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호기심 많은 당신,
수학의 재미를 알게 된다!

수학 마니아가 풀어놓은 흥미진진한 수학적 사고

‘수학’ 하면 당신은 무슨 생각이 먼저 드는가? 알 수 없는 기호와 복잡한 숫자로 채워진 시험지를 앞에 두고 어쩔 줄 모르던 학창 시절이 떠오르는가? 아니면 벌써 ‘수포자’라는 거대한 무리의 일원이 된 자녀가 떠올라 가슴이 답답해지는가? 우리 사회에서는 특정 소수를 제외하고는 ‘수학’이라는 단어를 재미있고 즐거운 마음으로 마주할 수 있는 사람이 극히 드물다. 이는 우리의 교육제도가 수학을 호기심이나 재미, 놀이 차원이 아니라 입시 경쟁을 뚫기 위해 힘들게 공부해야만 하는 의무로 일찍부터 인식시키는 것이 여러 원인 중 하나다.

여기에 수학은 ‘세상에서 가장 재미있는 놀이’라고 알려주는 저자가 있다. 그는 많은 사람이 수학의 재미를 모른 채 인생을 사는 것에 안타까움을 느낀다. “수학? 어떻게 됐든 나는 흥미가 없어!”라고 말하는 사람을 위해 학교에서는 가르쳐주지 않는 신기하고 흥미로운 이야기들로 호기심을 채워주는 책을 냈다. 그렇다고 깊이 없이 재미만 추구한 것은 아니다. 저자는 우선 독자들이 재미있게 받아들일 수 있는 응용문제를 제시하고, 이어서 깊이와 난이도 등 다방면의 배경자료를 찾아 의미 있는 내용을 소개한다. 수론, 도형, 미적분, 확률, 도박이론, 물리학에 응용된 수학, 수학사의 에피소드까지 삽화를 곁들여 흥미롭게 들려준다.

수학 애호가라면 당연히 빠져들 수밖에 없고, 수학의 재미를 한번 느껴보고자 도전하는 사람에게도 수학의 흥미를 깨닫게 하는 데 도움이 될 것이다.

수학의 바다에서 즐겁게 놀아보자!

지금까지 인류가 알아낸 가장 큰 수는 얼마일까? 물론 우리가 알다시피 수는 무한대지만 확인할 수 있는 가장 큰 수가 필요한 개념은 무엇이고, 그에 따른 수의 크기는 얼마나 될까? 우리가 현재 사용하는 숫자 표기법으로는 표현이 어려울 정도의 큰 숫자를 알고 있는가?
케이크를 공평하게 나눠 먹는 방법은 무엇일까? 세계의 천재 수학자들이 지금도 이 문제를 치열하게 연구하고 있다는 사실을 아는가? 모두가 불만 없이 공평하게 케이크를 나눠 먹는 방법은 언뜻 만만해 보이지만 생각처럼 쉽지 않다. 특히나 조금도 손해 보지 않으려는 인간의 공평 심리가 끼어들면 모두가 만족하는 해법이 과연 존재할지 의심스럽다.

첫 번째 질문의 정답은 그레이엄 수다. 기네스북에까지 올라 있다. 우리가 아는 제곱수를 사용해서도 표기하기가 불편할 정도의 큰 수다. 두 번째 질문 역시 저자는 욕심 많은 승려 셋이 케이크를 나누는 과정을 통해 정답을 보여 준다. 해설을 읽으면 저절로 탄복할 수밖에 없다. 자세한 내용이 궁금하다면 당신은 이 책을 펼쳐 들 자격이 충분하다.
이외에도 책에는 소파를 옮기는 과학적인 방법은 무엇일까? 수학에서 보석을 캔다고? 공평한 가위바위보 게임은 무엇일까? 같은 호기심을 자극하는 내용으로 가득하다. 궁금한 것을 못 참는 독자들이여, 저자가 보내는 흥미진진한 수학의 놀이터로 안내하는 초대장을 받아라!

학교에서 가르쳐주지 않는 ‘재미있는 수학’

이 책은 다양한 연령대의 수학 애호가들은 물론, 스스로 ‘수포자’라고 생각하는 사람들을 위해 흥미진진하게 쓴 수학 대중서이다. 저자는 <리쌤과 수학 수다>라는 인기 팟캐스트를 진행하며 수학의 대중화에 앞장서고 있다. 이 책을 쓴 이유 역시 많은 사람이 가지고 있는 ‘수학 공포증’ 극복을 돕기 위해서라고 밝힌다.
재미있지만 잘 알려지지 않은 수학 문제를 엄선하여, 일상생활과 연결해 흥미를 유발하고 귀여운 삽화와 생동감 있는 언어로 해설하여 내용이나 분위기가 결코 무겁지 않다. 독자들은 편안하게 이 책을 읽으면서 문제해결을 위한 구상과 풀이 과정에 동참하게 되고, 마침내 큰 성취감과 수학적 사고방식을 얻게 될 것이다. 더불어 수학의 역사를 소개하면서 수학자들이 겪은 어려움과 해결 과정, 성과 등 관련 수학 지식도 제공한다.

이 책은 레벨 1~5단계로 구성되었으며 난이도는 뒤로 갈수록 조금씩 높아진다. 다루는 내용은 총 8가지로 수론, 도형, 미적분, 확률, 도박이론, 물리학에 응용된 수학 등이다. 마지막 파트에서는 수학 문화를 다루어 수학의 아름다움을 소개하고 수학 문화에 대한 이해와 흥미를 높여 준다. 각 장 끝에는 해당 장의 이해를 돕기 위해 몇몇 문제를 제시하여 스스로 수학 연구자가 되어 생각해 보는 기회를 제공한다.

이 책은 최근 출간된 수학 도서 중에서 가장 걸작이다.
- 야오홍쪄 / 하버드 대학교 수학과 교수

팟캐스트 <리쌤과 수학 수다>는 중국 내 수학 내용을 다루는 프로그램 중에서 가장 우수하다. 여러 문제에 대해 훌륭한 해석을 내놓을 뿐만 아니라 수학적 깊이도 충분하여 대중들이 편하게 이해할 수 있게 돕는다. 수학에 흥미를 갖지 않을 도리가 없다. 게다가 이 프로그램의 가장 큰 특징은 많은 부분에서 최근의 연구 성과를 다루는데 이것은 어디에서도 얻기 힘든 내용이다. <리쌤과 수학 수다>에 소개된 내용을 바탕으로 출간된 이 책은 많은 수학과 과학 애호가들에게 환영을 받을 거라고 확신한다. 이 책을 읽고 수학자인 나도 느낀 바가 많았다. 청소년들이 이 책을 읽는다면 분명히 수학에 대한 흥미가 높아질 거라고 강력하게 말할 수 있다.
- 인쥔 / UCLA 수학과 교수

수학은 모든 학문의 기초이다. 이 책은 수학 지식을 충실히 담고 있고, 물리 분야까지도 폭넓게 다룬다. 수학 애호가, 물리 애호가 모두에게 도움이 될 것이다.
- 쳔위아오 / 중국과학기술대학 교수

훌륭한 책이다. 저자는 일반적인 표현으로 현대 수학의 흥미로운 주제들을 다룬다. 일상생활에서 접할 수 있는 예시를 통해 친근하게 설명하고 최근 연구 성과도 빠뜨리지 않는다. 수학이 취미인 사람이든 직업 수학자이든 상관없이 모두에게 도움이 될 책이다.
- 니이 / 캘리포니아 대학교 수학과 교수

프롤로그 아무도 가르쳐주지 않는 재미있는 수학의 세계

leve l : 시도하는 자가 수학보석을 캘 수 있다

수학에서 보석을 캐다 _ 메르센 소수
싸우지 않고 케이크를 나눠 먹는 방법 _ 공평분배
과학적으로 소파 옮기기 _ 소파상수
조르당 곡선에서 정사각형을 찾아라 _ 내접정사각형문제
다각형을 품고 있는 점의 개수 구하기 _ 해피엔딩문제
‘수학병’에 걸리게 하는 문제 _ 콜라츠추측

level 2 : 우주는 어떤 수로 표현할 수 있을까?

완벽한 입방체는 존재하는가?
수학자는 평면을 빈틈없이 채운다 _ 테셀레이션 문제
기네스북에 오른 가장 큰 수 _ 그레이엄 수
나무를 그리며 큰 수를 그리다 _ TREE(3)
신비로운 0.577 _ 오일러 마스케로니 상수

level 3 : 수학의 마음으로 세상을 분석하라

‘임의의 큰’과 ‘충분히 큰’ 중 무엇이 더 클까?
은근히 ‘평균’이 아니다 _ ‘벤포드의 법칙’부터 ‘두 개의 편지봉투 역설’까지
공평해 보이는 가위바위보 게임
물리법칙으로 해결된 수학문제 _ 최단강하곡선(사이클로이드)문제
앞서거니 뒷서거니 하는 달팽이 _ 대수나선(로그 스파이럴)문제
삼체문제 잡담
‘걸음을 내딛으면, 반드시 천리에 이른다’ _ 에어디쉬 편차문제

level 4 : 수학에도 위기가 있었다니!

무한소’가 일으킨 위기
나는 ‘거의’ 알아차렸다
늘 말썽인 두 천재 _ 벨 부등식의 간단한 수학 해석
SNS 채팅방은 ‘모노이드’인가? 천간, 지지, 오행은 모두 ‘군’인가?
이 명제는 증명이 없다 _ 괴델의 불완전성 정리
수학자는 두 개의 무한을 비교한다 _ 연속체 가설
선택해? 말아? _ 공리선택 다툼
‘패리스-해링턴정리’부터 ‘불가증명성’의 증명에 이르기까지

level 5: 수학적으로 세상을 수학하라

암호학에 빠르게 빠져들기
자유토론 AlphaGo, 바둑, 수학과 AI
수학의 3대 상에 대해 수다 떨기 : 필즈상, 울프상, 아벨상
이야기가 끝이 없는 피타고라스 정리

에필로그 어떻게 골드바흐추측을 생각해낼 수 있나요?

** 현대인은 어떻게 메르센 소수를 찾을까? 모두가 비슷한 예상을 할 거 같은데 바로 컴퓨터를 이용하는 것이다. ……개개인은 모두 이 프로젝트에 자발적으로 참여할 수 있다. 소프트웨어는 누구든지 다운로드하여 프로젝트에 참여할 수 있는데 더 큰 메르센 소수를 찾는 데 자신의 힘을 보탤 수 있다. 50번째 메르센 소수도 미국의 한 택배기사가 교회에 묵혀있는 낡은 컴퓨터를 이용하여 이 프로젝트의 프로그램을 십여 년을 돌려 발견한 것이다.

** 협소한 통로에 있는 소파를 옮기려는데 코너에 막혀서 이러지도 저러지도 못한 경험이 있는가? 이럴 때면 우리를 지켜보고 있는 거인이 소파를 살짝 들어 옮겨주었으면 하는 엉뚱한 생각이 들기도 한다. 하지만 현실에서는 용을 쓰다 지쳐서 소파를 돌려놓을 수밖에 없다.
‘심심한’ 수학자들은 이 문제를 거론했다. 만약 폭이 1인 복도에서 오른쪽 방향으로 직각의 모서리를 끼고 있는 공간이 있다고 하자. 이 공간을 통과할 수 있는 소파의 단면적 최댓값은 얼마일까?

** 하지만 왜 몇십 년 동안 코카콜라는 펩시콜라를 영입하지 않았을까? 혹은 펩시는 전력을 다하여 코카콜라를 따라가지 않는 것일까? 이것은 두 기업이 완전히 다른 레시피를 쓰지 않는다고 이해해도 될까? 만약 어떤 한 기업이 레시피를 완전히 바꾼다면―가격 또는 영업전략 등―스스로 막대한 손해를 입을 것이다. 그래서 두 기업은 일종의 내시균형점의 상태에 있는 것이다.

** 완벽하게 아름다운 군이 하나 탄생했다! 나는 이것을 ‘오행군’이라고 명명하고 싶다. 또한 이 군의 원소는 모두 어떤 ‘치환’이므로 이것은 ‘치환군’이라고 부를 수 있다. 앞에서 말했는데 치환군은 순환군보다 더 기초화, 일반화된 군이다. 이유는 ‘케일리 정리’로 설명할 수 있는데 모든 유한 원소의 군은 모두 치환군과 동형이 될 수 있다는 것이다.

** 당신은 선택공리가 나와는 아무런 상관도 없다고 생각할 수 있다. 어디서 이 공리를 써먹을 수 있을지와 같은 생각도 안 할 수 있다. 하지만 이것은 바로 당신의 큰 착각이다. 실제로 수많은 증명에서 당신은 이미 자각하지 못했겠지만 선택공리를 써왔다. 풍자적으로 말하면, 선택공리를 반대하는 사람들조차도 실제로 이전의 수많은 연구에서 이 공리를 사용해왔다.

** 에어디쉬는 이런 농담을 한 적이 있다. 외계인이 지구에 떨어져 인류를 위협하며 R(5, 5)의 정확한 수를 요구하며 이 수를 내놓지 않으면 지구를 없애버리겠다고 한다. 그러면 지구의 모든 ‘계산력’을 모아 답을 내기 위해 안간힘을 쓸 것이고 해볼 만하다. 그러나 외계인이 만약 R(6, 6)이 얼마인지 묻는다면, 그러면 인류는 목숨을 건지기 위해 서둘러 도망가야 할 것이다.

** 수많은 과학서적에서는 큰 수에 대한 이야기를 멈추지 않는다. 구골 수, 바둑의 변화 수, 제일 큰 메르센 소수, 스고스 수 등이 언급될 수 있겠지만 나는 이런 수들을 모두 건너뛰고 바로 그레이엄 수에 대해 다루려고 한다. 그레이엄 수를 앞에서 언급한 수와 비교한다면, 얼마나 더 큰 수인지 형용할 수도 없을뿐더러 그런 수는 모두 무시해도 되는 클래스에 속한다. 그럼 이제 그레이엄 수가 어떤 수인지 함께 알아보도록 하자.
(/ 본문 중에서)