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수학에 대한 단상

수학이라는 과목은 여타 과목과는 확실히 다르다. 말로 풀어서 설명해 주기보다는 기호로 압축해 버린다. 주먹구구로 셈을 할 수 있는 수들을 넘어서면 음수, 분수, 그리고 소수가 등장하고 덧셈, 뺄셈만 배우다가 어느날 곱셈, 나눗셈이 동시에 등장한다. 이게 수학인가? 과연 이것이 실생활에 얼마나 도움이 될까 의심해 본 적이 많을 것이다. 그러나 수학은 실용적인 학문이다. 단순한 계산을 넘어 물건을 나누고 이자를 계산하는 일부터 지구의 크기를 구하는 문제까지 일상생활과 밀착되어 있는 것이 수학이다.
사실 수학은 인간이 생각을 하게 된 때부터 등장했고, 문명이 발달한 곳에서는 어김없이 수학이 자리를 잡고 문명의 기틀이 되어 주었다. 결국, 수학은 필요에 의해 탄생한 학문이라 할 수 있으며, 수천 년에 걸친 인간 지성의 정수가 담겨 있다. 수학은 인간으로 하여금 계속 생각을 하게 한다. 여기에서의 생각은 사유라고 보면 된다. 고대의 철학자들이 대부분 수학자였다는 것은 이와도 관계있을 것이다.
사실 수학은 생각하는 학문이다. 논리적으로 대입하고 적용하면 하나도 어려울 것이 없다. 수학을 공부하는 것이 대학 진학을 위해서가 아니라 수학에서 배운 것을 실생활에서 활용하고 우리 삶을 윤택하고 풍요롭게 해 주는 도구라고 생각한다면 수학에 더 쉽게 접근할 수 있는 길을 열어 줄 수 있게 될 것이다. 직업을 선택할 때에도 수학은 중요하다. 어느 직종이든 논리적인 사고력과 의사 결정, 문제 해결 능력 등 수학적인 능력이 없이는 제대로 과제를 수행하기 힘들기 때문이다. 이는 수학이 문제를 풀어 가는 과정이라는 것을 의미한다. 우리 삶도 어떻게 보면 수학의 어려운 문제처럼 얽혀 있는 여러 가지 난제를 풀어 가는 과정일지도 모른다. 수학을 즐겨 보자. 그러면 인생을 즐기게 될 것이다.

미적분은 결코 난해한 것이 아니다.
일상생활 속으로 걸어나온 미적분의 본질을 통해
미적분의 공포감을 떨쳐 보자.

흔히들 수학 중에서 제일 어려운 단원이 미적분이라고 막연히 생각할 때가 많다. 사실 미분과 적분은 굉장히 어렵고도 힘든 분야 중 하나인 것은 사실이다. 특히 미적분은 공식으로 이루어졌기 때문에 그것을 응용하는 것 자체만도 고도의 수학적인 능력이 있는 사람들만 가능하다고 생각한다. 그러나 수학의 즐거움이란 단순히 공식을 암기하는 데 있는 게 아니다. 실제 원리를 알고 적용하는 데 있다.
간단히 정리해 보자. ‘미분’이란 움직이고 변하는 대상의 순간적인 변화의 정도를, ‘적분’은 곡선으로 둘러싸인 부분의 넓이를 구하는 것을 말한다. 따라서 이들 미분과 적분을 응용한 것들은 우리 실생활에 생각 외로 많이 존재한다. 한 예를 들어 보자.
미분은 ‘순간적인 변화’를 설명하는 것이므로 달리고 있는 사람이나 차량의 속력 변화, 따뜻한 캔커피가 식어 갈 때의 온도 변화, 지구 주변을 도는 행성의 움직임 등과 같이 계속해서 변화하는 현상을 표현할 수 있다. 과속 카메라도 미분의 원리를 적용한 사례이다.
적분은 직선이 아닌 ‘곡선이나 곡면으로 이루어진 대상들의 길이와 넓이, 부피’를 간편하게 구할 수 있는 방법이다. 병원에서 환자들이 많이 이용하는 컴퓨터 단층 촬영 장치인 CT는 몸속 장기의 단면을 무수히 잘게 나누어 계속 찍고 그 사진들을 종합하여 장기의 전체적인 모양을 알아내는 방법인데 여기에 적분의 원리가 적용되어 있다.
결국 미적분은 일상에서 일어나는 모든 것들과 관련이 되어 있다는 것을 알 수 있다. 막연하게만 알고 있던 미적분의 개념이 실생활 속에 이런 식으로 녹아들어 있다는 것에 새삼 놀라움을 느끼겠지만, 그동안 누구나 알고 있는 사실을 깊이 있게 탐색해 보지 않았기에 그러한 사실을 간과하고 넘어간 것이다.
이 책은 미적분의 기초가 담긴 책이다. 중학교 정도의 수학을 배운 사람이라면 누구라도 어려움 없이 이 책의 내용을 이해할 수 있을 것이다. 학교에서 배울 수 없는 미적분의 원리를 알기 쉽게 접할 수 있는 좋은 기회도 아울러 마련할 수 있다. 정규적으로 미적분을 배우지 못했거나 너무 오랜 시간이 흘러 개념조차도 다 잊어버린 사람들에게도 좋은 길잡이가 될 수 있을 것이다.
미적분, 이제는 공포의 대상이 아니다. 이 책을 읽은 사람이라면 어쩌면 누구보다 자신 있게 미적분의 개념을 제대로 이해함으로써 미적분에 대한 자신감과 흥미를 갖게 될 것이다. ​
한편, 이 책에서는 덤으로 집합, 대칭 관계, 수열과 극한, 가속도, 마방진, 함수, 직선, 수직선, 기울기, 수의 범위, 도형(원, 타원, 직각삼각형, 평행사변형, 사다리꼴, 구)와 같은 내용이 양념으로 첨가되어 있고, 때로는 수학자들의 흥미로운 역사도 곁들이고, 때로는 이야기글도 덧붙이며 수학의 재미를 돋우는 장치들이 곳곳에 포진되어 있다.​

■ 생활 속에 녹아든 미적분의 원리를 깨닫는 상황
1. 복사집에서
방대한 양의 책을 축소 복사할 때 복사용지가 얼마만큼 필요할까? 지불해야 할 비용과 축소 복사할 쪽수, 축소 비율의 대응 관계는 어떻게 구할 수 있을까?
2. 고속 철도 안에서
열차의 속도는 얼마나 될까? 열차의 운행 노선은 어떻게 정해질까? 열차 시간표를 어떻게 하면 수학적으로 표현할 수 있을까?
3. 주방에서
만두를 빚기 위해 밀가루로 반죽을 만들 때 밀가루와 물을 얼마의 비율로 넣어야 할까? 만두피의 넓이에 따라 필요한 만두소는 얼마일까?
4. 주식 시장에서
어떤 주식의 가치가 올라갈지 떨어질지 어떻게 예측할 수 있을까? 주식 시장을 분석하려면 어떻게 해야 할까? 반등폭과 상승폭이 있는 주식은 어떨 때 사야 할까?
5. 교량 공사장에서
오픈식 아치형 돌다리는 어떻게 설계할까? 일정한 유속을 지닌 강물이 하루에 돌다리를 흘러가는 양은 얼마나 될까?
6. 스스로 옷을 만드는 나
만약 옷 한 벌을 직접 만들어 입는다면 천이 얼마나 필요할까?
7. 어항을 고를 때
어항의 수압은 어떻게 계산할까? 어떤 어항이 물고기에게 좋은 것일까?
8. 음주와의 관계
술을 마셨을 때 알코올이 체내에 어떻게 분포될까?

추천의 글 1 • 005 / 추천의 글 2 • 008 / 서문 • 011

제 I 장 축소 복사로 얻는 이득
축소 복사에 필요한 복사용지의 수량 • 017 / 다변수함수에 능통한 복사집 사장님 • 025 / 문구점과 집합론 • 027 / 볼펜은 필기구일까 플라스틱 제품일까 • 032

제 II 장 명절날 고속 열차를 타고
열차 운송에 숨겨진 수학 • 041 / 고속 열차에서 발견한 대칭 • 049 / 핵심적 역할을 하는 두 가지 극한 1 • 052 / 무한소의 비교 • 056 / 핵심적 역할을 하는 두 가지 극한 2 • 058 / 극한이 왜 중요한가 • 061 / 심화 문제 • 061

제 III 장 만두용 밀가루 반죽의 적당한 크기
수학 모형 • 067 / 수학적 직관과 운 • 070 / 밀가루 반죽의 모형 • 072 / 도함수 공식 • 074 / 도함수 공식의 유도 과정 • 076 / 도함수의 계산 법칙 • 078 / 합성함수의 미분 • 079 / 역함수와 역함수의 미분 • 080 / 중국어 방과 블랙박스 모형 • 082 / 심화 문제 • 084

제 IV 장 구슬아 굴러 굴러
도함수의 존재 법칙 • 087 / 롤의 정리 • 090 / 라그랑주의 평균값 정리 • 091 / 갈릴레오의 고뇌 • 093 / 테일러 전개식 • 094 / 심화 문제 • 099

제 V 장 나는 주식왕
주식 시장의 기복 • 107 / 곡선 맞춤 • 107 / 함수를 논하다 • 108 / 일반적인 직선과 수직선 • 110 / 원 • 111 / 원에서 타원까지 • 113 / 3차 스플라인(다항식 곡선) • 116 / 함수의 단조성과 변곡점 • 118 / 극값 • 120 / 더 좋은 주식: 볼록성 • 122 / 심화 문제 • 126

제 VI 장 우리 마을에 아치형 다리를 세우자
자오저우교(趙州橋) • 131 / 또 다른 곡선 맞춤 • 131 / 기본 적분표 • 134 / 모듈화 사고와 부정적분 정의의 확장 • 135 /
적분 공식의 증명 • 137 / 적분표의 확장 • 139 / 심화 문제 • 140

제 VII 장 옷 한 벌에 들어가는 천
옷 DIY의 유행 • 155 / 부정적분을 다시 살펴보다 • 155 / 상수 C의 표시 여부 • 158 / 부정적분에서 정적분까지 • 159 /
덧셈의 방향 • 163 / 기존의 넓이 공식 • 165 / 높은 차원에서의 넓이 공식 • 166 / 원과 타원 • 167 / 신기한 직각삼각형 • 171 / 본질이 변하지 않는 평행사변형 • 175 / 곡선사다리꼴의 넓이 구하기 • 180 / 심화 문제 • 183

제 VIII 장 만두소가 많이 든 만두가 맛있다
많이 빚을까 적게 빚을까 • 185 / 원의 넓이에서 원의 둘레까지 • 185 / 호의 길이 공식 • 187 / 호의 길이 공식의 검증 • 189 / 겉넓이 구하기 • 191 / 부피 구하기 • 192 / 겉넓이를 다시 논하다 • 193 / 자주 저지르는 계산상의 오류 • 194 / 중적분 탐색 • 194 / 만두소가 모자라면 어떻게 할까? • 195 / 심화 문제 • 197

제 IX 장 어항 고르기
물고기 키우기 • 199 / 수압의 계산 • 199 / 수학과 물리 • 201 / 변화하는 힘에 대한 작용 • 203 / 심화 문제 • 203

제 X 장 음주 운전은 안 돼요
알코올 중독 • 205 / 케플러와 미분방정식 • 205 / 미분방정식 탐색 • 206 / 동차방정식 • 208 / 1차 선형방정식 • 210 / 미분방정식 모형 • 211 / 심화 문제 • 213

[부록1] 이 책에 사용된 부호 체계 • 216 / [부록2] 공식 및 증명 • 217 / [부록3] 적분표 • 231 / [부록4] 다변수함수의 미적분 • 250 / [부록5] 심화 문제 답변 예시 • 252

수학은 상상했던 것만큼 어렵고 복잡한 것만은 아니다. 수학 문제에 주로 등장하는 것은 일변수함수이지만 다변수함수 역시 일상생활과 관련된 문제들을 해결할 때 유용하다. 수학은 고대의 결승 문자부터 시작하여 인류의 생활에 많은 편리함을 주었다. 일상생활 곳곳에도 재미있는 수학 문제들이 숨어 있다는 것을 알 수 있다.
( '다변수함수에 능통한 복사집 사장님' 중에서/ p.27)

수학이 재미있다는 것을 여기에서도 발견할 수 있다. ‘아무것도 없는 것’인데도 이것을 하나의 상태나 집합으로 여긴다는 것이다. 모든 집합은 아무것도 없는 상태일 수도 있고, 아무것도 없는 상태를 포함할 수도 있다. 이는 어떤 숫자에 0을 더하면 다시 그 숫자가 되는 것과 같다. 그러므로 공집합은 모든 집합의 부분집합이 될 수 있다.
( '문구점과 집합론' 중에서/ p.31)

열차의 순간 속도는 어떻게 구할 수 있을까? 이 과정을 어떤 순간에 열차가 지나간 거리를 구하는 것으로 생각해 보면 어떨까? 물리학자의 말을 빌리면, 아주 짧은 시간 안에는 관찰할 수 있을 만한 속도의 변화가 일어나지 않는다고 한다. 그러므로 짧은 순간 동안에는 열차가 등속 운동을 한다고 생각하면 된다.
( '열차 운송에 숨겨진 수학' 중에서/ p.47)

수학 모형은 영화 촬영에 사용하는 축소 모형과 비슷한 점이 많다. 예를 들어 사극을 찍을 때 실제 궁궐을 배경으로 촬영하기도 하지만 가짜 궁궐 세트를 만들어 촬영하게 된다. 궁궐은 모조품이지만 시각적인 효과에서 별 차이가 없으므로 촬영하는 데에는 아무런 문제가 없다. 또 위험한 장면을 촬영할 때에는 실제 배우 대신 스턴트 배우를 대역으로 쓰기도 하고, 지진이나 해일 같은 재난 장면을 촬영할 때에는 축소 모형이나 컴퓨터 그래픽으로 실제 같은 장면을 연출한다.
( '수학 모형' 중에서/ p.67)

처음 시작할 때에는 곡선의 기울기 변화가 크지만 곧바로 완만해진다. 이는 우리가 밀가루를 처음 반죽할 때 밀가루를 넣으면 처음에는 반죽의 크기가 점점 커지는 것을 뚜렷하게 확인할 수 있지만 반죽의 크기가 임곗값에 다다랐을 때는 밀가루를 더 넣어도 크기의 변화가 뚜렷하게 나타나지 않으며, 육안으로도 구분하기 어려워진다는 것을 의미한다. 이때 기울기는 0에 가까워지지만 완벽한 0이 될 수는 없다.
( '밀가루 반죽의 모형' 중에서/ p.74)

어떤 사람은 함수를 카메라에 비유하기도 한다. 카메라가 사진 찍히는 사람의 외모를 기록하는 과정을 반영하는 것과 비슷하기 때문이다. 사진을 찍는 과정은 사상, 사진의 원판은 종속변수, 사진 찍히는 사람은 독립변수인 셈이다. 만약 사진기가 움직이지 않는다면 사진을 찍히는 사람이 서 있는 위치는 일정한 범위가 있을 테고, 양쪽에 너무 치우치게 서 있다면 사진이 제대로 찍히지 않을 것이다. 이러한 범위는 함수의 정의역이라 할 수 있다. 물론 요즘에는 성능이 좋은 카메라가 많기 때문에 어떤 각도에서도 풍경을 모두 담아낼 수 있다. 이런 경우 정의역은 마이너스 무한대에서 무한대까지이다.
( '함수를 논하다' 중에서/ p.108)

거시적인 시각과 미시적인 시각에 대하여 이야기해 보자. ∆x와 ∆y가 나타내는 것은 거시적인 차이이다. 길이가 매우 짧더라도 명확히 길이를 잴 수 있다면 이는 거시적인 차이로 간주한다. 반면 라이프니츠가 발명한 dx와 dy가 표시하는 것은 미시적으로 아주 짧은 구간이다. 그래서 아무리 정확한 자가 있다 하더라도 길이를 측정할 수 없다.
(' 덧셈의 방향' 중에서/ p.163)

원의 둘레를 구할 때 원의 넓이에서 조금 작은 원의 넓이를 뺀 다음 반지름의 차로 나누면 된다고 설명하였다. 마찬가지로 구의 겉넓이를 구할 때에도 구의 부피에서 조금 작은 구의 부피를 뺀 다음 반지름의 차로 나누면 된다. 앞서 이러한 방법을 통해 원의 둘레를 구하는 것은 넓이의 도함수를 구하는 것과 같다는 사실을 증명했다. 따라서 구의 겉넓이는 부피의 도함수를 구하는 것이다.
( '겉넓이를 다시 논하다' 중에서/ p.193)

앞에서 이야기했던 것처럼 미적분이 나오기 전에 학자들은 대부분 정지되어 있는 상태를 연구하였다. 그렇다면 시간에 따라 변하는 사물에 대해서는 반드시 미적분의 개념을 통해 연구해야 한다. 미분방정식 모형은 바로 변화하는 사물이나 현상을 간소화시켜 만든 모형이다. 전염병 연구, 약물의 체내 분포, 인구 예측 등 연구와 미분방정식 모형은 불가분의 관계이다. 미분방정식 모형은 임상의학과 약리학의 발전에도 많은 영향을 미쳤으며, 나중에는 ‘약물동태학’이라는 새로운 과학 분야가 생겨나기도 하였다.
( '미분방정식 모형' 중에서/ p.211)