라 사람들이 ‘시계’나 ‘저울’이라 부르는 것들에도, 도처에 늘어선 온갖 사물에서도 계산이 필요한 기호들이 붙어 있다. 베르베르인이 오늘 본 것이라고는 오가는 물건 없이 이상한 그림(숫자)만 무성한 요지경 같은 풍경뿐이다.
일찍이 피타고라스는 “만물의 원리는 수(數)이며 만물은 수를 모방한다”라고 말했다. 이 말에 동의하든 동의하지 않던 기실 우리 삶이 수와 밀접한 관계가 있다는 사실만큼은 인정할 수밖에 없다. 우리는 본능적으로 수학을 한다. 보기만 하면 바로 개수를 세어 보고, 그 양을 가늠한다. 어떤 것은 높이가 눈에 들어오기도 한다. 또한 어떤 것은 넓이가 아주 중요하다.
이를 통해 득과 실을 구별 짓기도 하고 때로는 비교 우위에 따라 성취감을 느끼기도 한다. 이처럼 우리는 자신도 모르게 수학적 감각을 통해 즐거움을 느낀다._32~33쪽

고대의 ‘경험적’이고 ‘실용적’인 차원의 수학을 흡수한 그리스인들은 이집트와 바빌로니아 서기들이 사용한 원리들을 명증한 언어로 끌어냈다. 우리는 그 태도를 ‘증명’이라 부르고 그 방식을 ‘연역’이라고 한다. 주어진 해법에 따라 문제를 푸는 것과 그 안에 내재된 ‘보편적 원리’를 규명하려는 태도 사이에는 커다란 차이가 존재한다. 그리스 수학의 여명은 바로 이런 문명의 변곡점에서 시작되었다. 유클리드의 『원론』은 그리스적 사유 체계를 예증하는 상징이다.
『원론』은 당시 왕이 배웠던 수학 책이기도 하다. 프톨레마이오스 1세는 제국의 왕으로서 논리, 윤리, 철학 등과 함께 필수 과목으로 수학을 배웠다. 왕에겐 특히 수학 수업이 중요했다. 언뜻 봐도 낯선 도형들로 가득 차 있는 이 책을 왕은 왜 배워야만 했던 걸까._56쪽

“모래알같이 많다.” 이제 우리는 이 말을 수로 표현할 수 있다. 모래 알갱이, 혈액 속의 적혈구, 하늘의 별들……. 이 숫자를 가지고 나서야 우리는 더 거대한 것에 다가갈 수 있게 되었다. 가장 작은 0을 만들고서 큰 수를 표현할 수 있게 된 건 참으로 아이러니한 일이다. 0은 없음이다. 아무것도 없는데 0으로 표현한다. 영어의 “I Have Nothing”과 닮아 있다. ‘아무것도 없는 것’을 소유했다는 것, 이러한 관점은 수학에서 대단히 큰 변화를 일으키게 된다. 즉 공허를 없는 게 아니라 있는 것으로 본 민족이기에 만들 수 있는 수, 그것이 바로 0이다._89~90쪽

그리스는 실험과 관찰, 응용이 핵심인 과학이나 공학을 냉대했다. 반면에 아랍인의 태도는 좀 더 현실 지향적이었다. 알콰리즈미는 해시계, 천체 관측 기구인 아스트롤라베 관련 저작뿐 아니라 정밀한 지리학 관련 책도 펴냈다. 오마르 하이얌은 대단히 정밀한 달력을 제작했다. 현대의 그레고리력은 3330년에 하루의 오차를 발생시키는 반면 하이얌의 ‘잘라르력’이 보여 주는 오차 범위는 5000년에 하루였다. 중세 의학의 대가 이븐 시나(아비센나), 광학 연구에 탁월했던 이븐 알하이삼(알하젠), 선박과 기계 제작을 지휘한 이븐 무사 가문(家門)의 사람들……. 그들은 동시에 수학자이기도 했다.
21세기에 들어서면서 학문의 융합Convergence이 더욱 강조되고 있다. 어쩌면 진정한 의미의 융합은 아랍에서 시작된 것이 아닐까._112~113쪽

이십 대의 청년 데카르트가 밤하늘을 보고 있다. 지금 그는 네덜란드 모리스 공 군대의 일원으로 독일의 작은 마을에 머물러 있다. 나이 열여덟에 이미 “어디를 둘러봐도 나 자신의 무지만 보일 뿐이다”라고 말한 회의주의자 데카르트는 자신이 의심하고 있다는 사실 말고는 남은 게 없던 청년이었다.
데카르트는 여전히 수학을 생각하고 있다. “저건 유클리드의 점이야.” 머리 위의 별 하나를 유심히 바라보던 그가 내뱉은 말이다. 그렇다. 유클리드 시대에 점은 그저 “더 이상 쪼갤 수 없는 것”일 뿐 다른 점과 구별돼 보이지 않았다. 그러나 데카르트가 여기서 끝낼 리 없다.
“저 점의 위치를 어떻게 설명해야 하지? 그냥 왼쪽? 아니면 왼쪽 위라고 해야 하나?” 너무 모호한 표현이다. 이 때 데카르트는 정확한 방법을 찾아낸다. X축의 수평선과 Y축의 수직선, 열십자가 만나는 점을 원점(0)이라고 한다면 점은 두 개의 숫자로 표시할 수 있다. 밤하늘을 평면 삼아 그는 곧 수직과 수평의 축에 1, 2, 3, 4…… 숫자를 매기기 시작한다.
“그래! 저 별의 주소는 (5, 3)이야.”_124~125쪽