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상상의 수, 허수를 통해 살펴본 수학적 상상의 세계 그리고 상상하는 즐거움

상상하기 어려운 '허수'라는 대상을 수학에 도입하는 과정을 설명한 책. 하버드대학교의 저명한 수학 교수인 배리 마주르는 우여곡절 많았던 허수의 수용과정을 추적하면서 수학에 친숙하지 않은 독자들을 수학적 상상의 세계로 안내한다.

수학에서 상상력이 필요한 이유를 제시하고 상상하는 훈련을 통해 누구나 수학적 사고력을 확장시킬 수 있도록 도와준다. 또한 문학적 상상력과 수학적 상상력을 비교해 이들 사이에 존재하는 연결고리를 드러내고 발상의 전환과 상상력이 문학과 수학의 공통점임을 알려준다.

《허수》는 상상력과 제곱근의 관계와 표현, 이미지 잡아 늘리기를 통한 수학 익히기, 수에 내재되어 있는 기하학적 의미와 대수학의 이해 등으로 구성했다.

‘상상의 수’ 없는 수학은 상상할 수 없다

그 후 나는 대학 물리학과에 진학하여 현대물리학에서 양자역학(Quantum Mechanics)이라는 과목을 처음 접하게 되었고, 담당 교수님으로부터 “지금까지 배운 물리학은 모두 잊어라. 올바른 물리학은 양자역학뿐이다. 그리고 양자역학의 수학체계는 모두 허수로 이루어져 있다”는 또 한 번의 충격선언을 들어야 했다. 모든 연산자와 파동함수, 그리고 가장 중요한 슈뢰딩거의 파동방정식에 한결같이 허수(복소수)가 개입되어 있다는 것이다. - 옮긴이 서문 중에서

이처럼 이름부터 미심쩍은 수인 허수는 의외로 수학과 과학에서 매우 중요한 위치를 차지한다. 역설적이지만 현실세계를 만족스럽게 설명하려면 ‘상상의 수’인 허수가 반드시 필요하다. 그렇다면 수학자들은 허수라는 상상하기 어려운 수를 어떻게 수학에 도입하게 되었을까? 이 책은 우여곡절 많았던 그 수용과정을 추적하면서 독자들을 수학적 상상의 세계로 안내한다.

제곱해서 음수가 되는 수?

학창시절에 “자신을 제곱하여 음수가 되는 수를 허수(虛數)라고 한다”는 수학 선생님의 충격적인 선언을 듣고 커다란 배신감을 느꼈던 경험이 있을 것이다. 초등학교와 중학교에서는 “모든 수의 제곱은 양수이다”, “음수를 두 번 곱하면 양수가 된다”라고 말해 놓고 이제 와서 딴소리를 하다니!

‘제곱해서 음수가 되는 수’라니, 과연 이런 수가 존재할까? 허수에 관한 설명을 처음 들은 사람이라면 누구나 이런 의문을 떠올렸을 법하다. 초등학교와 중학교에서 배우는 수, 곧 자연수, 정수, 유리수, 실수는, 양수이건 음수이건, 모두 제곱하면 양수가 되기 때문이다.

다행히 우리는 혼자가 아니다. 과거 수학자들도 사정은 마찬가지였다. 허수를 “불가능한” 수라고 단정 지었던 15세기 이탈리아 수학자 니콜라스 슈케(Nicolas Chuquet, 1445~1488)의 주장은 유럽의 수학자들 사이에 널리 수용되었다. 그러나 허수는 나름의 효용성을 입증하며 끈질기게 살아남았고, 대수학의 계산을 수행하는 데 매우 강력한 도구임이 밝혀졌다. 그렇지만 허수의 수용과정이 순탄했던 것만은 아니다. 허수가 마침내 만족스러운 ‘이미지’를 얻고, 수학자들이 허수를 편안하게 사용하기까지는 무려 300여 년이 걸렸다.

상상의 수, 허수

음수의 제곱근인 허수의 수용과정이 그토록 험난했던 이유는 무엇일까? 여러 이유가 있지만 무엇보다 과거 수학자들이 허수를 눈으로 볼 수 없었기 때문이다. 기존의 수들은 수직선이나 좌표평면 위에 표현할 수 있었지만 허수는 그럴 수 없었다. 그들에게 시각화할 수 없다는 것은 현실세계에 존재하지 않는다는 의미였으며, 그리하여 이 괴상한 제곱근에는 Imaginary Numbers, 곧 ‘상상의 수’라는 이름이 붙었다. 허수를 나타내는 기호 i는 바로 Imaginary의 첫 글자 i에서 유래했다.

시인의 마음으로 들여다본 수학적 상상의 세계

하버드대학교의 수학 교수이며 문학에도 조예가 깊은 배리 마주르(Barry Mazur)는 이 ‘상상의 수’를 설명하는 방편의 하나로 문학을 선택했다. 수학과 문학, 일견 완전히 동떨어진 분야인 것 같지만 둘 다 ‘상상력’과 ‘발상의 전환’이 중요하다는 공통점이 있다. 마주르는 이 책을 “수학적 상상력을 경험해 보고 싶고, 그러한 경험을 시구(詩句)를 읽고 이해하는 데 쓰이는 상상력과 비교해 보고자 하는” 독자들을 위해 썼다. 따라서 수학 애호가들뿐만 아니라 평소 수학을 어렵게 느꼈던 문학 애호가들까지 수학적 상상의 변천사를 문학적으로 설명하는 이 책을 읽으면서 상상하는 즐거움을 누릴 수 있을 것이다.

서문 8
옮긴이 서문 12

1부 17

1장 상상력과 제곱근 19
1. 상상해 보자 19
2. 상상력 27
3. 읽는 것을 상상하기 30
4. 수학적 문제들과 제곱근 32
5. 수학적 문제란 무엇인가? 35

2장 제곱근과 상상력 38
6. 제곱근이란 무엇인가? 38
7. 제곱근이란 무엇인가? 43
8. 2차방정식의 근의 공식 44
9. 음수의 제곱근은 어떤 종류의 수인가? 48
10. 지롤라모 카르다노 49
11. 정신적 고문 51

3장 숫자 들여다보기 55
12. 상상의 세계는 어떻게 표현될 수 있는가? 55
13. 지성적인, 상상의, 불가능한 58
14. 똑바로 보기와 곁눈질로 보기 59
15. 이중부정 61
16. 튤립은 노란색인가? 65
17. 단어, 사물, 그림 66
18. 직선 위에 숫자 표시하기 68
19. 실수와 소피스트 74

4장 허락과 법칙 77
20. 허락 77
21. 강요된 관습인가 아니면 정의인가? 82
22. 분배법칙은 어떤 종류의 ‘법칙’인가? 84

5장 간결한 표현 88
23. 평면의 도해 88
24. 성질의 기하학 94
25. 여분의 상상력 97

6장 법칙 정당화하기 100
26. 법칙을 믿는 이유 100
27. 곱셈의 정의 102
28. 분배법칙과 그 영향 107
29. 소득이 있는 원과 헛수고에 불과한 원 109
30. 그렇다면 음수에 음수를 곱하면 왜 양수가 되는가? 110

2부 113

7장 봄벨리의 수수께끼 115
31. 카르다노와 타르탈리아의 논쟁 115
32. 봄벨리의 대수학 120
33. “나는 기존의 해와 전혀 다른 새로운 종류의 세제곱근을 구했다.” 124
34. 알고리듬의 관점에서 본 수 131
35. 미지수의 이름 132
36. 미지수와 수 134

8장 이미지 잡아 늘이기 137
37. 수직선의 신축성 137
38. ‘상상하기’와 ‘그리기’ 143
39. 글쓰기의 발명가들 146
40. 허수의 계산 148
41. 시간이 누락된 수학 153
42. 의심스러운 해답 154
43. 봄벨리의 수수께끼로 되돌아가서 155
44. 봄벨리와의 대화 157

9장 수로 표현되는 기하학 160
45. 여러 개의 손 160
46. 을 곱한다는 것은 무슨 의미인가? : 대수학과 기하학의 혼합 162
47. 글쓰기와 노래하기 164
48. 표기법의 위력 165
49. 수평면 170
50. 조용히, 내면의 소리로 생각하기 174
51. 복소평면 176
52. 솔직한 고백 178

10장 수의 기하학적 속성 181
53. 위대한 발견의 순간들 181
54. 하나의 대상과 다른 대상을 연결 짓는 방법 182
55. 노래와 이야기 183
56. 복소평면에서의 곱셈. 의 기하학적 의미 185
57. 나의 추측이 옳다는 것을 어떻게 확신할 수 있을까? 187
58. 수의 정체는 과연 무엇인가? 189
59. 복소평면에서의 곱셈을 어떻게 시각화할 수 있는가? 190

3부 195

11장 수에 내재되어 있는 기하학적 의미 197
60. “이 방정식들은 그 성질은 다르지만 코사인방정식과 동일한 형태이다.” 197
61. 새로운 발견에 대한 평가 204

12장 기하학을 통한 대수학의 이해 211
62. 쌍둥이 211
63. 봄벨리의 세제곱근 : 알고리듬에 입각한 달 페로의 공식 213
64. 형식과 내용 218
65. 그러나… 220

부록 2차방정식의 근의 공식 223
후주 225
더 읽을 책 256
감사의 글 259
찾아보기 261

스탕달(stendhal)은 교사들과 친구들이 “음수 곱하기 음수는 양수다”라고 아무리 설명해도 납득하지 못했다고 한다. (중략) “그 누구도 음수에 음수를 곱하면 양수가 된다는 법칙을 내게 납득시키지 못했다는 것은 정말로 놀라운 사실이 아닐 수 없다! 그들은 단지 설명하지 못한 것이 아니라 그 자신도 명확히 이해하지 못하는 논거로 설명하려 했다.” - 본문 64쪽

내 친구는 최근에 다섯 살 난 아이에게 뺄셈을 가르친 적이 있다. 그가 “8에서 6을 빼면 얼마지?”라고 물으니 아이는 “2요!”라고 대답했고, “8에서 8을 빼면 얼마지?”라고 물었더니 아이는 “아무것도 없어요”라고 대답했다고 한다. 또 “6에서 8을 빼면 얼마지?”라고 물었더니 역시 “아무것도 없어요”라는 대답이 돌아왔다. 물론 얼마든지 있을 수 있는 일이다. 그런데 이 시점에서 아이에게 수직선을 그려 주고 거의 아무런 설명도 덧붙이지 않은 채 “6에서 8을 빼면 얼마지?”라고 다시 물었더니 아이는 당장 “-2요!”라고 자신 있게 대답했다고 한다. 아이의 머릿속에서 대체 어떤 변화가 일어났던 것일까? - 본문 73~74쪽

상상의 세계에서는 우리가 어떤 경계면 안에 갇혀 있는지, 아니면 무한한 영역으로 뻗어 나갈 수 있는지 항상 헷갈린다. 수학이 허용되지 않는 절박한 상황에 처하면, 우리는 모두 열렬한 플라톤주의자(수학적 대상은 ‘저 어딘가’에 있으면서 누군가 발견해 주기를 기다리고 있다)가 되고, 수학은 발견이 된다. 그러나 비에트처럼 강한 의지력으로 수학적 직관을 확장시켜 주는 사람을 만나면 우리의 사유가 자유로워지고 수용할 수 있는 내용이 다양해지며, 수학은 발명이 된다. - 본문 82쪽


‘기하학적 표현’은 수를 대하는 우리의 태도에 커다란 변화를 야기한다. 특히 음수의 제곱근인 허수를 만족스럽게 상상하고자 한다면 이 변화가 매우 중요하다. 이를 위해서는 우선 수 자체를 기하학적으로 생각할 수 있어야 한다. - 본문 141쪽