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수학에 대한 전통적인 견해와 다른 발상에 따라 '수학이란 무엇인가?'라는 질문에 답했다. 저자의 연구와 교육 경험을 바탕으로 다양하고 구체적인 에를 통해, 수학에 대한 자신의 견해를 자세하고 설득력 있게 제시했다. 수학에 대한 새로운 관점을 통해 수학의 실체에 좀더 가까이 접근할 수 있다.

수학의 전통적인 견해에 대한 도전!
본격적인 인본주의 수리 철학서

이 책은 수학에 대한 전통적인 견해와 다른 발상에 따라 ‘수학이란 무엇인가?’라는 질문에 답하려고 시도한다. 수학자 로이벤 허시(Reuben Hersh)는 “수학에 대한 나의 첫째 가정은 ‘수학은 사람이 하는 것’이다.”는 신조에 따라, 수학은 사회/문화/역사적 대상을 연구하는 인간의 활동이며, 사회적 현상과 인간 문화의 일부로 이해해야 한다고 역설한다. 그는 이를 인본주의(humanism) 수리 철학이라 불렀다.

지금껏 거의 모든 수리 철학은 수학을 고립되어 있고 영구적이며 역사와 무관하고 인간적이지 않은 학문으로 다루고 있다. 그러나 《도대체 수학이란 무엇인가?》에서는 이와 정반대를 주장한다.
허시는 전통적인 수리 철학, 특히 플라톤주의와 형식주의에 대한 파괴적인 공격을 통해서, 수학은 반드시 인간의 활동과 사회적 현상 및 인류 문화의 일부로 이해해야 하고 역사적으로 진화하며 사회적 문맥 속에만 이해 가능하다는 점을 밝히고 있다. 수학적 대상은 임의적인 것이 아니라 인간에 의해 창조되는 것으로, 현존하는 수학적 대상에 대한 활동 및 과학과 일상 생활의 필요에 의해 창시된다.

허시는 불분명한 장막을 말끔히 거둬내고 전문자의 시각에서 수학을 드러내보이며 수학의 많은 신화를 허물어뜨렸다. 그는 수학의 본질에 대한 ‘인본주의’의 발상이 수학자들이 실제로 연구하는 방법에 훨씬 더 가까이 접근해 있음을 입증한다. 그는 인본주의의 입장에서 증명, 확실성, 발명 대 발견에 관한 고대부터의 논쟁을 해결한다.

그리고 제2부에서는 피타고라스, 플라톤, 데카르트, 스피노자로부터 칸트, 러셀, 카르나프, 콰인까지의 ‘주류’ 철학에 대한 매혹적인 역사가 전개된다. 그 다음에 수학을 인간의 작품으로 생각하는 인본주의자인 아리스토텔레스, 로크, 흄, 밀, 퍼스, 듀이, 비트겐슈타인이 소개된다.
결론에서, 허시는 이것이 단순한 탁상공론이 아니며 외부 세계에 하찮은 결과만을 주지 않음을 밝혀낸다. 플라톤주의와 엘리트주의는 자연스럽게 서로 어울린다. 반면에, 인본주의는 사람과 사회와 역사와 연결된다. 이는 편견 없는 반엘리트주의와 어울리고, 보편적인 교양 교육과 고등 교육 및 지식과 문화에 대한 보편적인 접근을 위한 역사적인 노력에 적합하다. 그래서 허시의 논거에는 교육적이고 정치적으로 중요한 점이 있다.

이 책은, 저자가 고등 수학 문제에 대한 20년 동안의 연구 경험과 35년 동안 학부와 대학원에서 쌓은 교육 경험 및 오랫동안 철학자들의 말을 듣고 글을 읽었으며 그들과 나눈 대화를 바탕으로 하는, 수학적 삶을 잘 알고 있는 사람의 관점을 반영한다. 매우 진취적인 이 책은 틀림없이 수학이나 과학 철학에 열정적인 관심을 가진 모든 사람의 뜨거운 논의거리를 제공할 것이다.

수리 철학이란 무엇인가?
독자들의 이해를 돕기 위해 수리 철학의 전문가인 서경대학교 박창균 교수님의 ‘수리 철학의 어제와 오늘’이라는 원고를 덧붙였다. 수리 철학에 대한 기본적인 사항과 전반적인 내용을 알아보려면, 이 글을 읽어보면 된다.

수학자들은 스스로 의식하든 그렇지 않든 간에 수학에 대한 어떤 관점(perspective)을 가진다. 수학적 대상들, 이를테면 수, 함수, 다양체 등은 어떠한 방식으로 존재하는가? 인식 주체와 독립적으로 존재하는가? 아니면 인간 정신 내의 구성물에 불과한가? 만약 수학적 대상들이 플라톤의 이데아의 세계처럼 존재한다면 수학자의 작업은 그 영역에 있는 것들을 ‘발견’하는 것이 되고, 수학자들의 인식 내에서 구성되는 것이라면 ‘창조’하는 행위가 된다. 그러면 “수학적 대상들은 어떻게 발견되는가?” 혹은 “어떻게 만들어지는가?” “무한은 어떻게 이해해야 하는가?” “수학적 진리란 무엇인가?” “왜 순수 수학은 물리학에 응용될 수 있는가?” “수학에서 사용하는 논리는 반드시 연역적이어야 하는가?” “컴퓨터를 이용한 증명을 인정할 것인가?” 등의 물음을 수리 철학은 묻는다. 환언하면 수리 철학은 수학의 존재론적 문제, 인식론적 문제, 수학적 진리의 문제, 수학과 다른 학문과의 관계, 수학의 문화사적 의의 등을 다룬다고 할 수 있다.

인간이 유아기를 지나면서 점차로 자의식이 발달하고 인생의 의미를 놓고 고뇌하게 되듯이 수리 철학은 수학의 정체성을 탐구한다. 수학의 본질적인 측면을 점검해보고 수학에 대한 가능한 여러 가지 견해를 살펴보는 일이 수학 자체를 연구하거나 수학을 교육하는 데 매우 의미 있는 일이라 생각된다. 왜냐하면 어떤 수리 철학적 입장에 서 있느냐에 따라 수학을 연구하는 태도와 이해하는 방식, 그리고 수학을 가르치는 교육의 내용과 방법이 달라지기 때문이다. 수학자나 수학교육학자들은 암묵적으로 전제되어 있는 자신들의 입장을 ‘상대화’시켜 살펴볼 필요가 있으며 이는 창의적인 연구와 교육에 매우 긴요한 함축을 지닌다. 따라서 수학에 관련된 일을 하고 있는 사람이라면 모두 전문적인 수리 철학자는 아니더라도 어느 정도 수리 철학에 대한 이해와 관심을 가지는 것은 유익한 일이라고 생각된다.

20세기 수리 철학은 전기와 후기로 나누어볼 수 있다. 수학의 기초에 대한 논의가 활발하던 시기인 20세기 초로부터 괴델(Godel)의 불완전성 정리가 발표된 30여년 간을 전기로 하고, 후기를 실재론과 반실재론의 대립과 ‘새로운’ 수리 철학이 대두된 최근 30여년 간의 기간이라 한다면, 박창균 교수님의 글은 이미 잘 알려진 전기의 수학기초론보다는 후기를 중심으로 오늘날 활발하게 논의되는 수학에 대한 입장을 소개하려고 하며 ‘새로운’ 수리 철학의 특징을 살펴본다.

목적과 목표
제1부의 개요. 수리 철학의 개탄스러운 상태. 과학 철학에서 쿤-포퍼의 혁명과 수리 철학의 현상태 사이의 유사성. 수학 교육과의 관련성.

제1부
제1장 개관과 제언
수리 철학을 4차원에 관한 문제로 도입한다. 다음에 현대 수학에 대한 짧은 개관, 우세한 철학인 플라톤주의, 마지막에는 근본적으로 다른 관점인 인본주의가 제시된다.

제2장 수리 철학의 기준
수리 철학에 무엇을 요구해야 하는가? 어떤 기준은 본질적이지 않다. 무시된 기준 일부는 필수적이다.

제3장 신화/오류/오해
수학적 삶에서 얻은 일화는 인본주의가 실제로 참됨을 보여준다.

제4장 직관/증명/확실성
모두 오랜 논쟁의 주제이다. 인본주의는 이에 새로운 빛을 비춘다.

제5장 고전적인 수수께끼 다섯 가지
수학은 창조되는가? 아니면 발견되는가? 수학적 대상은 무엇인가? 대상 대 과정. 수학적 존재란 무엇인가? 무한대는 존재하는가?

제2부
제6장 위기 이전의 주류 철학
피타고라스부터 데카르트까지, 수리 철학은 종교의 대들보이다.

제7장 절정기의 주류 철학
스피노자부터 칸트까지, 수리 철학과 종교는 서로 도움을 준다.

제8장 위기 이후의 주류 철학
집합론의 위기는 수학의 확실한 기초에 대한 조사를 낳는다. 세 가지 주요한 시도는 실패한다.

제9장 기초주의의 소멸과 주류의 생존
주류 철학은 여전히 기초에 머물러 있다.

제10장 과거의 인본주의자와 비동조자
인본주의 수리 철학의 기원은 아리스토텔레스까지 거슬러 올라간다.

제11장 현대의 인본주의자와 비동조자
현대의 수학자와 철학자는 현대의 인본주의 수리 철학을 발전시켰다.

제12장 이 시대의 인본주의자와 비동조자
수학자와 다른 사람들은 인본주의 수리 철학에 공헌하고 있다.

요약과 반복
제13장 수학은 삶의 형식
철학과 교육은 서로 작용한다. 철학과 정치. 스스로 채점한 성적표.

수학적 주석과 논평
제1∼13장의 수학적 논점. 정사각형 원에 대한 간단한 설명. 미분 적분학에 대한 완벽한 단기 과정. 괴델의 불완전성 정리에 개한 불로스의 3쪽짜리 증명