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방정식 속에는 과학과 공학만 있는 것이 아니다.
비즈니스, 예술, 스포츠, 역사, 모든 것이 들어 있다!

모든 방정식의 배후에는 하나의 이야기가 있다. 물론, 생소한 수학기호와 풀이과정의 어려움 때문에 방정식 자체를 어려워 할 수 있지만, 방정식으로 우리의 일상을 들여다보면 누구나 그 속에 담긴 다양하고 흥미로운 이야기에 빠져들 수밖에 없다. 방정식은 단순히 어떤 수학자의 계산으로만 만들어진 것이 아니다. 어떤 방정식의 탄생과 쓰임에는 과학의 발전과 함께 시대적인 요청 같은 사회적 맥락이 들어 있다. 이 책은 우리 생활 깊숙이 자리를 차지하면서 알게 모르게 영향력을 발휘하고 있는 52개의 방정식을 찾아 최대한 재미있게 풀어낸다. 이 52가지 공식과 거기에 얽힌 이야기는 과학과 공학에 관한 것만을 담고 있지 않다. 비즈니스, 예술, 스포츠, 역사 등 다양한 분야를 망라하며 세상의 이면을 읽어내는 재미를 선사한다. 훌륭한 방정식은 훌륭한 이야기와 같다는 저자의 말처럼, 이 책은 어려운 수학책이 아닌 수학의 세계로 들어가는 즐거운 이야기책으로 손색이 없다.

52가지 별별 방정식으로
복잡한 세상을 풀어낸다!

- 여름이면 만나게 되는 자외선차단지수(SPE)와 체질량지수(BMI) 산출방식은?
- 오일러 항등식이 세상에서 가장 아름다운 방정식으로 불리는 이유는?
- 항공사진 등을 이용해 군중 규모를 추산하는 방법은?
- 현재 가진 원금의 미래가치를 구하는 복리 계산법은?
- 우주 안에 외계문명이 존재하는지 알아내는 방정식은?

방정식으로 찾은
챌린저호 참사의 비밀

1986년 1월 28일, 미국에서 우주왕복선 챌린저호가 발사 73초 만에 공중 폭발하면서 7명의 승무원이 전원 사망하는 우주계획 역사상 최악의 참사가 일어났다. 최고의 기술과 천문학적 비용이 집약된 프로젝트에서 왜 이런 어처구니없는 일이 일어난 것일까?
재해 연구가들은 챌린저호 폭발사고 같은 대참사의 이면에는 대개 ‘실패 사슬’이 존재한다고 말한다. 실패 사슬이란 일련의 사건이나 상황이 얄궂게도 한꺼번에 겹쳐 일어나 비극을 낳는 것을 말한다. 거기에는 부품 결함, 기계 오작동, 사람의 과실, 특이 기상, 소통의 부재(또는 잘못된 소통) 등이 두루 포함된다. 이런 일들이 동시다발적으로 또는 연속적으로 일어나면 참사로 번질 수 있다.
반대로 실패의 고리 중 하나만 빠졌어도 참사를 막을 수 있었던 경우도 많다. 당시 조사위원회 소속이었던 노벨 물리학상 수상자 리처드 파인만은 TV 카메라 앞에서 작은 고무 오링을 소형 죔쇠에 끼워 얼음물에 담갔다가 꺼내는 실험을 했다. 오링은 본래의 동그란 모양으로 냉큼 돌아가지 못했다. 이 얼어붙은 작은 오링 하나가 챌린저호를 폭발시키는 데 결정적 역할을 한 사실이 증명되는 순간이었다. 물론 이 오링은 챌린저호 실패 사슬의 여러 고리 중 하나다. 당연히 사건이 일어나는 데는 더 많은 사슬이 꼬리에 꼬리를 물고 한 번에 일어난다. 그럼에도 실험으로 증명된 오링 하나는 눈에 보인 사슬인 만큼 충격을 주기에 충분했다.
이 책에서 다룬 방정식(점탄성 재료의 손실계수)은 오링이 왜 제 모습으로 돌아가지 못했을까를 확인해준다. 오링의 소재인 고무는, 외력을 가해 일어난 변형이 외력을 제거하면 원래 모양으로 돌아가는 성질을 가진 고분자 화합물이다. 이런 성질이 나타내는 거동을 탄성이라고 한다. 그런데 똑같은 실험을 낮은 온도에서 하면 결과는 달라진다. 좀처럼 제 모양으로 돌아오지 않는다. 이는 고무의 유리전이온도보다 훨씬 낮은 온도라서 고무줄의 고무 성분이 ‘유리질’ 상태가 되기 때문이다. 방정식은 탄성중합체의 거동이 가장 ‘가죽 같아지는’ 온도, 즉 유리전이온도를 구하는 공식 중 하나다. 재료의 온도가 유리전이온도보다 낮을 때는 재료가 유리처럼 변해서 구슬 수준의 반동력을 보이고, 유리전이온도보다 높을 때는 고무처럼 변해서 고무공 수준의 반동력을 보인다. 하지만 유리전이온도에서는 재료가 가죽처럼 변해서 탄성이 최저가 된다. 챌린저호의 발사 당시 약 -1°C였던 낮은 기온 때문에 오링의 가죽질 거동을 극대화해 외력에 반응하는 속도가 느려져서 원래 상태로 돌아가는 데 오래 걸렸다. 만약 그날 온도가 높았다면 오링은 제대로 복귀를 했을 테고, 인류의 우주 역사는 얼마나 달라졌을까?

다단계 금융사기의
허점을 알려주는 방정식

1920년 보스턴에서 짧지만 굵은 유명세를 누렸던 찰스 폰지. 그의 이름을 찾으면 다단계 사기가 먼저 검색된다. 요즘에야 흔하게 회자되는 다단계이지만 당시만 해도 그의 사기행각은 전대미문의 대형 사건이었다.
다단계 금융사기를 뜻하는 폰지 사기의 원리는 간단하다. 합법적인 고수익 사업이 있다며 몇 사람을 꼬드겨 투자금을 받아낸다. 고수익이 보장된다는 약속에 투자자들이 넘어온다. 정작 투자대상이 될 사업은 존재하지 않는다는 것이 함정이다. 사기꾼은 계속 투자자를 모아 나중에 투자한 사람의 돈으로 먼저 투자한 사람에게 투자수익금을 지급한다. 초기 투자자들이 떼돈을 벌다는 소문이 퍼지면, 판이 점점 키질 수밖에 없는데, 결국 더는 추가로 투자금을 모을 수 없는 지경에 이르고 피라미드는 자체의 무게로 붕괴하고 만다. 왜 이렇게 되는지는 간단한 등비수열로 입증된다.
어떤 폰지 사기꾼에 2명의 최초 투자자가 걸려들었다. 이들에게 수익금을 지급하려면 4명의 새로운 투자자가 필요하다. 이들 모두에게 수익금을 배급하려면 8명이 더 필요하다. 그다음 투자자의 수는 16, 32, 64…로 늘어나야 한다. 이렇게 진행하는 수열은 등비수열의 일종이다. 이 공식으로 투자자를 구해보면 초기 투자자에서 20세대만 내려와도 투자자 수가 52만 4,288명이 필요하다. 이렇게 황당한 확장세가 전제조건이니 어찌 망하지 않을 수 있겠는가!

태양을 피하는 공식,
자외선차단지수

자외선차단지수(SPF)는 자외선차단제(sunscreen)의 효과를 수치로 나타낸 것이다. SPF는 자외선 차단지수(sun protection factor)의 약자로, 피부가 자외선에 노출되어 홍반이 생길 때까지 걸리는 시간(Time to burn)을 자외선차단제를 발랐을 때(protected)와 바르지 않았을 때(unprotected)로 나누어 측정한 다음, 발랐을 때의 시간을 바르지 않았을 때의 시간으로 나눈 값이 SPF다. 시험에 동의한 피검자를 두그룹으로 나누고 인공 자외선 방출기를 이용해서 홍반 발생 시점을 측정한다. 이렇게 대조시험으로 얻어진 실증적 결과들의 평균치로 SPF를 정한다. SPF가 높을수록 제품의 자외선 차단 효과가 좋은 것이다.
자외선차단제를 피부에 바르면, 피부가 볕에 타기까지 걸리는 시간이 SPF라는 숫자를 곱한 만큼 늘어난다. 모든 자외선차단제의 용기에는 SPF 수치가 적혀 있다. 자외선차단제 없이 햇볕에 노출됐을 때 피부가 탈 때까지 걸리는 시간이 20분이라고 하고, 새로 산 자외선차단제의 SPF 수치가 10이라고 하자. 그렇다면 자외선차단제를 발랐을 때 당신이 볕에 타지 않고 돌아다닐 수 있는 시간은 20 곱하기 10이다. 즉 200분(3시간 20분) 동안은 돌아다녀도 볕에 타지 않는다. 엄밀히 말해서 이 방정식은 일광 노출 시간 동안 일사량이 일정하다는 가정하에 성립한다. 물론 현실과는 동떨어진 가정이다. 하지만 SPF는 나름대로 자외선차단제의 선택을 돕고 자외선 차단 효과의 지속시간을 가늠하는 유용한 수단이다.
하지만 무조건 SPF가 높은 자외선차단제를 바르는 것이 장땡인지, 아니면 SPF가 낮은 자외선 차단제를 자주 덧바르는 것이 좋은지를 놓고 사람들 사이에 의견이 분분하다. 자외선차단제의 기능을 최대화하려면, 일광 노출 30분 전에 미리 바르고, 최초 노출된 지 30분 만에 다시 바르고, 그 후 2시간마다 덧칠해야 한다는 것이 업계의 권고사항이다.

책에서 다루는 52가지 방정식들 가운데는 우리가 익히 알고 있는 것도 있지만, 생소한 것도 적지 않다. 책에 실린 방정식 가운데는 그 하나만을 위해 몇 권의 책 지면을 할애해야 할 만큼 대단한 것도 있다. 하지만 방정식을 장황하게 캐는 것은 이 책의 목적이 아니다. 개념설명과 함께 방정식에 얽힌 매력적이 이야기가 주된 내용이다. 가끔은 건너뛰면서 읽고 싶은 순서대로, 설렁설렁 읽기를 저자는 추천한다.

들어가는 글

1. 지구와 사과_ 뉴턴의 만유인력의 법칙
2. 중간의 의미_ 표준정규분포, 또는‘ 종형곡선’
3. 모나리자의 황금미소_ 황금비 Φ
4. 기린의 심장_ 베르누이의 비압축성 유동 방정식
5. 전류 전쟁_ 교류의 전압
6. 불자동차 효과_ 도플러 효과
7. 이 청바지 뚱뚱해보여?_ 체질량지수
8. 0 또는 1로만 답하시오_ 이진법 연산의 예
9. 쓰나미의 정체_ 파동의 정의
10. 무어의 업보_ 기하급수적 증가의 예
11. 상상의 탄성_ 훅의 법칙
12. 경찰 추산의 내막_ 군중 규모 추산
13. 파이가 뭐길래?_ 파이 값
14. 땀 빼는 일_ 뉴턴의 냉각법칙
15. 한 많은 주행거리_ 일률의 정의
16. 케이슨에서 있었던 일_ 헨리의 법칙
17. 화씨섭씨_ 화씨와 섭씨의 관계
18. 세상에서 가장 아름다운 방정식_ 오일러 항등식
19. 공짜 에너지의 꿈_ 열역학 제1법칙
20. 화성의 저주_ 힘의 단위 전환
21. 유레카!_ 물체의 밀도
22. 돈이 돈을 낳고_ 복리 계산
23. 허수아비의 증명_ 피타고라스 정리
24. 수의 에베레스트_ 페르마의 마지막 정리
25. 빛을 꺾어주세요_ 스넬의 법칙
26. 꿀벌 실종사건_ 야생 수분매개자를 위한 부지 적합성 예측
27. 태양을 피하는 방법_ 자외선차단지수
28. 롱다리의 약점_ 오일러의 좌굴 방정식
29. 사랑은 롤러코스터_ 페러데이의 전자기 유도 법칙
30. 실패의 사슬_ 점탄성 재료의 손실계수
31. 붙어야 산다_ 몽통의 마찰 법칙
32. 트랜스포머 완결편_ 푸리에 급수의 예
33. 돌려막기의 전설_ 등비수열의 예
34. 빛이 있으라 하니_ 진공 속 빛의 속도
35. 잘났어, 정말_ 지능지수 산출
36. 지구의 나이_ 방사성 원소 붕괴의 수량화
37. 이제 좀 들려요?_ 월리스 새빈의 잔향 시간
38. 끝날 때까지는 끝난 게 아니다_ 원자로 가동 중지 후 잔열 발생률
39. 쌍둥이별은 어디에_ 드레이크 방정식
40. 추락하는 것은 날개가 있다_ 정체공기 속 운동체가 받는 공기저항
41. 물의 죽음_ 자기장이 입자에 행사하는 힘
42. 개와 사람의 시간_ 개의 나이와 인간의 나이 비교
43. 보디히트_ 슈테판-볼츠만의 법
44. 온기의 빛깔_ 플랑크 복사법칙
45. 마른하늘에 날벼락_ 옴의 법칙
46. 물과 기름 사이_ 액체의 표면장력
47. 물 반 고기 반_ 폰 베르탈란피 성장 방정식
48. 물타기의 어려움_ 헐스피드
49. 느림의 과학_ 하겐푸아죄유의 방정식
50. 한 우물 파는 법_ 암반층 파쇄 압력
51. 빨간 약 줄까 파란 약 줄까_ 통계적 유의성 검정
52. 어느 방정식의 웅변_ 아인슈타인의 질량-에너지 등가원리

‘무어의 법칙’이라는 용어는 무어의 예언이 발표되고 몇 년 뒤 무어의 친구이자 캘리포니아 공과대학교 교수인 카버 미드Carver Mead가 만들었다. 방정식은 가치의 기하급수적 증가를 표현한다. P0를 현재 성능(마이크로칩 1cm2에 최대 집적되는 전자 소자의 수)이라고 한다면, Pn는 n년 후의 미래 성능(n년 후 기하급수적으로 늘어난 소자집적도)이다. 이 경우 미래 성능은 현재 성능 곱하기 2n과 같다.
이 방정식에서 2n은 성능이 매년 두 배로 증가함을 나타낸다. 무어의 예언이 있은 지 얼마 후, 전자부품의 성능은 해마다 두 배가 아니라 18개월마다 두 배가 된다는 의견이 대두했다. 이 의견에 맞추려면 지수가 좀 더 작아져야 한다. 1975년, 무어는 1965년의 예측을 수정해서 칩의 성능이 2년마다 두 배로 증가한다고 했다. -62쪽

우리 몸은 체온을 일정하게 유지하기 위해서 아이작 뉴턴의 냉각법칙과 끊임없이 싸운다. 그 투쟁은 유난히 춥거나 더운 환경에 처했을 때는 한층 치열해진다. 뉴턴의 냉각법칙 내용은 간단명료하다. dQ/dt는 시간에 따른 물체의 열 획득정도 또는 손실정도를 말하고, 이는 물체와 주변의 온도차 Ts-T∞에 비례한다는 내용이다. 온도차가 클수록 물체가 열을 잃거나 얻는 속도가 높아진다. 냉수 한 컵과 뜨거운 커피 한 컵을 부엌 작업대에 놓아두자. 4°C인 냉수는 25°C인 실온보다 21°C 낮다. 82°C인 커피는 실온보다 57°C 높다. 그렇게 놓아뒀다가 두 시간 후에 돌아와 보면, 냉수도 커피도 실온이 되어 있다. 뉴턴의 냉각법칙에 따른 것이다. -81~82쪽

오일러 항등식이 놀라운 데는 여러 수학적 이유가 존재한다. 어떤 수를 거듭제곱해서 0보다 작은 값을 얻을 수 있다는 것부터 놀랍다. 과장 없이 말해도 ‘예삿일이 아니다’. 혹자는 오일러 항등식이 수학에서 가장 중요한 세 가지 연산인 덧셈, 곱셈, 거듭제곱을 골고루 하나씩 포함하는 점을 높이 산다. 오일러 항등식은 신비한 수의 세계에서도 가장 신비로운 상수로 꼽히는 e자연로그의 밑와 π원주율도 한 번씩 포함한다. 또한 덧셈의 항등원0과 곱셈의 단위원1도 역시 한 번씩 포함한다. 마지막으로, ‘-1의 제곱근’으로 정의되는 신비의 허수 i까지 들어 있다. 이 모든 것이 하나의 공식으로 결합해 유한 속에 무한이 숨어 있고, 무한이 유한을 만든다는 놀라운 진리를 천명한다. 이쯤 되면 수학적으로 타의추종을 불허하게 아름답다고 해도 되지 않을까? -104~105쪽

방사성 연대 측정법이 도입된 지 100년이 흘렀다. 지구 곳곳에서 35억 살이 넘는 암석들이 발견됐고, 지구에 떨어진 운석 중에는 나이가 45억 년에 달하는 것도 있다. 달 탐사선이 가져온 월석도 35억 년에서 40억 년짜리들이 수두룩하다. 방사성 원소라는 현재까지 제안된 가장 진보하고 가장 정밀한 시계에 따르면, 지구의 나이는 약 45억 살이고, 오차범위는 ±1%다. 그동안 겪은 풍파를 생각하면 우리의 지구는 나름 정정해보인다. -202~203쪽

우주에는 행성이 정말로 셀 수 없이 많다. 그렇다면 지적 생명체는? 이렇게 많고 많은 행성 중에 지적 생명체가 진화한 행성은 몇이나 될까? 우리가 알기로 그런 행성은 단 하나뿐이다. 지금 우리가 사는 행성. 그 두 번째는 아직 발견하지 못했다. 우리의 노력이 부족해서는 아니었다. 만약 둘까지 세게 되면, 그날이 언제 올지는 모르지만, 그때는 지적 생명체가 사는 행성이 우주에 부지기수라는 뜻이 된다. 얼마 전까지만 해도 지구 밖 우주 공간에서 지적 생명체를 찾는 것은 괴짜들의 영역이었다. 하지만 지금은 천체물리학의 어엿한 분야로 인정받고 있다. 이 분야의 초기 성과 중 하나가 서두의 방정식이다. 드레이크 방정식이라고 불리는 이 방정식은 우리 은하 안에 지구와 교신할 수 있는 지적 생명체가 사는 행성이 몇이나 될지 예측하기 위한 것이다. -215쪽