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무한의 신비에 대해 무한한 매력과 호기심을 느끼며 살아갔던 수학자, 칸토어의 이야기를 담은 책으로 난해한 내용의 기초수학 분야인 무한의 개념을 알기 쉽게 풀이했다. 칸토어의 삶을 통해 수학자의 적극성과 긍정적 성향, 능동적 자세는 물론이고, 진리를 향한 호기심과 열정을 읽을 수 있을 것이다.

※ 승산 북카페 "이 책의 포럼" ☞ infinity.seungsan.com

19세기말에 접어들 무렵, 역사상 가장 탁월한 수학자 가운데 한 명이 정신병동에서 앓고 있었다. 게오르그 칸토어. 비록 그의 모습은 작고 누추한 병실에서 정신병을 앓고 있는 정신질환의 모습이었으나 그가 이룩한 위대한 업적은 집합론의 창시와 무한의 본질을 선구적으로 파헤첬다는 것이다.

왜 무한인가
무한으로 인해 지난 세기에 수학은 더욱 일관성 있고 더욱 잘 조직된 학문으로 성숙하게 되었다. 무한을 이해해간다고 해도 우리는 결콘 무한의 가장 깊은 속성들을 완전히 이해할 수는 없을 것이다. 결코 인간의 것이 될수 없는 지식이 있다. 그러나 앞으로 계속 연구해간다면 무한에 대한 중요한 결과들을 더 많이 얻을 수 있을 것이다. 수학 연구에서 흔히 일어나는 일이지만, 뭔가를 발견하려고 노력을 집중하게 되면 불가피하게 우리는 어딘가에 이르게 되고 새로운 것들을 배우게 된다. 언제가는 패러독스나 다른 난점이 없는 수학의 기초, 더욱 일관성이 있는 수학의 기초를 우리는 발전시킬 수 있을 것이다.

앞으로 국제사회는 더욱 빠르게 변화하는 양상을 보일 것이며, 우리는 이러한 시대에 뒤쳐지지 않도록 사고력을 향상시키는 노력을 아끼지 않아야 한다. 일상에서 잘 드러나지 않는 기초수학은 이러한 깊은 사고력의 기반이 된다. 그리고 이를 기반으로 한 사고력은 발달과정을 거쳐 고도의 판단능력으로 성장한다. 무한은 이러한 기초수학의 바탕이 되는 학문이다.

흔히들 기초수학을 노하는 것이 기술문명에 무슨 소용이 있겠는가 말한다. 하지만 모든 것에는 원인과 결과가 있듯, 눈에 보이는 기술 기저에는 기초수학이라는 것이 자리 잡고 있음은 부정할 수 없는 사실이다. 기초수학은 비단 컴퓨터나 과학분야에서만 적용되는 것이 아니다. 우리 일상의 모든 것이 수학적인 것과 연관되어있다. 노벨상 수상자인 존 내쉬는 젊은 시절 일상생활의 사소한 단편들을 수학적 공식으로 표현했다. 이렇게 눈에 보이는 수학적 규명을 할 수 있는 사람은 많지 않겠지만, 수학이 우리 삶의 일부분을 차지하고 있슴은 분명한 일이다. 그리고 이러한 수학은 우리의 사고력에도 큰 영향력을 행사한다.

내용 소개
[무한의 신비]는 1918년 정신병동에서 쓸쓸한 죽음을 맞는 칸토어에 대한 이야기를 바탕으로 무한의 이론과 개념에 대해 논하고 있는 책이다. 그것은 단순히 한 개인의 수학적 연구를 규명하는 차원에서 그치는 거싱 아니라, 고대 카빌라와 수비학까지 이르는 심히 비밀스럽고도 은밀한 무한에 대한 본질적인 것을 논하고 있다. 역사적 상황과 사실을 바탕으로 무한의 옷자락을 들추고자 하였던 사람들은 고대 카발리스트나 칸토어와 괴델같은 모두 정신병자가 되어버렸거나 죽음을 맞이 하였다. 중세 이전까지는 무한은 신의 영역이라고 규정지었고 그에 도전하는 것은 곧 신의 위업에 도전하는 것과 같이 여겼다. 그들은 신의 위업에 도전하고자 하여 벌을 받은 것일까.

칸토어는 어떻게 무한에 관한 이론을 세웠는지, 그의 선구적인 업적의 영향력과 결과는 우리 세계의 미래를 어떻게 바꾸게 될 것인가에 대한 질문은 아직도 끊이지 않고 있다. 그는 처음 이 이론을 발표하고자 하였을 때 10년이라는 시간을 두고 망설였었다. 그리고 이 이론이 발표된 후에도 스승과 동료들에게 끊임없는 비난을 받았다.

칸토어의 천재성을 촉발시킨 영감은 수학에 그 뿌리를 두고 있지만, 그 의미는 아직도 다 풀리지 않았다. 다만 1947년 사망한 쿠르트 괴델이 칸토어의 연속체 가설이 다른 수학과 독립적이라는 것을 증명했고, 그로써 수학의 기초는 그 자체가 흔들리게 되었다.

칸토어의 무한이론은 겉보기에 모순되는 것으로 유명하다. 예를들어 우리는 1인치 길이의 직선상에 있는 점의 수가 1마일 길의 직선상에 이는 점의 수와 동일하다는 것을 증명할 수 있다. 우리는 또한 날(days)의 수만큼 많은 해(years)가 있다는 것을 증명할 수 있다. 칸토어가 증명한 바에 따르면 무한집합들은 크기가 동일하다.

칸토어의 수학에 관한 철학적 연구는 고대 그리스의 수학과 유대인의 수비학에 뿌리를 두고 있다. 유대인의 수비학은 카발라로 알려진 신비주의 연구에서 찾아볼 수 있다. 칸토어는 무한을 표현할 때 헤브라이어 알파벳 첫 문자인 알레프라는 기호를 사용했다. 부수적으로 신을 연상하게 하는 의미가 깃들여 있는 알레프는 모든 양의 정수를 합한 신비한 수라고 말할 수 있다. 그러나 알레프는 마지막 양의 정수가 아니다. 왜냐하면 마지막이란 존재하지 않기 때문이다. 알레프는 항상 접근 중인 궁극의 수이다-1이라는 수 이전에 최후의 분수가 없는 것처럼.

뉴욕타임스 북리뷰-리처드 번스타인
저자인 애머 액젤은 [무한의 신비]에서 수학자로 알려진 괴팍한 천재들의 삶과 생각의 핵심을 그려내는 데 탁월한 재능을 보여준다. 그는 칸토어와 괴델에 한정되는 것이 아니라, 고대의 제논부터 피타고라스와 에우독소스와 같은 탁월한 정수론 선구자들의 삶과 생각까지 섬세하게 그려낸다. 액젤은 그들의 발견에 대한 우리의 이해를 심화시켜줄 뿐만 아니라, 그들의 발견을 카발리스트들의 심오하고 비수학적인 명상과 연계시킨다. 카발리스트들에게는 무한이 비의적으로 절대자의 무한성과 동등한 것이었다.

액젤의 책은 너무나 즐겁게 읽을 수 있으면서 동시에 다소 난해한 개념에 좌절감을 안겨준다. 이 책은 명상의 극한에 도전한 위대한 정신을 다루고 있으며, 끝없음 자체의 본질을 다루고 있을 뿐만 아니라, 수학적이면서 동시에 종교적인 결코 수월치 않는 주제를 다루고 있다.

0. 할레 ...011
1. 고대 무한의 기원 ...021
2. 카발라 ...037
3. 갈릴레오 갈릴레이와 볼차노 ...059
4. 베를린 ...079
5. 원을 정사각형으로 만들기 ...099
6. 학생시절 ...109
7. 집합론의 탄생 ...115
8. 최초의 원 ...129
9. "나는 그것을 안다, 그러나 그것을 믿지 않는다" ...137
10. 악의적인 반대 ...149
11. 초한수 ...157
12. 연속체 가설 ...169
13. 셰익스피어와 정신병 ...177
14. 선택공리 ...191
15. 러셀의 패러독스 ...199
....
21. 할루크의 무한한 광채 ...245

*부록 - 집합론의 여러 공리