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고등학교 도형까지 중학교에서 끝낸다!
교과서에서 알려주지 않는 중학도형 만점공부법(하)

‘예비중학생과 중1을 위한 중학도형 만점 공부법(상)’에 이어 ‘교과서에서 알려주지 않는 중학도형 만점공부법(하)’가 나왔다. 이 책은 상권에서의 도형의 기초를 바탕으로 어떻게 도형을 정복해야 하는지에 대해 좀 더 구체적으로 다루고 있다.

일석이조, 중학교에서 고등학교 도형까지 끝낸다!
고등학교 1학년 때 도형을 배우면서 많은 학생들이 어려워한다. 그것은 도형에 대해 어렴풋하게 기억만 하고 있고, 개념이 제대로 세워져 있지 않기 때문에 ‘도형의 기초성질’조차 사용을 하지 못하기 때문이다. 수학공부의 가장 큰 특징은 한번 배운 것을 다시 가르치지 않는다는 데 있다. 설사 선생님들이 가르친다 해도 익히는 과정이 없기에 배울 때 뿐이다. 고등학교는 수학의 공부 양이 중학교 때 보다 훨씬 많기 때문에 중학교 수학을 다시 펼쳐보기는 거의 불가능에 가깝다. 고등학교 도형은 중학도형과 내용이 달라지거나 깊어지는 것이 아니라 새로이 배우는 내용과 연결될 뿐이다. 그러니 중학교 때에 용어의 정의를 익히고, 기본성질을 다소 번거롭더라도 각각을 증명하여 머릿속을 깔끔하게 정리해놓아야 한다. 시험만 보고 끝내는 공부가 아니라 도형의 전체적인 모습과 각각의 성질이 유기적으로 결합해야만 비로소 고등학교에서 다시 활용할 수 있게 되는 것이다.
이 책은 중학교에서 어떻게 도형에 대한 개념을 정리해야 장기기억으로 이끄는지를 과학적으로 다루고 있다. 만약 어떤 한 과정이 어렵다면 다시 그 과정으로 돌아가도록 했다. 예를 들어, 중3의 ‘원의성질’이 어렵다면 중2의 ‘닮음’을 다시 공부하게 하고 있다. 그렇기 때문에 저자는 교과서보다 수학적이라고 자신한다. 카이스트 선배가 추천한 ‘중학도형 만점공부법(하)’, 지금 중학생이라면, 그리고 아직 고등학교 1학년이라면, 2학기가 되기 전에 반드시 읽어보자.

수학이 명문대를 결정한다!
개념을 튼튼히 하면 고등수학도 문제 없다!

“고등학교에서 도형은 내용이 달라지는 것이 아니라 방법이 달라지는 것입니다. 중학교때보다 조금 복잡해지는 것 뿐이지요. 식을 도형으로 바꾼다거나, 도형을 식으로 바꾸는...... 그런데 많은 아이들이 고등학교 1학년 때부터 수학을 포기하기 시작합니다. 너무 안타까운 일이지요.”

군포의 한 고등학교에서 상급반 수학을 수학 선생님의 인터뷰다. 수학은 좋은 대학을 가는 중요한 수단이다. 그것을 누구보다 잘 아는 고등학생들이 오죽하면 포기할까 싶다. 다른 과목 성적이 아무리 우수해도 수학을 못하면 자신이 원하는 대학은 꿈도 꿀 수 없다는 것을 누구나 잘 알면서도 말이다. 많은 학생들이 고등학교 때 수학을 포기하는 것 같지만 이 책의 저자인 조안호 선생님은 이미 중학교, 아니 초등학교 5학년부터 이미 수학에 대한 구멍이 컸기 때문이라고 말한다. 특히 여학생들이 이과보다 문과에 많이 몰리는 이유 중의 하나가 수학에 약하기 때문이다.

고등학교에서 도형이 더 어렵게 느껴지는 것은 개념과 원리를 다시 설명하지 않고 있기 때문이다. 그렇기 때문에 많은 학생들이 방정식이나 함수 문제를 풀 때 도형의 성질을 이용하여 문제를 풀지 못하고 포기하고 만다. 그렇다고 중학 도형을 다시 해 보겠다고 중학교 문제집을 다시 시작하는 것도 쉽지 않을 것이다. 이 책은 중학도형의 개념을 물 흐르는 대로 정리해 주고 있다는 것이 가장 큰 장점이다. 기본 개념을 충분히 설명하면서 많은 예제를 통해 문제를 해석하는 방법까지 설명하고 있기 때문에 도형이 어려운 중학생이나 고등학교 1학년에게 반가운 책이 될 것이다.

완벽하게 공부하지 않으면 자기가 원하는 꿈을 이룰 수 없다는 것을 명심하자!

중학교 3학년이라면 아직 수학을 포기하지 말자!
학생들에게 도형은 답답하다. 문제에서 아무 식도 만들어주지 않기 때문에 노력하지 않으면 아무 것도 얻을 수 없기 때문이다.
학생들에게 도형은 어렵다. 갖고 있는 모든 지식을 총동원해서 주어진 문제를 해석해내지 않으면 문제를 해결할 수 없기 때문이다.
이 책은 기본 개념을 충분히, 그것도 친절하게 설명하고 있다. 또한, 많은 예제들을 통해 문제를 해석하는 방법까지 자세히 설명하고 있다. 그래서 도형이 어려운 중학생이나, 고등학교 1학년 학생들에게 반가운 길잡이가 되어줄 것이다. 수학이 어려워 포기하고 싶다면, 고등학생이 되기 전 반드시 이 책을 읽어봤으면 좋겠다.
중학교 3학년이라면 아직 늦지 않았다. 또 수학을 포기하고 싶은 고등학생이라면 먼저 이 책을 보기 바란다. 그런 다음 포기해도 늦지 않기 때문이다.
- 김성태 현) 대치동 수학의 눈 본원 원장, 연세대학교 졸업

복잡한 중학도형을 재정리해 줄 수 있는 중학도형의 맵(map)
'식'과는 다르게 '도형'은 고등학교에서 그 개념과 원리를 다시 알려주지 않기 때문에 많은 학생들이 방정식이나 함수 문제를 풀 때에도 '도형'의 성질을 이용하지 못해서 문제를 풀지 못하는 경우가 많다. 방대한 양의 고등수학을 공부하면서 중학도형을 정복해 보겠다고 중학문제집을 다시 손에 잡는 것은 쉽지 않은 일이다.
이 책은 단순히 기억만 하고 있던 중학도형의 개념들을 그 정의부터 쓰임까지 흐름대로 정리해주면서 현재 중학도형을 공부하고 있는 학생뿐 아니라 중학도형이 정리되어 있지 않아 고등수학에 어려움을 겪고 있는 학생에게도 큰 도움을 줄 것이다.
중학도형 때문에 힘들어했던 학생들이 이 책을 통해서 '중학도형의 맵(map)'을 머리 속에 하나씩 새겨 넣기를 바란다.
- 박재형 현)대치동 K-math 원장, 대구과학고, 카이스트 졸업

프롤로그
아는 문제만 풀고 마는 것은 공부가 아니다

1부 중2, 도형으로 논리를 키워라

1. 삼각형의 성질_증명의 기본을 익히기 시작하다
명제(Proposition)의 뜻과 참, 거짓
명제의 가정과 결론
명제의 역
용어의 정의, 정리, 증명
이등변삼각형의 성질
직각삼각형의 합동조건
삼각형의 외심(, Outer point)
삼각형의 외심의 활용
삼각형의 내심(, Inner point)
삼각형의 내심의 활용

2. 사각형의 성질_도형의 성질을 연습한다
평행사변형의 정의와 성질
평행사변형이 되는 조건
사각형들의 포함 관계
직사각형
마름모
정사각형
등변사다리꼴

3.닮음_중학교 도형의 최종 목적지, 닮음
닮은 도형
닮음의 위치와 닮음의 중심
삼각형의 닮음조건
직각삼각형에서의 닮음
사각형 속의 닮은 삼각형
삼각형의 내각과 외각의 이등분선
평행선 사이의 선분의 길이의 비
삼각형의 중점 연결 정리
사다리꼴의 중점 연결 정리
삼각형의 중선과 무게중심
삼각형의 무게중심의 응용
닮은 두 평면도형의 넓이의 비
닮은 두 입체도형의 부피의 비

2부 중3, 피타고라스의 정리를 제외하면 모두 닮음이다

1.피타고라스의 정리_중3 기하파트에서 가장 중요한 단원
피타고라스의 정리의 증명
삼각형에서 변의 길이 구하기
삼각형의 각의 크기와 변의 길이 사이의 관계
대각선이 직교하는 사각형의 성질
직각삼각형에서 피타고라스의 정리의 이용
직각삼각형의 세 변을 지름으로 하는 세 반원 사이의 관계
직사각형과 정사각형에서 대각선의 길이
삼각형의 높이와 넓이
좌표평면 위의 두 점 사이의 거리
직육면체에서 피타고라스의 정리의 활용
뿔의 높이와 부피
최단거리 구하기

2.삼각비_고등수학의 삼각함수로 이어진다
삼각비의 뜻
특수각의 삼각비
단위원을 통한 예각의 삼각비
삼각형의 넓이
사각형의 넓이

3.원의 성질_‘닮음’의 연장선, 어렵다면 중2 ‘닮음’을 다시 공부하라
현의 수직이등분선
원의 접선의 길이
원주각과 중심각의 크기
접선과 현이 이루는 각
원과 비례

에필로그 축적이 될 때까지 해야 개념도 만들어진다

Tip
어느 소피스트의 변명
증명할 때 많이 이용되는 기본 성질
네 변의 중점을 연결하여 만든 사각형
피라미드의 높이
공부를 잘하는 학생은 보통 학생들이 싫어하는 일을 습관처럼 한다
개미가 힘이 센 이유
삼각비는 왜 하필 직각삼각형의 세 변의 길이의 비일까?
방심과 수심