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색다른 수학의 세계로의 여행!

질서와 혼돈의 경계 어딘가에서 우리를 기다리는 소수에 대한 몇 가지 상상『소수 공상』. 정수론의대가 옥스퍼드대 김민형 교수가 지적 호기심으로 가득한 유쾌한 수학의 세계로 독자들을 안내한다. 저자는 기존에 우리가 해왔던 수학의 방식을 완전 뒤집어, 우리가 의미도 모른 채 공식을 외우고 문제풀이에 급급했던 수학의 개념들을 아주 색다른 방식으로 흥미롭게 풀어냈다. 총 3장으로 구성하여, 수 체계란 무엇이며, 소수를 설명하는 데 필수적인 곱셈이 덧셈과 근본적으로 다른 것임을 보여주고, 소수를 양자역학에서 세계를 구성하는 기본입자에 비유하여 알기 쉽게 설명하였다.

“따분한 수학은 가라, 색다른 수학이 온다!”

수학자들은 왜 소수에 몰두하는가?
정수론의 대가 옥스퍼드대 김민형 교수가 안내하는
지적 호기심으로 가득한 유쾌한 수학의 세계

기발한 상상력과 사색으로 수학의 틀을 깨다
_ 한 번도 생각해보지 않았던 수와 수학의 진짜 의미
이 책은 지금까지 우리가 익히 보았던 수학책과는 다르다! 하고많은 책들이 수학의 유용함을 강변한다. 시쳇말로 콩나물 값 계산하는 법만 알면 되지 수학이 왜 필요하냐고 우는소리를 하는 사람들을 위해 실생활에서 수학이 어떻게 쓰이는지 요모조모 알려주는 책들이다. 하지만 이 책들은 실제 수학이 우리 삶과 얼마나 깊은 연관이 있으며, 우주를 이해하고자 하는 인간의 욕구를 표현하는 심오한 학문인지 보여주지 않는다.
이 책은 기존에 우리가 해왔던 수학의 방식을 완전히 뒤집는다. 사실 우리가 의미도 모른 채 공식을 외고 문제풀이에 급급했던 수학의 개념들을 아주 색다른 방식으로 설명을 시도한다. 바로 수학이 필요한 것은 실용적인 쓰임새 때문이기도 하지만 우리가 사는 세계를 해석하는 하나의 방법이기 때문이다. 저자 김민형 교수는 수의 의미, 곱셈과 덧셈의 차이 같은 우리가 지극히 당연한 것으로 여겼던 개념들을 사유하는 과정을 그대로 보여줌으로써 수란 무엇이고, 수학적 사고란 어떤 것이며, ‘수학 한다’는 것의 진짜 의미가 어떤 것인지를 몸소 보여준다. 저자가 이끄는 대로 자유로운 연상과 유추 과정을 물 흐르듯 따라가다 보면, 어느새 수학은 철학과 문학, 역사, 물리학과도 통하는 근사한 학문으로 우리 마음속에 자리한다. 우리가 사는 세상은 근본적으로 수학을 통해 표현되는 것은 아닌가 하는 지극히 ‘수학자다운’ 생각까지도 자연스레 받아들이게 된다.

수학사의 위대한 난제를 만나다
_ 왜 수학자들은 소수(prime number)에 몰두하는가?
지난 4월 세계 수학계에서는 엄청난 일이 벌어졌다. 한때 음식점 배달원을 했던 무명의 중국계 미국인 수학자 장이탕이 쌍둥이 소수 추측과 관련된 괄목할 만한 연구결과를 공표하여 세계 수학계를 놀라게 한 것이다. 간단히 말하면 소수(素數)는 약수가 1과 자신뿐인 자연수를 말한다. 이렇게 어떤 수가 소수인지는 이미 결정되어 있지만 무작위로 등장하는 것처럼 보일 정도로 소수는 매우 불규칙하게 나타난다. 이 때문에 수천 년 동안 수학자들은 소수에 깊이 매료되었다. 또 리만 가설, 쌍둥이 소수 추측 등 수학사의 유명한 난제들의 경우 소수와 관련된 경우가 많다. 저자는 질서와 혼돈 사이의 불안한 경계를 연상시키는 소수의 이해하기 어려운 구조로 인해 어쩌면 수학자들이 소수에 더욱 매료되는지도 모른다고 말한다.
소수를 만드는 규칙은 어떻게 찾을 수 있을까? 과연 찾을 수는 있을까? 정수론의 세계적인 대가 김민형 교수는 이 책에서 수와 공간을 연결시키는 독특하고 색다른 발상으로 소수가 가진 특별한 매력을 보여준다. 2000여 년 전 그리스 수학자 유클리드는 어떤 소수 목록을 제시하든 목록에 없는 새로운 소수를 제시할 수 있음을 증명하였다. 즉, 소수가 무한함을 증명하였다. 유클리드 이래로 수많은 수학자들이 다양한 방식으로 소수의 미세한 구조를 밝히고자 노력하였지만, 지난 몇 세기 동안 여러 사람의 노력으로 아주 적은 정보만 알려졌을 뿐 소수의 구조와 분류에 대한 문제는 여전히 수수께끼로 남아 있다.

수학, 양자역학과 통하다
_ 물리학에 기본입자가 있다면 수학에는 소수가 있다
우리는 기본적으로 수를 양적인 것으로 생각하는 경향이 있다. 하지만 김민형 교수는 반드시 그런 것은 아니라고 주장한다. 수를 공간과 연결 지을 때 더 잘 이해가 된다는 것이다. 일례로 세상의 모든 사물은 곱집합으로 나타낼 수 있다. 사람도 마찬가지다. 이와 관련한 재미있는 설명은 본문 59쪽에 나온다.
-∞장에서는 공간과 수를 어떻게 연결하여 생각할 수 있는지 설명하고, 0장에서는 기본적인 개념을, 1장에서는 수 체계란 무엇인지 설명해준다. 이 모든 것은 소수가 어떤 것인지 알아가는 데 기본이 된다. 보다 중요한 2장에서는 소수를 설명하는 데 필수적인 곱셈이 덧셈과 근본적으로 다른 것임을 보여준다. 3장에서는 소수를 양자역학에서 세계를 구성하는 기본입자에 비유하여 설명을 시도한다. 자연수는 소수들의 곱으로 나타낼 수 있을 뿐만 아니라 소수는 더 이상 분해될 수 없기 때문에 소수가 모든 수를 구성하는 근본적인 요소라는 생각에는 어떤 면에서 간단히 동의할 수 있다. 하지만 소수의 구조를 밝히는 문제는 앞서 얘기했다시피 그리 간단하지 않다. 소수의 구조를 파악하는 일은 공간과 시간의 구조를 이해하고자 하는 인류의 노력과도 전혀 무관한 일이 아니다.
예전에 물질을 구성하는 기본입자로 여겨졌던 양성자와 중성자가 쿼크와 글루온으로 나뉜 것처럼, 소수가 나뉠 가능성은 없을까? 저자는 소수를 양자역학의 기본입자에 비유하는 독특한 사유 과정을 통해 아직 우리가 발견하지 못한 색다른 수 체계가 존재할 수도 있다는 기이한 결말을 이끌어낸다. 저자의 제안을 좀 더 자세히 알고 싶다면, 책의 맨 끝을 보라.

세계적 석학들과 함께 지식의 향연을 즐기다!
_ 제1탄 《소수 공상》이 대장정의 막을 올리다
학문의 분화와 전문화가 심화된 지금, ‘숲을 보지 못한다’는 말은 교훈이 아니라 그저 현실일 뿐이다. 반니출판사에서는 다소 거창하지만 그 숲의 일단을 보여주고자 하는 마음으로 K.A.O.S 시리즈를 마련했다. 내로라하는 세계적 석학들이 펴낸 책들을 중심으로 수학과 과학, 또는 서로 다른 과학 분과 간의 교류뿐 아니라 인문학, 사회과학, 법학, 의학, 예술 등 인간이 쌓아올린 모든 지식 사이의 대화를 통해 우리 자신을 포함한 세계와 우주에 대해 흥미로운 이야기들을 담아내고자 한다. 강단에서 내려온 학문이 독자들과 함께 호흡하고 소통하는 ‘무대’가 될 것이다.
제1탄 《소수공상》은 수학계에서 유명한 난제로 꼽혔던 페르마 방정식의 해의 유한성을 위상수학적 방법론을 도입하여 새로이 증명한 옥스퍼드대학교 김민형 교수의 첫 저서로 독자들에게 새로운 수학의 세계로 빠져들게 해줄 것이다.

추천의 글
여는 글

-∞장 수와 공간에 대한 강의

0장 기본 개념
1. 집합
2. 산술
3. 집합과 수

1장 수 체계에 대해
1. 수 체계란 무엇인가?
2. 예들에 대한 간략한 조사
3. 상설1
4. 상설2
5. 상설3
6. 나눗셈에 대한 이야기
7. 덧셈과 뺄셈

2장 곱셈
1. 왜 곱셈인가?
2. 물체
3. 곱집합
4. 다시 곱셈으로
5. 몇 가지 수정

3장 소수
1. 소수와 기본입자
2. 무한
3. 합동
4. 유클리드에 대한 몇 가지 세분화
5. 소수의 분포
6. 구조에 대한 막간 설명
7. 가우스 소수
8. ?에서의 인수분해
9. 몇 마디 서론

아직도 수학자들을 괴롭히는 미해결 난제가 여럿 있는데, 그중 대표라고 할 만한 리만 가설은 소수의 분포와 관련이 있다. 우리가 초등학교에서부터 배우고 잘 알고 있다고 생각하는 소수를 인류는 왜 수천 년간 공부해왔고, 지금도 공부하고 있는지, 김민형 교수는 너무나 명쾌히 설명한다. 수학이 입시 과목의 대명사가 되었고, 그래서 수학을 지긋지긋하게 싫어하게 되었노라는 사람들이 적지 않다. 만약 당신이 이 범주에 든다면, 부디 이 책을 일독하기를 권한다. 지적 즐거움과 함께, 세사의 질서를 이해하고자 하는 인류의 지난한 여정에 동참하게 될 것이다. ㅡ 추천의 글 중에서

중요한 수학적 발견이 대개 어느 정도의 어려움을 동반하는 것은 사실이다. 그러나 어려움이 중요성의 이유라고 하는 것은 사실과 거리가 아주 멀다. 오히려 어떤 수학적 발견이 중요한 것은 물리학의 어떤 결과가 중요한 것과 그 이유가 같다. 세계에 대한 심오하고도 흥미로운 이해를 전한다는 것이다. ㅡ 여는 글 중에서

보통 사용하는 0이 수많은 논란으로 점철된 역사를 갖고 있는 것에 대해 분명 들어봤을 것이다. 사람들은 0에 수의 지위를 부여하는 것을 극도로 꺼렸던 듯하다. 지금도 그 이유를 인식하기는 그리 어렵지 않다. 당시 수는 어떤 양을 표현했다. 그렇다면 아무런 양도 표시하지 않는 수라는 것이 어찌 존재하겠는가? (85쪽)