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수학은 사랑이다!

과학이 눈부시게 발달하고 있다. 과학기술은 우리의 삶을 과거와는 완전히 다른 방향으로 이끌어가고 있다. 그러나 과학은 수학이 뒷받침되지 않으면 이렇게까지 발전하지 못했을 것이다. 수학의 진보는 널리 알려지지 않았고, 현대 수학의 발견은 평범한 사람은 알 수 없는 곳에, 혹은 알 수 없는 언어로 씌어져 있다. 그러나 그런 이유로 미뤄두기엔 수학의 세계는 우아하고 아름다우며 완벽하다. 우리에게는 수학이 필요하고 수학으로 쓰인 세계를 이해할 필요가 있다.

『내가 사랑한 수학』은 러시아에서 미국까지, 사랑의 공식을 찾아 떠난 수학자 에드워드 프렌켈의 여정을 담아낸 책으로, 미국수학협회 오일러 도서상을 수상하기도 했다. 수학 공부를 위해 미국으로 떠난 그는 수학의 대통일 이론이라 할 수 있는 랭글랜즈 프로그램과 만나고, 연구비를 받아 과학자들과 연계하여 수학과 과학의 지평을 넓혀가고 있다. 그는 수학 이야기를 책으로, 연극으로, 영화로 제작하기도 했다. 영화 《사랑과 수학의 의식》에 사용된 공식은 물론 사랑에 대한 공식은 아니지만, 저자에게 사랑은 수학이었고 그가 발견한 위상수학 공식은 아주 아름답고도 우아하다.

저자가 연구하는 랭글랜즈 프로그램을 한마디로 설명하기는 어렵다. 이 책에서 언급되는 모든 수식을 이해할 필요는 없다. 중요한 것은 수식들이 어떤 방식으로 연결되는가, 어떤 식으로 다른 분야에 영향을 미치는가 하는 것이다. 수학이라는 커다란 대륙을 넘나들며 아름답고도 명료한 수학의 언어를 느끼고 감상하기를, 그 결과 세상을 바라보는 시각이 바뀌기를 바라는 것이다.ㄱ

2013 아마존 최고의 책! 뉴욕타임즈 베스트셀러!
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“만약 당신이 수학자가 아니라면, 이 책은 당신에게 수학자의 꿈을 갖게 해줄 것이다.”
-나심 니콜라스 탈레브, 《블랙 스완The Balck Swan》의 저자

▼ 왜 수학인가?
과학이 눈부시게 발달하고 있다. 과학기술은 우리의 삶을 과거와는 완전히 다른 방향으로 이끌어가고 있다. 그러나 과학은 수학이 뒷받침되지 않으면 이렇게까지 발전하지 못했을 것이다. 우리가 일상적으로 쓰는 전기 역시 몇 개의 수식으로 이루어진 맥스웰의 방정식 덕분이다. 아인슈타인의 상대성이론도 간단한 수식의 형태로 표현된다. 때때로 과학자들은 그들의 발견이 이미 수학자들이 정리해 놓은 것이라는 사실을 깨닫곤 한다. 과학의 모든 분야에서 수학은 그 빛을 발휘한다. 이 책의 저자 프렌켈이 연구하는 랭글랜즈 프로그램의 통합적 이론 역시 과학의 여러 분야에 영향을 미친다. 그 이론은 이 세상을 바꿀 것이고, 미래를 열어갈 것이다.
우리나라의 교육 과정에서도 수학은 빼놓을 수 없는 주요 과목이다. 우리의 수학 교육 수준은 높은 편이고, 각종 세계 수학 올림피아드에서 높은 순위를 차지하곤 한다. 그러나 정작 우리나라에는 이렇다 할 수학자가 없다. 대학에서도 수학과는 그다지 인기가 없다.
대개의 사람들은 수학이 어렵고 재미없고 지루하다고 여긴다. 소설이나 영화를 보며 괴로워하는 사람은 드물지만, 수학을 고문처럼 여기는 사람은 많다. 이는 교육의 탓일 것이다. 학교에서 우리가 배운 수학은 아주 일부분에 지나지 않는 데다 대부분은 아주 오래된 것이다. 수학의 진보는 널리 알려지지 않았고, 현대 수학의 발견은 평범한 사람은 알 수 없는 곳에, 혹은 알 수 없는 언어로 씌어져 있다. 그러나 그런 이유로 미뤄두기엔 수학의 세계는 우아하고 아름다우며 완벽하다. 현재 우리의 일상이 수학으로 움직이고 있듯, 미래의 세계는 수학이 좌우할 것이다. 누구나 수학자가 될 필요도, 그럴 수도 없다. 그렇지만 우리에게는 수학이 필요하고 수학으로 쓰인 세계를 이해할 필요는 있다.

▼ 러시아에서 미국까지, 사랑의 공식을 찾아 떠난 수학자의 여정
구소련, 즉 러시아가 페레스트로이카 정책을 펼치기 전까지 러시아는 철의 장벽으로 막혀 있었고, 공산국가로서 사상, 정치, 문화, 학문, 거주, 이동, 경제의 모든 부분을 통제했다.
저자인 에드워드 프렌켈은 부계가 유대인이라는 이유로 차별받았다. 뛰어난 수학 실력에도 불구하고 제대로 된 교육을 받을 수 있는 대학에 들어갈 수 없었다. 어린 나이의에 그는 좌절했지만, 수학에 대한 열정을 포기할 수 없었다. 꾸준히 연구했고, 모든 방법을 동원해서 수학의 끈을 놓지 않았다. 그 덕분에 기회를 얻었지만, 여전히 제한적인 기회였다.
결국 그는 미국으로 향했다. 조국을 떠나고 싶었던 것은 아니지만, 수학을 사랑했고 제대로 연구하고 싶었기 때문이다. 그 후 그는 수학의 대통일 이론이라 할 수 있는 랭글랜즈 프로그램과 만나고, 연구비를 받아 과학자들과 연계하여 수학과 과학의 지평을 넓혀가고 있다.
그는 수학 이야기를 책으로, 연극으로, 영화로 제작하기도 했다. 영화 〈사랑과 수학의 의식〉에 사용된 공식은 물론 사랑에 대한 공식은 아니지만, 저자에게 사랑은 수학이었고 그가 발견한 위상수학 공식은 아주 아름답고도 우아하다.

▼ 로제타석과 랭글랜즈 프로그램
저자가 연구하는 랭글랜즈 프로그램을 한마디로 설명하기는 어렵다. 그야말로 ‘몇 광년’은 떨어져 있음직한 여러 분야들을 연결해나가는 이론이다. 혼돈스러워 보이는 모든 것에 순서와 조화를 만들어내면서 이 세상을 통합하는 단 하나의 이론을 찾아가고 있는 것이다.
이 책에서 언급되는 페르마의 마지막 정리나 갈루아군, 시무라-타니야마-베유의 추측 등을 전부 이해하고 알 필요는 없다. 사실 공식의 대부분은 전공자가 아니라면 외계어처럼 느껴질 것이다. 그러나 중고등학교에서 방정식을 배운 사람이라면 차근차근 읽어가면서 대강의 개념을 이해할 수 있다. 이 책에서 설명하는 수식은 저자가 말했듯 건너뛰어도 된다. 이해할 수 없다면 몰라도 된다. 풀 수 없다면 무시해도 된다. 중요한 것은 수식들이 어떤 방식으로 연결되는가, 어떤 식으로 다른 분야에 영향을 미치는가 하는 것이다. 한 수학 분야와 다른 분야가, 수학이 과학과 어떤 식으로 연관을 맺고 얼마나 큰 영향력을 발휘하는가, 어떤 식으로 혁명과도 같이 새로운 변화를 불러일으키는가, 저자는 그 과정을 설명하려는 것이다. 수학이라는 커다란 대륙을 넘나들며 아름답고도 명료한 수학의 언어를 느끼고 감상하기를, 그 결과 세상을 바라보는 시각이 바뀌기를 바라는 것이다.

▼ 아름답고 명료하며 누구에게나 열린 수학
수학적 발견은 누구도 소유할 수 없다. 유명한 수식 E=mc2은 아인슈타인이 발견했으나 그의 것이 아니다. 저작권도 없고, 이를 이해할 수 있는 사람이라면 누구든 이용하고 향유할 수 있다.
한스 마그누스 엔첸베르거는 수학이 “우리 문화에서 사각 지대이자 오직 비법을 전수받은 소수 엘리트만이 그것을 구해내는 데 성공한 외계의 영역”이라고 말하지만, 수학은 일상적으로 마주치는 모든 것에 엮여 있다. 우리가 손에서 내려놓지 않는 스마트폰은 수학 공식과 알고리즘으로 작동한다. 컴퓨터와 인터넷도 수학 알고리즘으로 이루어져 있다. 매일 온라인으로 무엇인가를 검색하고, 물건을 사고, 인터넷 뱅킹을 이용하는 그 모든 것이 수학이다.
그러나 수학이 수단이기만 한 것은 아니다. 수학은 패러다임을 바꾼다. 아인슈타인의 공식은 과학적 데이터에서 추출해낸 것이 아니라, 수학적으로 사고한 결과 끌어낸 것이다. 아인슈타인은 수학자 리만이 수십 년 전에 발견한 결과를 바탕으로 이러한 공식을 발견했다. 그리고 이는 과학의 패러다임을 완전히 바꾸었다.
저자는 수학이 영감을 필요로 하는 분야라고 말한다. 수학은 관습의 경계를 허물고, 진실을 찾는 무한한 상상력이다. 게오르크 칸토어는 수학의 본질이 자유로움이라고 했다. 그만큼 수학적 상상력은 자유롭고 무한대로 펼쳐나간다. 우리가 수학을 배워야 하고 느끼고 즐겨야 하는 이유는 그것이 유용하기 때문만은 아니다. 사실을 엄밀하게 분석하는 힘, 독단과 편견에서 벗어나 혁신으로 향하게 하는 능력을 배양해주기 때문이다. 그리고 이런 사고방식을 바탕으로 무한히 자유로운 상상력으로 세상을 바라보는 시각을 바꾸고 패러다임을 바꿀 수 있을 것이다. 문학이, 음악이 우리의 삶을 윤택하게 하듯, 이 책을 통해 현대 수학을 맛봄으로써 삶은 더욱 풍부해질 것이다.
그런 의미에서 이 책은 사랑에 관한 책이다. 저자는 ‘사랑의 공식’을 발견하는 상상을 했고, 그것을 영화로 풀어냈다. 그는 사랑의 공식이 존재하지는 않지만, “우리가 발견하는 모든 공식이 사랑의 공식”이라고 말한다. 수학은 심오한 지식의 원천이며, 모든 것을 하나로 통합한다. 수학을 통해 완벽한 조화의 결과물을 감상하고 경탄할 수 있기를, 그래서 서로를 이해하고 사랑하는 의미를 찾아내기를 바란다.

01 신비한 괴물
02 대칭의 핵심
03 다섯 번째 문제
04 케로신카
05 해답의 실마리
06 수습 수학자
07 대통일 이론
08 마법의 수
09 로제타석
10 루프 안에서
11 정상을 정복하다
12 지식의 나무
13 하버드가 부르다
14 지혜의 다발을 묶다
15 미묘한 춤
16 양자 쌍대성
17 숨겨진 연관성을 밝히다
18 사랑의 공식을 찾아서

수학 지식은 다른 어떤 지식과도 다르다. 우리는 물질세계에 대한 인식을 왜곡시킬 수 있는 반면, 수학적 진실에 대한 생각은 왜곡시킬 수 없다. 그것은 객관적이고, 일관되며, 필연적인 진실이다. 수학 공식이나 정리는 어디에 있는 누구에게나 같다. 성별, 종교, 피부색에 상관없이 지금으로부터 1000년 후에도 누구에게나 같은 의미일 것이다. 놀라운 점은 우리가 그 전부를 소유하고 있다는 점이다. 누구도 수학 공식에 대해 특허를 낼 수 없다. 이 세상에 이토록 심오하고 훌륭하면서도 모두가 쉽게 다가갈 수 있는 것은 없다. 이러한 지식의 보고가 실제로 존재한다는 사실은 기적과도 같다. 이는 너무도 귀중해서 처음 발견한 몇 명에게만 주어질 수 없는, 우리 모두의 것이다. - 9~10쪽

이 책은 사랑에 관한 책이다. 한때 나는 수학자가 ‘사랑의 공식’을 발견하는 상상을 했다. 그리고 이는 영화 〈사랑과 수학의 의식〉의 주제가 되었다. 내가 그 영화를 보여줄 때마다, 사람들은 항상 이렇게 묻곤 한다. “사랑의 공식이 정말로 존재하나요?” 그러면 나는 “우리가 발견하는 모든 공식이 사랑의 공식입니다”라고 답한다. 수학은 영원불멸한 심오한 지식의 원천이다. 그것은 모든 문제의 핵심에 도달하고 문화, 장소, 시간을 가로질러 우리를 하나로 통합한다. 내 꿈은 우리 모두가 아이디어, 공식, 방정식의 마법 같은 아름다움과 완벽한 조화를 보고, 감상하고, 경탄하는 것이다. 이는 이 세상과 서로에 대한 우리의 사랑에 훨씬 더 많은 의미를 부여할 것이기 때문이다. - 16쪽

수학은 많은 세부 분야로 구성되어 있다. 각 분야는 때로 다른 대륙처럼 느껴지곤 한다. 세부 분야에서 연구하는 수학자들은 서로 다른 언어를 구사하기 때문이다. 그러므로 왜 다양한 분야의 이론을 모으고, 그것이 하나의 이야기의 각기 다른 부분임을 인식하는 ‘통일’이라는 아이디어가 그토록 강력한지를 보여준다. 이는 그다지 잘하지 못하던 언어를 필사적으로 배우려고 노력하다가 갑작스레 이해하는 것과 같다. - 111~112쪽

수학과 물리학은 2개의 다른 행성, 즉 지구와 화성과 같다. 지구에서 대륙들 사이의 관계를 발견한다. 이 관계에서 유럽의 모든 사람은 북아메리카의 모든 사람과 짝 지어지는데, 키, 몸무게, 나이는 같다. 그러나 성별은 서로 반대다(이는 리군을 랭글랜즈 쌍대 리군과 맞바꾸는 것과 같다). 그러던 어느 날 화성에서도 대륙들 사이의 관계를 발견했다고 이야기해주러 화성인이 방문한다. 한 대륙에 있는 모든 화성인은 다른 대륙에 있는 화성인과 짝 지어질 수 있으며, 짝 지어진 사람의 키, 몸무게, 나이는 모두 같지만 서로 다른 성별을 갖는다(화성인도 2개의 성별을 가지는지 누가 알겠는가?) 도저히 믿을 수가 없다. 지구의 관계와 화성의 관계가 어떻게든 연관 있는 듯 보인다. 그러나 왜?
이와 마찬가지로 랭글랜즈 쌍대군은 수학과 물리학에서 모두 나타나기 때문에 수학의 랭글랜즈 프로그램과 물리학의 전자기 쌍대성 사이에 연관이 있어야 한다고 가정하는 것은 자연스럽다. 그러나 30년이 넘도록, 누구도 그것을 찾아낼 수 없었다. - 278~279쪽

영화에서, 어떤 수학자가 ‘사랑의 공식’을 발견한다. 물론 이것은 은유다. 우리는 항상 완벽한 이해, 궁극적인 선명함을 얻고자 모든 것을 알려고 애쓴다. 현실 세계에서는 부분적인 지식과 이해에 만족해야 한다. 그러나 어떤 이가 궁극적 진실을 발견할 수 있다면? 그것이 수학공식으로 표현될 수 있다면? 이는 사랑의 공식일 것이다.
핸리 데이비드 소로는 이를 유려하게 다음과 같이 표현했다.

진실에 관한 가장 확연하고 아름다운 서술은 결국 수학적 형태를 취해야 한다. 산술의 규칙뿐만 아니라 도덕 철학의 규칙도 그렇게 단순화할 수 있어서, 하나의 공식이 그 둘 다를 나타낼 것이다.

단 하나의 공식이 모든 것을 설명할 만큼 충분히 강력하지는 않을지라도 수학 공식은 인류에게 알려진 진실에 대한 가장 순수하고, 광범위하고, 경제적인 표현이다. 그것은 일시적 열풍이나 유행에 영향을 받지 않는 영원하고 귀중한 지식이며, 가까이 다가오는 누구에게나 같은 의미를 전한다. 그것이 표현하는 진실은 필연적인 진실이며, 시간과 공간을 관통하며 인류를 안내하는 진실의 확고부동한 횃불이다. - 348~349쪽

내 꿈은 어느 날 우리 모두가 숨겨진 진실에 눈을 뜨고 깨닫는 것이다. 서로의 차이는 제쳐두고 하나로 화합할 수 있는 심오한 진실에 초점을 맞출 수 있게 될지 모른다. 그러면 우리 모두는 함께 발견하고 나누고 축복하는, 눈부신 아름다움과 조화에 경탄하면서 바닷가에서 뛰노는 아이와 같을 것이다. - 361쪽