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문명을 통해 본 수학사의 거시적 흐름 『김용운의 수학사』. 《수학사의 이해》를 오늘날의 시대적 요청에 응할 수 있도록 재편성한 책이다. 재미있는 수학교육의 길잡이로써 또한 문제의식을 갖도록 하는 논문제를 각 장의 맨 뒤에 비치했다. 각 단원의 도입엔 그 계기와 내용의 구성과정을 설명함으로써 학습의욕을 가질 수 있게 했다.

대한민국에 수학사 연구의 지평을 연 대학자의 역작!
이집트에서 현대까지 문명을 도약시킨 동서양의 수학 발견

대한민국 최초로 수학사 연구를 시작한 대석학 김용운 교수의
모두를 위한 수학사 교과서!
중고등학교 시절 대부분의 사람들은 수학을 싫어하거나 어려워했을 것이다. 그도 그럴 것이 우리나라 수학은 입시 수학이어서 수학의 흥미를 잃을 수밖에 없게 되어 있다. 세계적인 한 수학자는 자기 집의 약도를 정확히 그릴 수 있고 요리책에 따라 카레라이스를 만들 수 있으며 자신의 구두를 벗어 제대로 맞춰놓을 수 있는 사람이라면 누구나 수학적 능력을 가졌다고 했다. 이 말은 수학적 사고란 특별한 것이 아니라 지극히 상식적인 논리에 바탕을 두고 있다는 뜻이다.
수학자이면서 문명비평가로도 활동해온 김용운 교수는 1990년부터 ‘수학은 과연 따분하고 재미없는 학문인가’라는 화두로 재미있는 수학책을 만들기 위해 고군분투하고, 우리나라만의 수학문화를 정착시켜 수학도 다른 분야와 마찬가지로 창조와 즐거움의 대상이라는 걸 널리 알리고 싶어 했다. 요즘 한창 유행처럼 불고 있는 스토리텔링 수학 열풍을 가장 먼저 시작한 수학자라고 할 수 있다. 수학자로서 그동안 ‘수학이 어렵다, 수학이 살아가는 데 무슨 소용이 있냐’는 수학에 대한 잘못된 통념을 바로 세우는 데 사명감을 느껴왔던 저자는 수학사를 모르고서는 왜 우리가 집합, 도형, 미적분, 방정식 등을 배우는지 이해하기 어렵다며, 그러한 이유 때문에 수학교육에서 수학의 역사를 포함해야 할 필요가 절실하다고 주장한다. 그는 깊고 넓은 수학관과 학문에 대한 열정을 바탕으로 『김용운의 수학사』를 집필했으며, 이 책은 저자의 수학과 문명비평에 대한 깊고 오래된 연구가 한곳에 녹아 있는 책이라고 할 수 있다.

수학은 문명이 만든 최고 지성의 산물이다!
문명을 통해 배우는 수학이야말로 스토리텔링 수학의 최고 가치!
피타고라스는 수는 천체의 언어이며 음악이라고 생각했다. 그는 천체의 운행에서 수학 이론을 세웠으며 음률에서 정수비를 발견하고 최초로 음악 이론을 만들어냈다. ‘만물은 수(數)다’라는 주장에 걸맞은 업적이다. 해바라기 씨의 소용돌이치는 배열에는 피보나치의 수열이 있고, 나뭇잎은 황금비율로 이루어져 있으며, 눈송이나 피요르드식 해안선에는 프랙탈 기하학이 숨어 있다. 수학은 단지 숫자를 계산하거나 도형의 성질이나 관계를 연구하는 것에 그치는 학문이 아니라 이성의 역사이자 인류의 역사라는 뜻이다.
수학에는 문명이 담겨 있고, 그 문명은 수학이 일으켰다고도 할 수 있다. 오리엔트 시대부터 현대 수학에 이르기까지 수학의 역사를 체계적으로 정리한 『김용운의 수학사』는 인류의 역사와 함께 발전해온 수학의 변천과정을 세계사와 문명에 연관 지어 풀어나가고 있다.
기원전 수(數)의 형성부터 프랙탈 기하학에 이르기까지 수학사 전반에 걸쳐 등장하는 학자들, 세계사적인 사건, 당시 사상, 중요한 수학 개념 등을 중심으로 전개되는 이 책은 우리가 수학을 통해 세상을 더 잘 이해하고 새로운 눈으로 볼 수 있도록 도와준다. 따분하고 어렵다고만 생각했던 수학공식이 어떻게 만들어지고 발전했는지를 이야기 형식으로 풀어냈고, 이름만 들어봤던 수학자들이 실제로 우리 생활에 어떤 영향을 끼쳤는지도 알 수 있다. 무엇보다 이 책의 백미는 세계 문화사와 수학을 동시에 이해할 수 있다는 점이다. 각 시대의 문화, 정치, 사회 모습을 통해 수학사가 어떻게 변천해 왔는지 알 수 있다. 이 책은 저자가 기존에 출판한 『수학사의 이해』의 개정판으로, 1979년부터 문명과 수학사에 대해 천착해 왔던 35년간의 연구를 집대성하고, 수학적 자료와 시대에 따라 바뀐 내용을 더해 새롭게 선보였다.

ㆍ머리말 - 수학사를 통해서 얻는 것
제1장 고대의 수학
1 수학은 어떻게 시작되었는가
고대 국가에서의 수학 / 고대 이집트의 수학 / 승려들의 수학 / 셈의 시작 / 등차급수와 등비급수 / 바빌로니아의 60진법 / 그리스 이전의 도형 연구 / 고대 수학의 신비 사상 / 고대 수학의 침체 원인
2 이론적인 수학의 시작?그리스의 수학
그리스란 / 그리스의 철학 / 그리스 시대의 수학과 학문
3 그리스 수학계의 거인들
탈레스 / 피타고라스 / 플라톤 / 유클리드 / 3대 난문 / 아르키메데스 / 로마로 간 그리스 수학 / 후기 알렉산드리아

제2장 중세의 수학
1 중세의 사회상
로마 사회와 문화 / 그리스 과학의 몰락-로마 과학의 발흥 / 중세 암흑시대 / 수도원 수학 / 중세의 계산술과 수학책
2 비유럽 세계의 수학
인도 사회와 수학 / 인도의 대수학-2차방정식 / 아라비아 수학의 배경-사라센 제국과 그 문화 / 아라비아의 대수학
3 중세 유럽의 상업 수학
상인 계급의 대두 / 동방 수학의 수입 / 피보나치와『계산판의 책』/ 상업 수학과 수도원 수학의 대립 / 오렘 / 중세 암흑시대의 의미

제3장 르네상스 시대의 수학
1 르네상스의 서광
르네상스 사회 / 르네상스 정신 / 르네상스 수학의 특징 / 파치올리 / 3차방정식의 해법 / 타르탈리아 / 문예부흥에서 과학혁명으로-새로운 수학 시대의 환경 변화 /기호의 정비 / 레오나르도 다 빈치와 투시화법
2 천문학과 수학
천문학과 계산술 / 천문학의 발달 배경 / 천체력의 작성과 삼각법 / 태양중심설과 천체 운동 / 케플러 / 로그[對?]의 발견
3 수학의 새로운 사상
대수학의 기초 작업 / 스테빈 / 비에트 / 원근법과 사영기하학 / 새로운 기하학의 탄생

제4장 근세의 수학
1 17~18세기 유럽의 수학
사회적 배경 / 과학과 기술 / 근세의 수학- ‘변량’과‘운동’의 등장 / 대수학의 기본정리 / 구적(求積)과 극한 개념(1)-케플러의 방법 / 구적과 극한 개념(2)-카발리에리의 방법
2 해석기하학의 탄생
그리스 고전 기하학의 한계 / 기호대수학에서 해석기하학으로 / 코기토 에르고 숨(Cogito erogo sum) / 데카르트의 해석기하학 / 페르마 해석기하학 / 파스칼-기하학적 정신과 섬세(纖細)의 정신 / 확률론의 시초-파스칼과 도박 / 파스칼의 삼각형

제5장 미적분학의 발명
1 미적분학의 탄생
17세기의 영국 / 영국의 수학 / 미적분학 탄생 전야 / 해석학이란 무엇인가 / 접선의 개념 / 미분적분학 / 뉴턴과 미적분 / 만유인력 / 유율법 / 라이프니츠와 미적분 / 미적분 발견의 우선권 싸움 / 뉴턴과 라이프니츠의 방법 비교
2 뉴턴과 라이프니츠의 후계자들
국립과학아카데미 / 미적분 발견 이후의 수학계 / 테일러와 맥클로린 / 베르누이 일가 / 오일러 / 라그랑주 / 라플라스 / 초기 미적분학의 한계 / 해왕성에 대한 이야기/뉴턴과 결정론(決定?) / 뉴턴 역학의 한계
3 확률론
통계학

제6장 근대의 수학-18세기에서 19세기까지
1 대수학과 해석학
근대 수학의 사회적 배경 / 근대 수학의 배경 / 18세기와 19세기는 무엇이 다른가 / 코시 /‘ 방정식을 푼다’는 것의 의미 / 비운의 천재, 아벨과 갈루아
2 새 기하학
화법기하학 / 사영기하학 / 곡면기하학(미분기하학) / 비유클리드 공간 / 비유클리드 기하학의 탄생 / 볼리야이와 로바체프스키 / 리만

제7장 에필로그-수학의 새로운 진로 모색
1 프랙탈과 카오스
프랙탈 기하학 / 컴퓨터와 과학혁명 / 컴퓨터와 카오스의 등장
2 수학사의 방법론
패러다임 이론 / 범(汎)패러다임 이론 / 패러다임과 범패러다임-수학사를 대하는 기본적인 입장에 대하여

ㆍ맺음말을 대신하여
ㆍ부록 세계수학사연표
ㆍ색인

이들 고대의 수학은, 기원전 6세기로부터 기원전 5세기에 걸쳐서 탄생한 그리스 수학에 의해 마치 아침해가 뜨자마자 사라지는 이슬처럼 자취를 감추고 말았다고 하는 사람들이 있지만 그것은 너무 터무니없는 이야기이다. 그리스 수학이라 불린 이후에도 아주 오랫동안 이집트나 바빌로니아 수학은 제 구실을 하였을 뿐만 아니라 그리스 수학에 실제로 영향을 끼쳤다는 것을 잊어서는 안 된다. 특히 그리스 초기의 수학자는 모두 예외 없이 이집트, 바빌로니아, 그리고 지중해연안과 아시아의 나라들을 두루 다니면서 수학을 익히고, 그 지식을 자기 나라 사람들에게 전하였다. 그리스 이전의 수학이 그리스처럼 완전한 지식 체계를 갖추지는 않았다고 하더라도 그의 원천이었다는 것만은 틀림없는 사실이다. -p.20

바빌로니아(메소포타미아)에서 발견된 여러 기록을 살펴보면, 하나의 원에서 원둘레를 컴퍼스를 써서 그 반지름의 길이로 잘라 가면 정확히 6등분된다는 사실에 대해 그들이 큰 관심을 보였음을 알 수 있다. 원둘레를 360등분하면 그 은 60이다. 이것으로부터 바빌로니아인은 60이라는 수를 중요시했을 것이라고 추측할 수 있다. 각도를 나타내는 단위로, 1회전을 360°로 하고, 1°를 60′(분), 1′을 60″(초)로 하는 것도 바빌로니아의 60진법에서 비롯되었다. 또한 하루를 24시간으로, 1시간을 60분으로, 1분을 60초로 나누는 것도 바빌로니아로부터다.
- p.28

르네상스기에는 지배 계층인 교회와 그 압력으로부터 벗어나려는 신흥 상공업 계층 사이의 대립이 계속되었다. 이 시대적 배경을 반영하여 낡은 수도원 수학과 새로운 상인 수학이 서로 대립하였다. 중간쯤의 위치에 대학(大學) 수학이 있었다. 14세기 베네치아와 제노바의 상업에 이어서 피렌체의 은행업이 성대하게 발전하자, 이탈리아 시민은 이 상업을 방패로 교회의 권위에 대항할 만한 힘을 가지게 되었다. 이탈리아에 있어서의 상업산술(商業算術)의 대유행은 당시의 경제활동이 어느 정도였는지를 잘 말해 주고 있다. 피렌체, 니스, 베네치아 등의 도시에서 수많은 수학책이 발간되었는데, 이 모두가 상업 산술이었고, 내용이나 문제가 당시 사회의 요구에 잘 맞도록 꾸며져 있었다. 이중에서 보르기(Pietro Borghi)의『산술(Arithmetica)』(1484)이 가장 중요한 구실을 하였다. 베네치아에서 발행된 이 책은“나는 상인용의 실용수학을 엮었다.”라는 말로 시작한다. 이 선언대로 여기서는 종래의 로마 숫자 대신에 아라비아 숫자를 전면적으로 사용하고 있다. 보에티우스식 중세적인 수론은 이미 말끔히 자취를 감추고 기수법(記?法), 계산사칙(計算四則), 도량형(度量衡), 분수, 합자(合資)셈, 화폐 계산, 혼합셈, 가정법(假定法) 등으로 꾸며져 있다. 그러나 수도원의 수학자들은 이러한 새 기운과는 아랑곳없이 여전히 보수성을 지키기에 여념이 없었다. 보에티우스식의 중세 수학을 고수하는 일에 수도원의 일류 수학자들이 정력을 기울이고 있었던 것이다. 또한, 앞에서 이야기한 피보나치의 수학책은 당시의 대학에서 쓰이기에는 너무 부피가 크고 수준도 높았다. 그보다 너무 상업적인 내용이어서 보수적인 대학교수들의 구미에 맞지 않았다. 사실 대학 수학도 수도원 수학의 한 분파에 지나지 않았고, 점성술 같은 미신적 요소가 피타고라스식의 그리스 수론, 보에티우스수학의 테두리 내에서 맴돌고 있었다. 대학의 지배적 분위기는 비교적 자유스러웠고, 심지어는 국가와 교회를 비판할 정도였으나, 수학에 대한 연구만은 형편없었다. 대체로 대학 창립 당시에는 아직도 과학적인 정신은 길러지지 않았고, 로저 베이컨과 같은 사람의 진취적인 과학사상은 이단으로 취급되어, 그 때문에 심한 박해를 당할 형편이었으니까 말이다.
-pp.151-153

르네상스 시대는 계산법이 발전하였으나 수학 부문은 산술, 대수학, 그리스 기하학, 그리고 삼각법 정도에 그쳤다. 따라서 수학이 본질적으로 발전했다고는 볼 수 없다. 그러나 17세기에 들어오면서 수학의 양상이 갑자기 새로운 국면을 맞이하게 된다. 큰 특징은 대수학(代?學)이 차츰 기하학적 요소를 버렸다는 점이다. 기호와 문자를 적극적으로 사용하게 되었고, 그 결과 방정식에 관한 일반론이 확립되었다. 이러한 경향과 관련해서 곡선형의 구적 및 접선론, 그리고 데카르트가 기틀을 닦은 해석기하는 그리스 이래의 기하학의 성격을 근본적으로 바꾸어 놓았다. 그리하여 곡선에 관한 여러 문제를 해석적으로 다루게 되었다. 이를테면, 묵시적으로 아르키메데스의 구적이론에 들어 있었던 극한(極限)의 개념은 이때부터 비로소 근대적인 논증방법으로 다루어지고, 수학은 정면으로 변량(變量)을 다루도록 근본적으로 탈바꿈하였다. 이제 해석법(解析法)은 수학의 중심 과제？