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수학의 기본 원리를 탄탄하게 다지는 19가지 방법!

『중학수학 처음부터 이렇게 배웠더라면』은 수학의 기본 원리를 단단하게 다지도록 도와주는 책이다. 본문은 ‘수와 식’과 ‘함수’의 2부로 구성되어 있으며, ‘자연수, 수학이 탄생하다’, ‘이것이 덧셈과 곱셈이다’, ‘함수 동물원 구경하기’ 등의 19가지 수학 에피소드를 통해 수학의 개념을 쉽고 제대로 이해할 수 있도록 도와준다. 특히 수학에 등장하는 수많은 정의가 필요하게 된 배경을 설명하여 ‘공식에 대한 암기’가 아닌 ‘정의와 성질의 이해’를 도왔으며, 각 에피소드의 끝에는 ‘알수록 재미있는 수학 이야기’를 수록하여 흥미로운 수학적 일화를 들려준다. 수학의 개념과 원리를 자연스럽고 논리적으로 이해하여, 창의적인 응용이 가능하도록 도와줄 것이다.

더 늦기 전에 만나야 할 강한 수학!!!

기본 원리 설명이 부족한 교과서,
문제 풀이 위주의 참고서 속에서 길을 잃기 쉬운 중학수학
단단한 공부를 위해 수학 멘토가 찾아왔다!

강한 수학! 이제는 원칙대로 공부해야 한다

“많은 학생들이 중학교에서 배우는 수학의 초보적인 추상 개념에 어려움을 느낄 것이다. 중학교 수학은 확실히 멘토가 필요하다. 정수의 사칙 연산부터 다항식 일차함수 이차함수 등으로의 전개과정이 자연스럽고 학생들이 충분이 이해하기 쉽게 씌어져 있다. 수학적으로도 정교한 논리 전개과정을 밟고 있으며 여러 가지 흥미로운 수학적 일화까지 포함하는 아주 잘 씌어진 책이다. 이 책은 비단 학생들 뿐 아니라 교사들에게도 여러가지 수학적 개념을 학생들에게 자연스럽고 논리적으로 가르칠 수 있는 방법을 제시하고 있다. 수학 선생님들에게도 학생지도에 많은 도움을 줄 수 있는 책이라 생각되어 적극 추천한다.”
대한수학회 회장이자 수학대중화사업단 단장을 맡고 있는 한국과학기술원(KAIST) 서동엽 교수는 이 책이 학생뿐만 아니라 수학교사들에게도 매우 유용할 것이라고 추천사에서 밝혔다. 이 책이 그 어떤 수학교양서들보다 쉽고 정교하게 씌어진 것은, 이 책이 처음부터 책을 목적으로 기획된 저술이 아니라 저자가 수년간 학생들과 함께 진행해온 ‘수학캠프’를 통해 어떻게 하면 더 쉽고 탄탄하게 수학의 기본 원리를 아이들에게 전달할 수 있을까에 집중한 생생한 체험의 결과물이기 때문이다.
지난 1월 11일 교육과학기술부는 ‘수학교육 선진화 방안’을 내놓았다. “공식 암기와 선다형(혹은 단답형) 문제 풀이, 칠판 판서와 노트 필기 같은 기존 수학교육 방식을 대대적으로 손질하겠다”는 의지와 “수학과 타 교과 간 통합 교수학습을 시도”하고 “수학 교과서에 스토리텔링(storytelling) 요소를 가미하겠다”는 방침을 골자로 하고 있다. 이번에 교육과학기술부가 내놓은 대표적 문제 형태는 ‘실생활연계형’과 ‘교과통합형’이다. 실생활연계형은 일상에서 필요한 수학을 논리적으로 설명하는 유형의 문제를, 교과통합형은 과학·사회·음악·미술 등 다양한 과목과 수학을 접목한 유형을 각각 일컫는다. 이런 문제는 답보다 풀이 과정이 더 중요하며, 교사의 수학적 역량이 높을수록 평가 방법도 다양해질 전망이다. 즉 단원평가와 같이 정해진 시간에 정해진 답을 도출해야 했던 기존의 수학 공부법보다는 수학 개념과 정의, 수학적 정의의 성질을 얼마나 정확하게 알고 있느냐가 더욱 중요한 수학 공부법이 된 것이다. 개념과 원리를 정확하게 아는 학생일수록 다양한 창의적 응용이 가능하며, 이런 수학 공부법이 유리하게 된 것이다.
『중학 수학, 처음부터 이렇게 배웠더라면』은 수학 기본 원리를 단단하게 다지는 것에 초점을 맞추고 있다. 시중에 넘쳐나는 ‘몇 시간만 읽으면 금방 수학 성적을 올릴 수 있다’는 허황된 책들 속에서 수학자 박병하 박사는 꿋꿋하게 ‘수학의 정도’에 충실한 책을 만들기 위한 신념을 이 책에 쏟아부었다.

“초중고 수학공부 중 중학교 수학이 가장 중요하다. 중요한 개념들이 모두 중학교 때 등장하기 때문이다. 사람을 만날 때도 첫 만남이 가장 중요하듯 수학 개념도 첫 만남이 중요하다. 수학 언어로 말하면 개념이란 정의다. 정의를 이해하고 정의된 개념이 어떤 성질을 갖고 있나 따져보는 일이 수학 공부다. 따라서 독자가 정의와 그 성질을 어떻게 만나는 게 좋을까 고민했다. 그 질문에 답을 찾는 과정이 ‘이 책을 어떻게 쓸까’라는 문제 답하는 과정이었다.”
_ <머리말> 중에서

『중학 수학, 처음부터 이렇게 배웠더라면』의 저자 박병하는 세계적인 수학 강국 러시아에서도 최고 수준의 대학으로 손꼽히는 국립 모스크바대학에서 수리논리과 박사학위를 받았다. 그리고 한국에 돌아와 중학생을 대상으로 하는 수학 캠프를 기획하여 몇 년째 ‘내가 그렇게 배웠더라면 좋았을 수학’을 강의하고 있다. 실제로 수학을 공부하면서 어려움을 겪고 있는 중학생들과의 만남은 『중학 수학, 처음부터 이렇게 배웠더라면』을 집필하는 모티프가 되었다.

과연 편하게 수학을 공부할 수 있는 방법이 있기는 한 것일까?

『중학 수학, 처음부터 이렇게 배웠더라면』은 수학을 제대로 공부하는 방법에 대한 고민으로부터 시작되었다. 수학을 잘하고 싶은 사람은 많은데, 도대체 어떻게 공부해야 할까. 문제집을 많이 풀면 되나? 수학을 잘하는 요령을 담은 책을 읽어야 할까? 수학을 소설로 에세이로 꾸며놓은 책을 읽으면 도움이 좀 될까? 이 책의 저자 박병하 박사가 일러주는 수학이랑 친해지는 비법은 다음과 같다.

1. 수학 공부는 수학 개념(정의, definition)이 어떤 성질을 갖고 있나 따져보는 일이다.
수학 공부란 무엇인가, 이것이 가장 먼저 알고 넘어가야 할 일이다.
2. 수학에 등장하는 수많은 정의들이 필요하게 된 배경을 알아야 한다.
자연수든 방정식이든 함수든 정의는 하늘에서 뚝 떨어진 것이 아니다.
따라서 무조건 외워야 할 것이 아니라 이해를 해야 하는 것이다.
3. 각각의 정의가 갖고 있는 성질을 알아야 한다.
각각의 정의는 어떻게 생겼나, 어떻게 행동하나 보고 싶은 것은 본능이다.
새로운 정의가 나오면 앞에 나왔던 정의와 비교하며 따지고,
앞으로 어떤 정의로 뻗어나갈지 계속 질문한다.

『중학 수학, 처음부터 이렇게 배웠더라면』은 수학의 정의와 성질을 찾는 탐색과정이다.

질문을 던진다 → 답을 찾기 위해 도전한다 → 실패한다 → 실패했지만 얻는 게 있다 → 그것을 바탕으로 더 좋은 답을 찾는다 → 답이 나왔을 때 기뻐한다 → 다시 새로운 질문을 던진다.

한마디로 물음표를 느낌표로 바꾸려고 몸부림치고, 느낌표로 바꾸었으면 다시 물음표를 던지는 과정이다. 그러니 모험을 떠났다가 돌아오고 다시 모험을 떠나는 과정과 비슷하다.
이 과정이 재미있을까? 수리논리를 전공하고 오랜 동안 강의를 해온 실력이 십분 발휘되어 저자와 함께 질문과 답을 따라가다 보면 소설책처럼 재밌고 흥미진진한 스릴을 느끼게 될 것이다.

이 책으로 어떻게 공부할까?

중학교 1, 2학년 수학은 다른 과목보다 현실과 멀어 보인다. 기호도 낯선 게 많고 따라야 할 규칙도 꽤 된다. 작은 실수도 용납하지 않는다. 그렇다 보니 알아도 아는 것 같지 않은 불안감이 항상 따라다닌다. 이걸 극복하는 길은 하나다. 먼저 정의와 성질을 꼼꼼하게 따져 봐야 한다. 이어서 얼마나 이해했는지 확인해야 한다. 또 수학은 외국어나 음악처럼 독특한 기호를 쓰므로 그 기호에 익숙해지도록 해야 한다. 마지막으로 계산 과정에 익숙해져야 한다. 따라서 이 책을 처음 읽는 사람은 천천히 읽는 게 좋다. 처음에는 하루에 1장씩 읽으면서 전체를 본다. 어렵다고 생각하는 부분은 더욱 천천히 읽는다. 두 번째 읽을 때는 그것에 해당하는 ‘교과서 익힘 문제’를 함께 푼다. 특히 방정식 문제를 많이 풀어야 한다. 그렇게 해서 익숙해졌으면 세 번째 읽으면서 다시 전체를 본다. 이때 책 곳곳에 숨어 있는 토론거리에 스스로 답을 해보고 친구와 이야기한다.
중학교 2, 3학년 방정식 풀이에 꽤 익숙한 학생은 중학 과정 전체를 정리하는 마음으로 읽는다. 수와 식까지는 큰 틀을 잡는 기분으로 읽고 함수 부분은 꼼꼼히 읽는다. 학년이 올라갈수록 함수 종류가 복잡해지지만 기본 틀을 잡고 있으면 덜 고생한다. 특히 ‘평행이동과 대칭’ 개념으로 그래프를 설명한 부분에 익숙해지도록 한다. 그러면 고차 다항 함수가 나오든 유리, 근호, 지수, 로그 함수가 나오든 원리는 하나이므로 적응하기 쉽다. 또한 이 책에서 정의와 성질을 탐색하는 과정을 곰곰 따진다. 자기 방식으로 탐색을 해본다. 생각을 공책에 옮겨 적으며 다듬어 간다. 친구와 토론한다. 그런 공부 방법이 익숙해지면 수학 논술 공부에도 크게 도움이 된다.

■■ 추천의 글

많은 학생들이 중학교에서 배우는 수학의 초보적인 추상 개념에 어려움을 느낄 것이다. 이 과정을 잘 극복하는 학생들은 수학에 눈을 뜨게 될 것이고 그렇지 못하면 수학이 계속 고통으로 남게 될 것이다. 중학교 수학은 확실히 멘토가 필요하다. 수학적 원리에 대한 설명이 부족한 교과서와 문제 풀이 위주의 참고서 홍수 속에서 적지 않은 학생들이 길을 잃고 헤매고 있는 것이 현실이다. 이 책은 그러한 학생들에게 멘토 역할을 충실히 해낼 수 있을 것이라 기대한다.
정수의 사칙 연산부터 다항식 일차함수 이차함수 등으로의 전개과정이 자연스럽고 학생들이 충분이 이해하기 쉽게 씌어져 있다. 뿐만 아니라 수학적으로도 정교한 논리 전개과정을 밟고 있으며 여러 가지 흥미로운 수학적 일화까지 포함하는 아주 잘 씌어진 책이다. 수학은 원리만 잘 이해하면 나머지는 저절로 해결되는 법인데 이 책이 바로 이러한 철학에 맞게 씌어졌다.
이 책은 비단 학생들 뿐 아니라 교사들에게도 여러가지 수학적 개념을 학생들에게 자연스럽고 논리적으로 가르칠 수 있는 방법을 제시하고 있다. 따라서 많은 수학 선생님들에게도 학생지도에 많은 도움을 줄 수 있는 책이라 생각되어 적극 추천한다.
_ KAIST 수리과 교수 서동엽

지금은 공부의 절반이 수학인 시대이다. 수학은 추상적인 과목인데, 왜 우리는 약점 중심 학습이라는 이름으로 문제풀이 위주로만 공부하고 있는 것일까? 추상적인 과목일수록 개념에 대한 소화 능력이 중요하다. 수학을 개념 이해 중심으로 공부할 수 있는 참고 도서들이 턱없이 부족한 가운데, 박병하 박사의 책은 ‘만권지추’가 아닐 수 없다. 박병하 박사가 우리 아이들을 위해 이런 책을 더 많이 써 주길 간절히 기대한다.
_ (주)대교에듀피아 대표 남궁은

쉽게 시작하지만 단호하게 수학의 정수를 이야기하면서 어느새 흠뻑 빠져들게 만드는 책! 읽어 가다보면 신이 난다. 아, 그랬지, 참 좋구나. 수학을 배운다는 것이, 그 똑바른 논리를 따라간다는 것이 이처럼 쏘옥 빠져드는 재미가 있었지. 아이들과 같이 소리 내어 읽어볼까, 생각하다보면 어느새 나직나직 설명해주는 저자의 말소리가 들린다. 찬찬한 설명을 따라 가다보면 생각하게 만들고, 맞게 생각 했나 확인하고 싶어지고, 또 다음에는 무엇이 기다리고 있을까 궁금증이 솟는다. 수학공부의 즐거움에 빠져들 아이들의 그 예쁜 표정이 벌써 기다려진다.
_ 부산 중앙여자중학교 교사 강미현

제1부 수와 식 : 1에서 방정식까지
01 자연수, 수학이 탄생하다
1 자연수와 숫자|2 십진법으로 자연수 나타내기|3 자연수의 크기 비교와 수직선 |4 0이라는 수|★ 알수록 재미있는 수학 이야기

02 이것이 덧셈과 곱셈이다
1 덧셈과 곱셈의 교환과 결합|2 덧셈과 곱셈의 분배|3 거듭제곱셈|4 0과 1의 덧셈, 곱셈, 거듭제곱|★ 알수록 재미있는 수학 이야기

03 이것이 뺄셈과 나눗셈이다
1 뺄셈은 거꾸로 덧셈|2 나눗셈은 거꾸로 곱셈|3 인수|4 소인수분해|5 인수 모두 찾기|★ 알수록 재미있는 수학 이야기

04 마이너스 곱하기 마이너스는 플러스?
1 음의 정수|2 정수의 크기 비교|3 정수의 덧셈|4 정수의 곱셈|★ 알수록 재미있는 수학 이야기
05 변수는 수일까?
1 변수와 상수|2 다항|3 항이 같음|4 항의 덧셈과 곱셈|★ 알수록 재미있는 수학 이야기

06 Be Rational, Be Happy!
1 0보다 크고 1보다 작은 수|2 유리수를 기호로 나타내기|3 유리수의 크기 비교|4 유리수를 수직선에 나타내기|5 유리수의 덧셈과 곱셈|★ 알수록 재미있는 수학 이야기

07 기계도 1차 방정식을 풀 수 있을까?
1 문제 하나, 풀이 여럿|2 1차 방정식의 정의|3 1차 방정식의 표준형|4 1차 방정식 풀이|★ 알수록 재미있는 수학 이야기

08 뭔가… 있다, 새로운 수가!
1 유리수가 아닌 수는 있다|2 유리수로 나타낼 수 없는 길이|3 근을 나타내는 기호와 근호셈 |4 무리수의 크기 비교|5 무리수의 덧셈·곱셈|★ 알수록 재미있는 수학 이야기

09 2차 방정식 풀이, 예고편
1 2차 방정식 표준형|2 짐작으로 풀이|3 인수분해로 풀이|4 그림으로 풀이|★ 알수록 재미있는 수학 이야기

10 2차 방정식 풀이, 완결편
1 제곱항만 있는 경우 x2=q|2 완전제곱꼴인 경우 (x+p)2=q|3 1차 항 bx를 더한 경우 x2+bx+c=0|4 2차항의 계수가 a인 경우 ax2+bx+c=0|5 정리|★ 알수록 재미있는 수학 이야기

제2부 함수 : 점에서 포물선까지
11 함수 아닌 게 있을까?
1 함수 정의하기|2 함수 나타내기|3 함수의 그래프|★ 알수록 재미있는 수학 이야기

12 함수 동물원 구경하기
1 독립변수 개수로 분류|2 그래프의 모양으로 분류|3 연속성 관점으로 분류|★ 알수록 재미있는 수학 이야기

13 함수를 셈할 수 있을까?
1 단순한 함수|2 함수의 덧셈·곱셈|3 함수의 합성|4 합성의 효과|★ 알수록 재미있는 수학 이야기

14 위아래로 미끄러지기
1 점을 위아래로 평행이동|2 직선을 위아래로 평행이동|3 도형을 위아래로 평행이동|★ 알수록 재미있는 수학 이야기

15 위아래로 늘이고 줄이고 뒤집기
1 y축을 따라 k배 확대|2 y축을 따라 k배 축소|3 y축을 따라 x축을 대칭축으로 대칭|★ 알수록 재미있는 수학 이야기

16 1차 함수 완전 정복
1 수식에서 그래프 얻기|2 그래프에서 수식 얻기|3 1차 함수들 비교|★ 알수록 재미있는 수학 이야기

17 좌우로 미끄러지기
1 점을 좌우로 평행이동|2 직선을 좌우로 이동|3 도형을 좌우로 이동|★ 알수록 재미있는 수학 이야기

18 좌우로 늘이고 줄이고 뒤집기
1 x축을 따라 k배 확대·축소|2 x축을 따라 k배 축소|3 x축을 따라 대칭|★ 알수록 재미있는 수학 이야기

19 2차 함수 완전 정복
1 2차 함수의 기본 형태 f(x)=x2|2 확대, 축소, 대칭 y=kx2|3 y축을 따라 평행이동 y=kx2+m|4 x축을 따라 평행이동 f(x)=ax2+bx+c|5 2차 함수와 교차|★ 알수록 재미있는 수학 이야기