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250년 전 수학의 위대한 천재가 들려주는 눈부신 강의

『레온하르트 오일러의 대수학 원론』은 18세기의 위대한 천재 ‘레온하르트 오일러’의 저서로, 최초로 현대와 같은 수학 기호를 사용하여 저술한 기본적인 교과서다. 당시까지 혼란스러웠던 표기법을 현대적으로 정리한 최초의 본격적인 저술이며, 복소수를 처음부터 도입해 쓴 최초의 대수학 교재이기도 하다. 중고등학교 수준에서 배우는 수학의 내용을 주로 담아내었고 직관적으로 이해할 수 있는 언어로 전개하고 있다. 대중들을 위한 오일러의 유일한 책이기도 하다.

현대 대수학을 탄생시킨 기념비적인 저서

18세기 수학사의 위대한 천재, 오일러
철학자 화이트헤드는 데카르트나 뉴턴, 라이프니츠가 활동했던 17세기를 천재의 세기라고 했지만, 18세기의 레온하르트 오일러(Leonhard Euler, 1707-1783)는 이에 대해 이의를 제기할 수 있는 거의 유일한 인물일 것이다. 그는 18세기 중반 유럽에서 나온 수학 논문의 3분의 1을 혼자서 썼다고 전해질 정도로 엄청난 업적을 남겼으며, 가우스에 필적할 만큼 수학 전반에 공헌을 남긴 위대한 수학자였다.
오일러의 많은 업적 중에서 아마도 가장 유명한 것 이 아닐까. 오일러는 삼각함수의 이론을 개발하고 발전시키는 과정에서 이 공식을 발견했는데, 수학에서의 가장 중요한 상수들과 기본적인 연산(제곱과 덧셈)들의 관계를 보여주는 이 심오한 공식은 수학사에서 가장 아름다운 공식 중 하나로 불린다.

대가가 들려주는, 친절하고 멋진 강의
우리가 볼 수 있는 오일러의 초상화는 그의 일그러진 한쪽 눈을 보여주고 있다. 병으로 한 쪽 눈의 시력을 거의 잃었던 그는 말년에 백내장으로 두 눈의 시력을 모두 잃었다. 하지만 그는 수학의 연구와 저술을 멈추지 않았고, 암산으로 계산하고 그것을 구술해 논문을 썼다. 그가 숨을 거두었을 때 때 그의 친구는 이렇게 오일러의 죽음을 알렸다. “오일러는 드디어 계산을 멈췄습니다.”
오일러의 말년의 업적 중 하나는 기초적이면서도 광범위한 내용을 담은 교과서 『대수학 원론』을 집필하는 것이었다. 제자에게 구술해 집필한 이 책은 당시까지 혼란스러웠던 표기법들을 현대적으로 정리한 최초의 본격적인 저술이며, 복소수를 처음부터 도입해 쓴 최초의 대수학 교재이기도 하다. 그리고 무엇보다 수학적인 기초가 없는 대중들도 읽을 수 있는 오일러의 유일한 저술이며, 대가가 평생에 걸친 업적을 정리해 학생들을 위해 쓴(구술한) 멋진 입문서이기도 하다. 직관적으로 이해할 수 있는 언어로 친절하게 전개되는 강의를 따라가다 보면 누구나 수학에 대한 공포를 극복하고 쉽게 빠져들 수 있을 것이다. 전체 강의의 전반부에 해당하는 이 책은 중고등학교 정도에서 배우는 수학의 내용을 주로 담고 있기 때문이다.

최초의 현대적인 대수학 교과서
물론 250년 전에 씌어진 이 책은 오늘날의 수학자들이 보기엔 지나치게 쉽고 기초적인 내용을 담고 있는 것으로 보일 수 있다. 그 뒤로 수학은 많은 발전을 했고 오일러가 상상하지도 못했을 내용들이 수학에 추가되었다. 적어도 대수학 분야에서만 보더라도 오일러 이후에 나타난 갈루아의 이론이 현대 추상 대수학의 기초가 되었다. 그러나 역사적인 관점에서 볼 때 『대수학 원론』은 전문적인 수학자들에게도 흥미로운 내용을 담고 있다.
특히 수학에 대한 그의 접근법은 수학의 체계가 현대적으로 재정비되기 전의 소박한 (그러나 설득력 있는) 관점을 담고 있다. 필즈상 수상자 중 한 명은 수학의 가장 좋은 학습법 중 하나는 수학의 역사적 발전 과정을 보여주는 것(코다이라 쿠니히코)이라고 말한 바 있다. 그런 점에서 이 책은 우리가 알고 있는 수학이 어떤 형태로 형성되어 왔는지 250년 전의 천재는 어떤 식으로 수학의 체계를 전개했는지, 그 역동적인 형성의 장면을 직접 확인할 수 있는 아주 귀중한 자료가 될 것이다. 지금까지 많은 종류의 수학사 저술들이 씌어지거나 번역되었지만, 에우클레이데스의 『원론』을 제외하면 수학사의 고전을 직접 볼 수 있는 기회는 거의 없었기 때문이다.

우리 독서계에 본격적으로 소개되는 수학사의 고전들
오일러의 『대수학 원론』은 앞으로 이어질 살림Math클래식 시리즈의 제1권이다. 수학의 역사야말로 문화와 사상의 역사를 이해하는 기초이자 토대가 된다는 이야기를 하면서도 정작 우리의 지식계에서는 수학사의 고전을 번역하는 일이 거의 전무했다. 그런 의미에서 살림Math클래식 시리즈는 우리의 출판 문화의 빈 곳을 채우는, 소중한 기획이 될 것이다.
앞으로 이어질 힐베르트의 저술들을 비롯해 대중들도 접근할 수 있는 수학사의 명저들을 소개하는 이 기획에 독자 여러분들의 따듯한 관심과 애정을 부탁드린다.

서문

제1부
제1장_단항식을 계산하는 다양한 방법
1.1 수학 전반에 대하여
1.2 더하기 부호와 빼기 부호의 설명
1.3 단항식의 곱셈에 관하여
1.4 인수와 관련한 전체 수 또는 정수의 본질
1.5 단항식의 나눗셈
1.6 약수와 관련한 정수의 속성
1.7 분수의 일반적 개념
1.8 분수의 속성
1.9 분수의 덧셈과 뺄셈
1.10 분수의 곱셈과 나눗셈
1.11 제곱
1.12 제곱근과 거기에서 생기는 무리수
1.13 제곱근에서 생겨나는 불가능한 수, 또는 허수
1.14 세제곱(Cubic Numbers)
1.15 세제곱근과 거기서 얻는 무리수
1.16 일반적인 거듭제곱
1.17 거듭제곱의 계산
1.18 일반적인 거듭제곱에 관련된 근
1.19 분수 지수로 무리수를 표현하는 방법
1.20 여러 연산과 그 연관성
1.21 로그
1.22 현재 사용하는 로그표
1.23 로그를 표현하는 방법

제2장_다항식을 계산하는 다양한 방법
2.1 다항식의 합
2.2 다항식의 차(Subtraction)
2.3 다항식의 곱셈(Multiplication)
2.4 다항식의 나눗셈
2.5 분수를 무한급수로 전개
2.6 다항식의 제곱
2.7 다항식에서 밑(root) 찾아내기
2.8 무리수의 연산
2.9 세제곱과 세제곱근의 전개
2.10　다항식의 거듭제곱
2.11 앞의 규칙의 기초가 되는 문자의 배열
2.12 무한급수의 무리수의 거듭제곱 표현
2.13 음수지수의 거듭제곱의 전개

제3장_비와 비례
3.1 산술적 비와 두 수의 차
3.2 산술비례
3.3 등차수열
3.4 등차수열의 합
3.5 각수
3.6 기하적 비(geometrical ratio)
3.7 두 수의 최대공약수
3.8 기하비례
3.9 비례식의 규칙과 유용성
3.10 합성 관계
3.11 등비수열
3.12 무한 소수
3.13 이자 계산

제4장_대수방정식의 풀이
4.1 일반적인 풀이법에 대하여
4.2 일차방정식의 풀이에 대하여
4.3 4.2와 관련한 질문과 풀이
4.4 2개 이상으로 된 연립 일차방정식의 풀이
4.5 순 이차방정식의 풀이에 대하여
4.6 완전 이차방정식의 풀이에 대하여
4.7 다각함수의 근을 구하는 것에 대하여
4.8 이항식의 제곱근 풀이
4.9 이차방정식의 성질
4.10 순수 삼차방정식
4.11 완전 삼차방정식의 풀이
4.12 카르다노의 공식 혹은 스키피오 페레오의 공식
4.13 사차방정식의 풀이
4.14 사차방정식의 풀이를 삼차방정식의 풀이로 축소하는 봄벨리 공식
4.15 사차방정식의 새로운 풀이 방법
4.16 근삿값을 이용한 방정식의 풀이

1. 증가하거나 감소할 수 있는 것을 크기 또는 양이라고 한다. 따라서 돈의 합은 양이다. 왜냐하면 돈은 증가하거나 감소할 수 있기 때문이다. 무게나 이 같은 성질을 가진 다른 것도 마찬가지이다.

2. 이 정의에 따르면 어떤 양 또는 크기의 종류는 너무나 다양하여 그것을 어떤 한 규칙에 따라 계산할 수는 없다. 바로 이 점 때문에 수학은 여러 종류로 나뉘며, 각각은 특별한 종류의 크기를 다룬다. 일반적으로 수학이란 ‘양의 과학’ 또는 ‘양을 측정한느 방법을 연구하는 과학’이다.

6. 따라서 대수학에서는 양을 표현하는 수를 다룰 뿐 양의 다양한 종류는 다루지 않는다. 양의 다양성은 수학의 다른 분야에서 다루는 주제이다.

7. 산수는 특히 수를 다루므로 ‘이른바 수의 과학’이라고 할 만하다. 그러나 이 과학은 일상에서 흔히 쓰는 계산의 몇 가지 방법만을 의미한다. 반면 대수학은 이와 달리 수를 이용한 법칙과 계산할 때 존재할 수 있는 모든 가능성을 포괄적으로 다루는 것이다.

27 여기에서 우리는 문자들의 나열 순서가 차이를 만들지 않는다는 사실을 발견할 수 있다. 따라서 ab는 ba왕 같은 것이며 b에 a를 곱한 값은 a에 b를 곱한 값과 같다. 이를 이해하려면 간단히 a와 b라는 문자에 3과 4라는 수를 대입해 보면 된다. 3곱하기 4는 4곱하기 3과 같다.

68 7과 같이 다른 수, 예를 들어 3으로 나뉘지 않는 수가 있다고 할 때 몫은 정수로 나타낼 수 없다. 그러나 그 몫에 대한 개념을 형성할 수 없다고 생각해서는 안 된다. 길이가 7피트인 선을 상상해 보자. 이 선을 똑같은 길이를 갖는 3부분으로 나눌 수 있고 이 3부분 중 하나의 길이에 대한 개념을 생각할 수 있다는 것을 의심하는 사람은 없을 것이다.

143 그리고 생각할 수 있는 모든 수는 0보다 크거나 0보다 작거나 0이기 때문에 음수의 제곱근은 생각할 수 있는 수 가운데는 없으므로 생각할 수 없는 수라고 해야 한다. 이런 방식으로 우리는 본질적으로 생각할 수 없는 수를 생각하게 되고 이들은 상상 속에만 존재하기 때문에 이러한 수를 허수라고 부른다.

563 대수학의 주요 목적은 수학의 다른 분야의 목적과 마찬가지로 알려져 있지 않은 양의 값을 결정하는 것이다. 그리고 이것은 주어진 조건들―이들은 항상 이미 알려진 수로 표현된다―을 주의 깊게 생각하여 구할 수 있다. 이러한 이유 때문에 대수는 ‘알려진 양을 써서 미지의 양을 결정하는 방법을 가르치는 과학’이라고 정의되어 있다.