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도형은 중학교에서 배우는 것이 전부다
반드시 중학교에서 끝내라!
수학에서 가장 쉽고 재미있는 파트는 도형이다. 그런데 의외로 많은 중학생들이 도형을 어려워한다. 아마도 초등학교에서 도형을 제대로 공부하지 않았기 때문일 것이다. 아니면 잘못된 개념이 자리잡고 있어 응용력이 부족해졌기 때문이다. 그렇다면 다시 시작해야 한다. 초등학교에서 제대로 공부하지 않아서 불안했다면 다시 돌아가서 도형의 정의부터 그림까지 하나하나 이해와 교정을 동시에 해나가도록 하자.
도형은 중학교에서 배우는 것이 전부다. 삼각형, 사각형, 원은 초등학교에서 배웠지만 중학교에서 좀 더 정확성을 기르기 위해서 ‘용어의 정의’를 배우고 사용이 가능하도록 ‘정리’를 배운다. 중1의 도형에서 개념을 확실하게 잡고 올라간다면 중2~3학년에서 확장의 묘미를 느낄 수 있으며 고등 도형도 어렵지 않게 연결할 수 있다.
수학은 기초를 다지고 그 다음을 공부해야하는 학문이기 때문에 비록 예전에 배운 것이라도 헷갈리거나 부족하다면 언제든 그 전 단계로 돌아가서 공부해야 한다. 반드시 중학교에서 끝내자.

반복이 적어서 한꺼번에 공부해도 효율적인 도형,
그러나 개념을 놓치면 고등수학에서 망한다!
수학은 좋은 대학을 가는 중요한 수단이다. 그리고 수학의 한 파트인 도형은 의외로 우리 아이들을 괴롭히는 과목이기도 하다. ‘중학수학 만점 공부법’의 저자인 조안호 선생님은 도형이 수학에서 가장 재미있는 동시에 이해가 쉬운 파트여서 대수 파트와는 달리 한꺼번에 많은 양을 공부해도 된다고 했다. 대수 파트는 워낙 개념들이 단편적이어서 한꺼번에 많은 양을 공부하는 것 보다 정확하고 꾸준하게, 그리고 여러 번을 반복해야 하는 성실함을 요구하지만, 도형은 스토리가 있고 개념의 덩어리가 커서 한꺼번에 많은 양을 공부하는 것이 더 유리하고 대수 파트 보다 상대적으로 반복이 적으니 학생들에게 이보다 더 큰 장점이 어디 있겠는가? 그러나 고등학교에서 중학교의 도형을 다시 공부하기는 어렵다. 그것은 학생들이 더 잘고 있을 것이다. 고등학교 수학의 분량과 난이도가 높아 전체 공부 시간의 70~80%를 수학에 투자해야 하기 때문에 다시 중학교의 기하를 공부하기는 어렵기 때문이다.

완벽하게 중학교 도형을 중학교 때 마스터해 놓지 않으면 고등수학이 어렵다는 걸 잊지 말자!

고등학교 도형까지 중학교에서 끝낸다!
교과서에서 알려주지 않는 중학도형 만점공부법(하)

‘예비중학생과 중1을 위한 중학도형 만점 공부법(상)’에 이어 ‘교과서에서 알려주지 않는 중학도형 만점공부법(하)’가 나왔다. 이 책은 상권에서의 도형의 기초를 바탕으로 어떻게 도형을 정복해야 하는지에 대해 좀 더 구체적으로 다루고 있다.

일석이조, 중학교에서 고등학교 도형까지 끝낸다!
고등학교 1학년 때 도형을 배우면서 많은 학생들이 어려워한다. 그것은 도형에 대해 어렴풋하게 기억만 하고 있고, 개념이 제대로 세워져 있지 않기 때문에 ‘도형의 기초성질’조차 사용을 하지 못하기 때문이다. 수학공부의 가장 큰 특징은 한번 배운 것을 다시 가르치지 않는다는 데 있다. 설사 선생님들이 가르친다 해도 익히는 과정이 없기에 배울 때 뿐이다. 고등학교는 수학의 공부 양이 중학교 때 보다 훨씬 많기 때문에 중학교 수학을 다시 펼쳐보기는 거의 불가능에 가깝다. 고등학교 도형은 중학도형과 내용이 달라지거나 깊어지는 것이 아니라 새로이 배우는 내용과 연결될 뿐이다. 그러니 중학교 때에 용어의 정의를 익히고, 기본성질을 다소 번거롭더라도 각각을 증명하여 머릿속을 깔끔하게 정리해놓아야 한다. 시험만 보고 끝내는 공부가 아니라 도형의 전체적인 모습과 각각의 성질이 유기적으로 결합해야만 비로소 고등학교에서 다시 활용할 수 있게 되는 것이다.
이 책은 중학교에서 어떻게 도형에 대한 개념을 정리해야 장기기억으로 이끄는지를 과학적으로 다루고 있다. 만약 어떤 한 과정이 어렵다면 다시 그 과정으로 돌아가도록 했다. 예를 들어, 중3의 ‘원의성질’이 어렵다면 중2의 ‘닮음’을 다시 공부하게 하고 있다. 그렇기 때문에 저자는 교과서보다 수학적이라고 자신한다. 카이스트 선배가 추천한 ‘중학도형 만점공부법(하)’, 지금 중학생이라면, 그리고 아직 고등학교 1학년이라면, 2학기가 되기 전에 반드시 읽어보자.

수학이 명문대를 결정한다!
개념을 튼튼히 하면 고등수학도 문제 없다!

“고등학교에서 도형은 내용이 달라지는 것이 아니라 방법이 달라지는 것입니다. 중학교때보다 조금 복잡해지는 것 뿐이지요. 식을 도형으로 바꾼다거나, 도형을 식으로 바꾸는...... 그런데 많은 아이들이 고등학교 1학년 때부터 수학을 포기하기 시작합니다. 너무 안타까운 일이지요.”

군포의 한 고등학교에서 상급반 수학을 수학 선생님의 인터뷰다. 수학은 좋은 대학을 가는 중요한 수단이다. 그것을 누구보다 잘 아는 고등학생들이 오죽하면 포기할까 싶다. 다른 과목 성적이 아무리 우수해도 수학을 못하면 자신이 원하는 대학은 꿈도 꿀 수 없다는 것을 누구나 잘 알면서도 말이다. 많은 학생들이 고등학교 때 수학을 포기하는 것 같지만 이 책의 저자인 조안호 선생님은 이미 중학교, 아니 초등학교 5학년부터 이미 수학에 대한 구멍이 컸기 때문이라고 말한다. 특히 여학생들이 이과보다 문과에 많이 몰리는 이유 중의 하나가 수학에 약하기 때문이다.

고등학교에서 도형이 더 어렵게 느껴지는 것은 개념과 원리를 다시 설명하지 않고 있기 때문이다. 그렇기 때문에 많은 학생들이 방정식이나 함수 문제를 풀 때 도형의 성질을 이용하여 문제를 풀지 못하고 포기하고 만다. 그렇다고 중학 도형을 다시 해 보겠다고 중학교 문제집을 다시 시작하는 것도 쉽지 않을 것이다. 이 책은 중학도형의 개념을 물 흐르는 대로 정리해 주고 있다는 것이 가장 큰 장점이다. 기본 개념을 충분히 설명하면서 많은 예제를 통해 문제를 해석하는 방법까지 설명하고 있기 때문에 도형이 어려운 중학생이나 고등학교 1학년에게 반가운 책이 될 것이다.

완벽하게 공부하지 않으면 자기가 원하는 꿈을 이룰 수 없다는 것을 명심하자!

도형에 대한 명쾌한 해석, ‘유페카’를 외치는 학생들도 나올법하다
수학 문제집은 일목요연하다. 정리가 잘 되어 있다. 그러나 친절하지 않다. 그래서 문제집만 보고서는 수학의 참맛을 알기 어렵다. 이 책은 문제집에서 보이는 일목요연한 정리가 아닌 이야기의 흐름이 있다. 딱딱하지 않고 물 흐르는대로 도형을 배우고자 원한다면 이 책을 권하고 싶다. 중학 도형을 이렇게 쉽고 재미있게 풀어낼 수 있다는 것이 놀라울 뿐이다. 쉬우면서도 논리적이다. ‘학원에서도 알려주지 않는 중학수학 만점 공부법’을 보면서도 느낀 것이지만,저자만의 독특한 수학 공부법이 학생들에게 수학이 결코 어렵고 따분한 과목만은 아니라는 것을 알려주는 것 같아 기쁘다.
중학 도형에서 가장 매력적인 부분은 원기둥, 원뿔, 구의 부피의 비를 다룬 부분은 참고서나 문제집에서는 다루지 않았던 새로운 방식으로 설명하고 있다. 중학 도형에 대한 명쾌한 해석, “유레카!”를 외치는 학생들도 나올법하다. 책 곳곳에서 여러 권의 수학 관련한 책을 집필한 저자의 노하우를 찾아 볼 수 있다.
- 유희정 / 군포 수리고 수학선생님

중학교 3학년이라면 아직 수학을 포기하지 말자!
학생들에게 도형은 답답하다. 문제에서 아무 식도 만들어주지 않기 때문에 노력하지 않으면 아무 것도 얻을 수 없기 때문이다.
학생들에게 도형은 어렵다. 갖고 있는 모든 지식을 총동원해서 주어진 문제를 해석해내지 않으면 문제를 해결할 수 없기 때문이다.
이 책은 기본 개념을 충분히, 그것도 친절하게 설명하고 있다. 또한, 많은 예제들을 통해 문제를 해석하는 방법까지 자세히 설명하고 있다. 그래서 도형이 어려운 중학생이나, 고등학교 1학년 학생들에게 반가운 길잡이가 되어줄 것이다. 수학이 어려워 포기하고 싶다면, 고등학생이 되기 전 반드시 이 책을 읽어봤으면 좋겠다.
중학교 3학년이라면 아직 늦지 않았다. 또 수학을 포기하고 싶은 고등학생이라면 먼저 이 책을 보기 바란다. 그런 다음 포기해도 늦지 않기 때문이다.
- 김성태 현) 대치동 수학의 눈 본원 원장, 연세대학교 졸업

복잡한 중학도형을 재정리해 줄 수 있는 중학도형의 맵(map)
'식'과는 다르게 '도형'은 고등학교에서 그 개념과 원리를 다시 알려주지 않기 때문에 많은 학생들이 방정식이나 함수 문제를 풀 때에도 '도형'의 성질을 이용하지 못해서 문제를 풀지 못하는 경우가 많다. 방대한 양의 고등수학을 공부하면서 중학도형을 정복해 보겠다고 중학문제집을 다시 손에 잡는 것은 쉽지 않은 일이다.
이 책은 단순히 기억만 하고 있던 중학도형의 개념들을 그 정의부터 쓰임까지 흐름대로 정리해주면서 현재 중학도형을 공부하고 있는 학생뿐 아니라 중학도형이 정리되어 있지 않아 고등수학에 어려움을 겪고 있는 학생에게도 큰 도움을 줄 것이다.
중학도형 때문에 힘들어했던 학생들이 이 책을 통해서 '중학도형의 맵(map)'을 머리 속에 하나씩 새겨 넣기를 바란다.
- 박재형 현)대치동 K-math 원장, 대구과학고, 카이스트 졸업

프롤로그
아는 문제만 풀고 마는 것은 공부가 아니다

1부 중2, 도형으로 논리를 키워라

1. 삼각형의 성질_증명의 기본을 익히기 시작하다
명제(Proposition)의 뜻과 참, 거짓
명제의 가정과 결론
명제의 역
용어의 정의, 정리, 증명
이등변삼각형의 성질
직각삼각형의 합동조건
삼각형의 외심(, Outer point)
삼각형의 외심의 활용
삼각형의 내심(, Inner point)
삼각형의 내심의 활용

2. 사각형의 성질_도형의 성질을 연습한다
평행사변형의 정의와 성질
평행사변형이 되는 조건
사각형들의 포함 관계
직사각형
마름모
정사각형
등변사다리꼴

3.닮음_중학교 도형의 최종 목적지, 닮음
닮은 도형
닮음의 위치와 닮음의 중심
삼각형의 닮음조건
직각삼각형에서의 닮음
사각형 속의 닮은 삼각형
삼각형의 내각과 외각의 이등분선
평행선 사이의 선분의 길이의 비
삼각형의 중점 연결 정리
사다리꼴의 중점 연결 정리
삼각형의 중선과 무게중심
삼각형의 무게중심의 응용
닮은 두 평면도형의 넓이의 비
닮은 두 입체도형의 부피의 비

2부 중3, 피타고라스의 정리를 제외하면 모두 닮음이다

1.피타고라스의 정리_중3 기하파트에서 가장 중요한 단원
피타고라스의 정리의 증명
삼각형에서 변의 길이 구하기
삼각형의 각의 크기와 변의 길이 사이의 관계
대각선이 직교하는 사각형의 성질
직각삼각형에서 피타고라스의 정리의 이용
직각삼각형의 세 변을 지름으로 하는 세 반원 사이의 관계
직사각형과 정사각형에서 대각선의 길이
삼각형의 높이와 넓이
좌표평면 위의 두 점 사이의 거리
직육면체에서 피타고라스의 정리의 활용
뿔의 높이와 부피
최단거리 구하기

2.삼각비_고등수학의 삼각함수로 이어진다
삼각비의 뜻
특수각의 삼각비
단위원을 통한 예각의 삼각비
삼각형의 넓이
사각형의 넓이

3.원의 성질_‘닮음’의 연장선, 어렵다면 중2 ‘닮음’을 다시 공부하라
현의 수직이등분선
원의 접선의 길이
원주각과 중심각의 크기
접선과 현이 이루는 각
원과 비례

에필로그 축적이 될 때까지 해야 개념도 만들어진다

Tip
어느 소피스트의 변명
증명할 때 많이 이용되는 기본 성질
네 변의 중점을 연결하여 만든 사각형
피라미드의 높이
공부를 잘하는 학생은 보통 학생들이 싫어하는 일을 습관처럼 한다
개미가 힘이 센 이유
삼각비는 왜 하필 직각삼각형의 세 변의 길이의 비일까?
방심과 수심

프롤로그 도형은 중학교에서 끝내라

1부무엇을 아느냐보다 어떻게 아느냐가 더 중요하다
1) 각과의 싸움에서 이기는 방법은 개념을 잡는 것이다
2) 수파트와 기하파트는 공부 방법이 다르다
3) 기하파트의 공부 방법
4) 초등학교에서 도형을 잘 못했다고 두려워하지 마라

2부 도형의 기초를 닦는다
1)도형의 기초가 중학 도형을 좌우한다
2) 도형의 기본 구성_공간상의 점들의 집합인 도형
3)직선과 그 일부분_직선, 반직선, 선분
4)선분과 분할_의 중점: 위에 있으면서 를 만족하는 점
5)각_두 직선의 방향이 얼마나 어긋나 있는가를 나타내는 것
6)맞꼭지각_두 직선이 교차할 때 서로 마주보는 각
7)수직과 수선_직선과 수선과의 교점을 ‘수선의 발()’이라고 한다!
8)평행선의 성질_평행하도록 긋는 보조선을 훈련하라
9)점과 직선, 평면의 위치 관계_평면 VS 공간, 어디에서 이루어질까?
10)공간에서의 위치 관계_머릿속에서 전체를 생각해보라
11)직선과 평면의 결정_전체를 알아야 혼동하지 않고 정리된다
12)도형의 작도_눈금 없는 자와 컴퍼스만으로 도형을 그린다는 규칙
13)삼각형의 결정조건_세 가지 조건이 맞아야 삼각형을 결정할 수 있다
14)삼각형의 합동_합동이란 두 대상이 서로 정확하게 겹친다는 것

3부평면도형_볼록다각형과 오목다각형까지 알아보자
1)다각형_3개 이상의 선분이 닫힌 형태로 만들어진 도형
2)다각형의 대각선의 개수_개수를 구하는 공식이 만들어지는 과정
3)삼각형의 내각과 외각_한 외각의 크기는 그와 이웃하지 않는 두 내각의 크기의 합과 같다
4) 다각형의 내각과 외각의 크기의 합_(한 내각)+(한 외각)=180°
5)원과 부채꼴_를 3.14로 보고 계산하는 것을 잊자
6)원의 넓이와 부채꼴의 넓이_공식과 3.14만 사용하여 복잡했다
7)중심각과 호의 길이, 현의 길이_중심각의 크기와 호의 길이는 비례하지만, 현의 길이는 비례하지 않는다
8) 색칠한 부분의 둘레의 길이와 넓이_창의력이 아닌 개념을 튼튼히 하라!
9)원과 직선_반지름과 접선이 수직으로 만난다는 것을 각인하라
10)두 원의 위치 관계_가장 중요한 것은 교차, 즉 두 점에서 만날 때이다

4부 입체도형_사물을 다른 각도로 볼 수 있는 직관력을 키워준다
1)다면체와 정다면체_머릿속에서 끊임없이 도형의 이미지를 떠올려라
2)회전체_직접 만들어 보는 활동을 통해 익히는 것이 가장 빠르다
3)원뿔의 전개도_밑면인 원의 둘레의 길이는 옆면인 부채꼴의 호의 길이와 같다
4) 뿔의 부피_각뿔과 원뿔의 부피는 그 원리가 같다
5)구의 겉넓이와 부피_이것을 처음 발견한 수학자 아르키메데스

에필로그 사고력보다 기본이 먼저이다

[Tip]
유클리드가 정한 23가지 정의
길이와 거리의 차이를 아나요?
맞꼭지각의 쌍의 개수
한 직선에 위에 있지 않은 세 점의 의미
가장 둥근 모양의 다면체는 어떻게 만들까?