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역사적으로 접근한 수학의 세계!

수학에 나오는 상수들 가운데 π, e, i가 가장 친숙하다. 그 뒤를 잇는 감마(γ)는 수학의 여러 분야에 등장하지만 여전히 많은 신비를 간직하고 있다.『오일러상수 감마』는 18세기를 풍미한 스위스의 천재 수학자 레온하르트 오일러의 인성과 그의 아이디어들을 중심으로, 신비에 싸여 있는 상수 감마에 대해 살펴보는 책이다.

오일러가 처음 소개한 감마의 값은 0.5772156…이다. 감마는 교대조화급수, 해석학, 수론 등 여러 영역에서 놀라운 방식으로 등장하지만 π나 e와 달리 그 정확한 값이 밝혀지지 않았으며, 심지어 그 값이 유리수인지 무리수인지도 모른다.

이 책은 수학의 실제적 기법들을 소개하되, 그것들이 처음 발견되었을 때의 역사적 맥락 안에서 살펴본다. 저자는 역사적 접근법을 통해 다소 어려울 수 있는 주제들을 흥미롭게 다루고 있다. 수학과 역사를 교묘하게 엮으면서 감마를 정의하는 두 요소, 로그와 조화급수의 세계로 초대한다. 또한 여러 가지 수학 기호들과 수식의 사용을 기피하지 않았다.

이 책의 특징은 무엇보다 ‘역사적 접근법’이라 할 수 있다. 수학의 실제적 기법들을 소개하되, 그것들이 처음 개발되었던 때의 역사적 맥락 안에서 다루기 때문이다. 저자가 택한 역사적 맥락은 18세기이며, 이 시대를 풍미한 천재 레온하르트 오일러는 앞으로 전개될 수학을 위해 새로운 언어와 기법을 창조했다. 이 책은 오일러의 인성과 그의 아이디어들을 중심으로 이야기를 풀어 간다.

수학에 나오는 상수들 가운데 π, e, i가 가장 친숙하다. 그 뒤를 잇는 상수 감마(γ)는 수학의 여러 분야에서 등장하지만 아직도 깊은 신비를 간직하고 있다. 저자는 수학과 역사를 교묘히 엮으면서 독자를 감마를 정의하는 두 요소, 곧 로그와 조화급수의 세계로 끌어들인다. 감마는 오일러가 처음 소개했으며, 그 값은 선뜻 호감이 가지 않는 0.5772156…이다. 감마는 교대조화급수, 해석학, 수론 등 여러 영역에서 놀라운 방식으로 등장한다. 하지만 π나 ㄷe와는 달리 감마의 정확한 값은 신비에 싸여 있으며, 심지어 그 값이 유리수인지 무리수인지도 아직 모른다. 오죽했으면 고트프리 해럴드 하디(Godfrey Harold Hardy)는 감마가 무리수임을 증명하는 사람에게 옥스퍼드에서 자신이 차지하고 있던 서빌기하학석좌교수직을 내놓겠다고 제안했을까!

이 책은 여러 가지 수학 기호들과 수식의 사용을 기피하지 않는다. 이에 대해 저자는 이렇게 말한다. “만일 기피한다면 우리는 수학에 대해 이야기할 수 있을 뿐 실제로 수학을 배우지는 못할 것이기 때문이다. 다만 고도의 기법은 거의 사용하지 않을 것이며 오히려 간단한 아이디어들을 고도로 활용하는 경우가 더 많다 … 따라서 독자들은 여러 군데에서 종이와 필기구를 쓸 채비를 갖추어야 한다. 수학은 보면서 즐기는 경기가 아니기 때문이다!” 그렇다고 해서 이 책이 접근하지 못할 만큼 어려운 것은 아니다. 저자는 역사적 접근법을 통해 흥미를 더하면서도 다소 어려울 수 있는 주제들을 쉽게 전달한다. 그러므로 깊이가 없는 수학 대중서로는 만족할 수 없는 사람이나 교과서의 건조함과 형식성에 체념한 사람은 이 책에서 자신들이 찾던 것을 발견할 수 있을 것이다.

서문
감사의 글
들어서면서

제1장 로그 요람
제2장 조화급수
제3장 부조화급수
제4장 제타함수
제5장 감마의 고향
제6장 감마함수
제7장 경이로운 오일러식
제8장 지켜진 약속
제9장 감마는 도대체 무엇인가?
제10장 소수로서의 감마
제11장 분수로서의 감마
제12장 감마는 어디에?
제13장 조화가 넘치는 세상
제14장 로그가 넘치는 세상
제15장 소수의 문제
제16장 앞장선 리만

부록 A 그리스 문자
부록 B 차도(次度) 표기법(Big Oh Notation)
부록 C 테일러전개
부록 D 복소함수론
부록 E 제타함수에의 응용

옮긴이의 말
참고자료
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“수학을 공부하는 참으로 사랑스런 학생들에게 큰 수의 곱셈, 나눗셈, 제곱근, 세제곱근 등의 계산처럼 귀찮고 골치 아픈 것도 없다. 이런 계산들을 하자면 엄청난 시간을 지겹도록 소모해야 할 뿐 아니라 대개의 경우 사소한 잘못을 저지르기 십상이다. 이에 나는 이런 장애들을 극복하는 데에 필요한 확실하고도 간편한 기법이 무엇인지 생각해 보기 시작했다. 그래서 이 용도에 쓰일 여러 가지 방법들을 검토했으며, 마침내 (어쩌면) 이후로도 계속 쓰이게 될 단순하면서도 탁월한 규칙들을 얻어 냈다.”
- 1장 로그함수, 31쪽(로그를 발명한 네이피어의 글)

제기될 수 있는 모든 의문 가운데 가장 근본적인 세 가지는 다음과 같다.
(1) 주어진 수가 소수인가?
(2) 어떤 수 x 이하의 소수는 몇 개인가?
(3) x번째 소수 는 무엇인가?
작은 수들의 경우 이에 대한 답은 쉽게 나온다. 101은 소수이며, 50번째 소수는 229이고, 10,000보다 작은 소수는 1,229개이다. 하지만 수가 커질수록 이 문제들은 아주 어려워진다. 252,097,800,623은 소수일까? 100,000,000,000,000,000,000보다 작은 소수는 몇 개일까? 100,000,000,000,000,000번째 소수는 무엇일까? 이런 질문들은 바로 답할 수 없는데, 잘 알다시피 소수의 개수는 무한이므로 이런 것들도 ‘작은’ 수에 지나지 않는다.
- 15장 소수의 문제, 253~254쪽

프랑스의 한 노수학자는 “수학 이론은 길을 가다 처음 만나는 누구에게나 설명할 수 있을 만큼 명확하지 않다면 완전하다고 할 수 없다”라고 말했습니다. 이처럼 수학 이론이 선명하고도 이해하기 쉬워야 한다는 조건에 덧붙여, 저는 완전한 수학적 문제가 갖추어야 할 또 다른 조건을 요구합니다. 우리의 마음은 선명하고 쉽게 이해되는 것에 이끌리고 복잡한 것을 꺼리지만, 모름지기 어떤 수학 문제가 우리를 유혹하려면, 도무지 접근할 수 없을 정도로 어려워 우리의 모든 노력을 비웃는 것이 아닌 한, 충분히 어려워야 합니다.
- 16장 앞장선 리만, 321쪽(1900년 파리 국제수학자회의 다비드 힐베르트의 강연)