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21세기에 꼭 필요한 교양, 수학!

『문명, 수학의 필하모니』는 수학을 문명 발달의 맥락에서 살펴보는 책이다. 전작 〈수학으로 과학보기〉에서 수학과 과학의 연결고리를 제시했던 서울대 김홍종 교수가 이번에는 21세기의 필수교양으로 수학을 제시한다. 수학을 재미있게 가르치기로 유명한 저자는 수학을 다양한 관점에서 세상과 엮어 살펴보는 교양 강좌 '문명과 수학'을 8년째 맡고 있다.

저자는 그동안 꾸준히 수학이 우리의 일상생활과 밀접하게 연결되어 있음을 강조해왔다. 이 책에서도 사상, 예술, 사회, 기술, 자연, 과학, 언어, 심리, 놀이 등 다양한 관점에서 세상과 수학을 연결시켜 보여준다. 고대 그리스철학과 피타고라스를 통해 수학의 원형을 개괄하고, 음악과 미술이 발전하는 데 수학이 어떤 역할을 했는지를 구체적으로 다루고 있다.

또한 민주주의 사회에서 자신의 권리를 보장받고 타인의 권리를 존중하는 방법, 선거 제도, 전쟁에서 승패를 결정짓는 중요한 역할을 했던 암호, 경제학에 큰 영향을 끼친 게임이론 등을 수학적으로 살펴본다. 저자는 고대문명로부터 이어져온 '있음(1)'과 '없음(0)'의 문제가 현재 디지털 혁명의 시작이며, 디지털 혁명 이후 맞이하게 될 새로운 패러다임인 '아날로그'를 위해서 젊은이들이 수학적 지식을 갖추어야 한다고 강조한다.

다음은 아날로그, 그리고 수학

수학을 재미있게 잘 가르치기로 유명한 서울대 김홍종 교수는 과학부터 미술, 음악까지 가로지르는 강의와 저술로 이름난‘글발 좋은’수학자이기도 하다. 전작《수학으로 과학보기》(2005)에서 수학과 과학의 연결고리를 제시해 신선한 반응을 불러일으켰다. 그가 8년째 공들이는 강의가 있는데, 바로 2001년 서울대가 유래를 찾기 힘든 대대적인 교과목 개편에서 핵심교양과목으로 개설한‘문명과 수학Mathematics in Civilization’이다.

“셈이 무엇을 뜻하였는지 인류가 이해하게 된 것은 겨우 1930년대부터였다. 이후로 인류는 인공 언어를 개발하였고, 자연 언어를 이해하게 되었다. 옳고 그르다는 생각은 전깃불이 들어오고 나가는 것으로 바꿀 수 있었고, 디지털 문명을 탄생하게 하였다. 오늘날 이러한 문명의 발전 속에는 고도로 발전한 셈법이 핵심적인 역할을 하고 있다. 그러나 이러한 셈, 즉 디지털적인 사고는 인류 발전의 매우 초보적인 단계이다. 그러므로 학교에서 더 큰 상상력을 가지도록 인도하여야 하며, 앞으로 맞이하게 될‘아날로그 혁명’을 준비할 때이다.”

고대문명으로부터 이어져온‘있음(1)’과‘없음(0)’의 문제가 현재의 디지털 혁명의 시작이며, 우리 젊은이들이 앞서가기 위해서는 반드시 수학적 지식을 갖추어야한다고 강조하는 저자는 디지털 혁명 이후,‘아날로그’가 새로운 패러다임이 될 것이며 수학이 지금보다 더 중요한 역할을 하게 되리라 역설한다.

어둠을 되짚어가게 하는 힘, 수학

수학은 어느 곳에서도 변화하지 않는 성질을 추구한다. 어떤 삼각형이든 내각의 합은 180°이고, 어떤 직각삼각형이든 빗변 길이의 제곱은 나머지 두 변의 길이의 제곱을 합한 것과 같다(a2+b2=c2)는 등의 진리다. 어떤 사람은 수학적 지식이 무슨 쓸모가 있는지 의구심을 갖는 사람도 있다. 하지만 좀 더 깊이 들여다보면, 수학은 인류에게‘모든 것에 두루 미치거나 통하는 성질’, 즉 보편성普遍性을 제공한다는 사실을 발견하게 된다. 왜냐하면 수학의 바탕에 깔려있는 정신이 매우 순수하여, 그것으로부터 얻을 수 있는 다양하고 놀라운 결과들을 누구나 이해할 수 있도록 설명하기 때문이다.
초등학교에 들어가면 사물을 구별해 하나, 둘 세기 시작하고, 중?고등학교에서는 구체적인 숫자 대신 , 등의 미지의 수를 통해 추상적인 사고를 배운다. 그리고 대학에서는 도형이나 방정식들의 대칭성을 이해하면서 매우 다르게 보이는 것들이 같은 원리에서 나온다는 이치를 깨닫는다. 이 모든 과정에 증명이 있다. 저자는 수학에서의‘증명’을 어두운 밤, 길을 잃고 헤맬 때 멀리 불빛을 따라 길을 되짚어가는 과정에 비유한다. 진리를 자기 스스로 확인할 수 있을 뿐만 아니라, 자신이 발견한 내용을 타인들도 이해할 수 있도록 설명하는 것이므로. 그러나 증명보다 더욱 중요한 것은 찾아갈 불빛을 어떻게 발견하는가이다. 여기에 필요한 것이 소위 영감靈感을 떠올리는 훈련이다. 그런 면에서 수학은 고도의 정신적 활동이다.

세상의 답은 수학이었다

저자는 꾸준히 수학이 우리의 생활과 동떨어져있지 않음을 강조해왔다. 큰 산에 오르다보면 나무와 바위, 꽃과 나비 등을 만나는 것처럼 우리가 일상생활에서 만나는 다양한 경험들이 수학과 밀접하게 연결되어 있음을 다양한 사례를 통해 보여준다.
아쉽게도 무한ㆍ언어와 논리ㆍ공간ㆍ시간ㆍ네트워크ㆍ프랙털ㆍ황금비ㆍ자연법칙ㆍ기계 등 더 흥미진진한 주제는 이 책에 담지 못했으나, 사상ㆍ예술ㆍ사회ㆍ기술ㆍ자연ㆍ과학ㆍ언어ㆍ심리ㆍ놀이 등을 다양한 관점에서 수학과 연결해 보여준다. 고대 그리스철학과 피타고라스를 통해 수학의 원형을 개괄하고, 음악과 미술이 꽃 피우는 데 수학이 어떤 역할을 했는지 여러 자료를 통해 구체적으로 살핀다. 뿐만 아니라 민주주의 사회에서 나의 권리를 보장 받고 타인의 권리도 존중하는 방법과 선거 제도를 꼼꼼하게 수학적으로 따져본다. 그밖에도 전쟁에서 승패를 가르는 중요한 역할을 했던 암호, 경제학에 지대한 영향을 끼친 게임이론을 통해 수학의 진면목을 실증적으로 제시한다.

머리말

1. 사상과 수학
ㆍ수와 표상
수상 / 큰 숫자와 작은 숫자 / 진법 / 십진소수법 / 수비관 / 영, 무, 공
ㆍ태초에 말씀이 있었으니 - 피타고라스와 로고스
피타고라스 정리 / 피타고라스 정리의 증명 / 공측성 /
데카르트 / 피타고라스의 삼중쌍 / 페르마의 마지막 정리

2. 예술과 수학
ㆍ천구의 화음
화음 / 삼분손익법 / 순정율 / 12음계 / 주파수 / 손뼉치기 / 피타고라스 콤마
평균율 / 로그함수 / 음고류 / 센트 / 삼각함수 / 음색 / 진동
ㆍ그림, 다시 태어나
소실점 / 지평선 / 거리점 / 정사각형 그리기 / 조화평균 / 평균사변형 쪽매붙이기
2점 투시 / 3점 투시 / 원의 그림자 / 변태
ㆍ삼라만상 - 모습과 분류
쪽매붙이기 / 정규쪽매붙임 / 일면쪽매붙이기 / 콘웨이 기준
다면쪽매붙이기 / 주기불가 쪽매 / 대칭성

3. 사회와 수학
ㆍ더불어 사는 사회, 민주주의 - 투표와 선출
순위표시법 / 쌍쌍비교법 / 보르다 셈법 / 최소득표자탈락제 / 국제올림픽위원회 / 콩도르세 패러독스
과반수 기준 / 사퇴자와 무관한 제도 / 단조기준 / 합리적인 선거제도 / 사회선택
고양이 목에 방울 달기 / 토너먼트 / 순위 매기기 / 복수 선출법 / 가중투표제 / 권력지수
ㆍ우리는 하나 - 공평한 분배
분할선택법 / 평행분할법 / 다인 분배 / 고독한 분할법 / 고독한 선택법
마지막 감축법 / 움직이는 칼 / 평행분할법 / 가중 분배 / 남부럽지 않은 분배
솔로몬의 지혜 / 순서대로 고르기 / 합병 / 자연수 배정 / 해밀턴식 배정
알라배마 패러독스 / 인구증가 패러독스/ 오클라호마 패러독스 / 변환정원법 / 반올림

4. 기술과 수학
ㆍ어둠 속의 빛 - 암호
법산 / 9-법선 / 10-법산 / 오류 수정 / 11-법산 / 유클리드 호제법 / 서로 소
페르마의 작은 정리 / 이산 로그 / 견우와 직녀 / 공개키 암호 / RSA 공개키 암호
ㆍ게임의 법칙
헥스 / 조합 게임 / 알집기 / 루빅 큐브 / 정치인 / 폰 노이만 게임 / 제로섬 게임
거짓말 게임 / 미니맥스 정리 / 여우 굴 / 흑백흑 / 알아맞히기 게임 / 비제로섬 게임
죄수의 딜레마 / 심숭과 알지 / 자연과의 게임 / 귀납적 게임

부록
참고문헌
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