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수학 100 MATHS 2 : 우리가 꼭 알아야 할 흥미로운 수학 이야기 2

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    책소개

    수학은 모든 곳에 존재한다!

    수학은 인류의 시작부터 그 역사를 같이해 왔다. 인간이 처음으로 이용한 수학은 셈이었다. 문자가 없었던 선사 시대에도 인간은 동물 뼈나 돌에 눈금을 새겨 셈을 했다. 물론 실험을 통해 다른 동물 종도 수를 인지하고 단순한 연산을 할 수 있음이 드러났지만 수를 가지고 문제를 해결하고 더 깊은 차원의 추론을 하는 것은 인간만이 가진 지적 능력이다. 단순한 셈에서 시작한 인류의 수학은 점점 수준이 높아지면서 방정식을 풀기 시작했고, 더 어려운 문제를 해결하고자 하는 욕망은 수학을 눈부시게 발전시켰다. 이는 현재도 진행 중이며 수많은 미해결 문제들이 사색가들을 유혹하고 있다. 우리는 흔히 수학이 현실에 필요할까 하는 의문을 갖는다. 눈에 보이지 않아 간과하기 쉽지만 수학은 우리 주위 어디에나 존재한다. 눈송이나 꽃잎의 아름다운 대칭 구조부터 물리학, 건축, 의학, GPS, 우리가 매일 사용하는 컴퓨터와 스마트폰에 이르기까지 이 세상의 수많은 법칙과 기술에는 그 밑바탕에 수학이 자리한다. 물리적 우주를 이해하고 더 깊은 수준까지 탐사하기 위해 고차원적인 수학 언어를 유창하게 구사하는 것이 핵심적인 전제조건이 되었으며, 정보 분석에 이용되는 데이터의 양이 방대해짐에 따라 확률, 통계 전문가들의 필요성도 꾸준히 대두되고 있다. 우리는 수학이 있음으로 해서 단순한 물건 값 계산은 물론이고 논리적인 판단으로 합리적인 의사 결정을 할 수 있으며 미래를 예측할 수도 있는 것이다. 이러한 수학에 대해 우리는 얼마나 알고 있을까? 최초의 셈 도구인 셈 눈금에서부터 오늘날의 혁신적인 기술에 이르기까지 기념비적인 도약들을 어떻게 이루어 냈을까?

    출판사 서평

    인류의 지성이 빛나는 가장 아름다운 학문
    수학의 경이롭고 창의적인 100가지 발견들!

    수학이 이렇게 재미있었나?


    사실, 수학하면 흔히들 어렵고, 따분하고, 재미없다는 느낌을 받기 쉽다. 학창시절 암기식 교육 아래 수학 공식에 시달려 온 이들에게는 수학이 한없이 멀게만 느껴지는 것도 당연하다. 그러나 이러한 선입견을 버리고 수학을 마주하면, 수학은 알면 알수록 흥미롭고 신비한 매력적인 학문이다. 수학은 눈에 보이지 않는 세계를 다루기 때문에 그 이면에는 상상력이 바탕이 되며 인간의 지성이 최대로 빛날 수 있는 분야다. 또한 수학은 영원불멸하다. 현재 우리가 배우고 다루는 공식들은 수백 년 전의 수학자들이 발견한 지식이다. 한 번 증명된 이론은 세월이 흘러도 영원한 진리로 남는 것이다.

    [수학 100] 1권에서는 인류 최초로 수학이 탄생한 순간부터 소수, 음수, 방정식 등 수학의 기본적 개념들을 소개했다면, 2권에서는 그러한 기본 법칙들을 기반으로 한 좀 더 심도 있는 응용들과 최근의 수학적 발견들까지 담고 있다. 온갖 수학 공식과 그래프가 가득해 펼쳐보기도 두려웠던 책들과 달리 아름다운 삽화와 이해를 돕는 도표, 간결한 설명으로 수학에 한 발짝 다가갈 수 있게 해 준다. 수학의 역사를 빛낸 놀랍고도 아름다운 지식의 향연이 펼쳐지는 수의 세계로 떠나보자.

    *** [수학 100]은 1권과 2권으로 나누어져 있습니다.

    1권 : 셈의 시작부터 리만의 제타 함수까지 (1~50)
    2권 : 조르당 곡선 정리부터 스도쿠까지 (51~100)

    ※ [과학의 100가지 발견] 시리즈

    [과학 100], [우주 100](전2권), [수학 100](전2권)이 발간되었고 [지구 100](전2권)이 발간될 예정이다. 각 도서에는 200여 컷의 도판이 삽입되며, 발견을 이루기까지의 과정과 그 의의, 중요성 등을 알기 쉽게 소개한다.

    목차

    머리말

    051 조르당 곡선 정리 Jordan curve theorem
    052 곡면의 분류 Classification of surfaces
    053 기수 Cardinal numbers
    054 벽지군 Wallpaper groups
    055 디지털 기하학 Digital geometry
    056 러셀의 역설 Russell’s paradox
    057 특수 상대성 이론 Special relativity
    058 삼체문제 The three-body problem
    059 웨어링의 문제 Waring’s problem
    060 마르코프 과정 Markov processes
    061 일반 상대성 이론 General relativity
    062 프랙탈 Fractals
    063 추상대수학 Abstract algebra
    064 매듭 다항식 Knot polynomials
    065 양자역학 Quantum mechanics
    066 양자장 이론 Quantum field theory
    067 램지 이론 Ramsey theory
    068 괴델의 불완전성 정리 Godel’s incompleteness theorem
    069 튜링 기계 Turing machines
    070 수치해석 Numerical analysis
    071 정보 이론 Information theory
    072 애로의 불가능성 정리 Arrow’s impossibility theorem
    073 게임이론 Game theory
    074 희한한 구면체 Exotic spheres
    075 임의성 Randomness
    076 연속체 가설 The continuum hypothesis
    077 특이성 이론 Singularity theory
    078 준결정 Quasicrystals
    079 우정 정리 Friendship theorem
    080 비표준 해석학 Non-standard analysis
    081 힐베르트의 열 번째 문제 Hilbert’s tenth problem
    082 생명 게임 The game of Life
    083 복잡도 이론 Complexity theory
    084 순회 세일즈맨 문제 The travelling salesman problem
    085 혼돈 이론 Chaos theory
    086 4색 정리 Four colour theorem
    087 공개 키 암호 방식 Public key cryptography
    088 타원 곡선 Elliptic curves
    089 웨이어-펠란 구조 Weaire-Phelan foam
    090 양자컴퓨터 Quantum computing
    091 페르마의 마지막 정리 Fermat’s Last Theorem
    092 케플러의 추측 Kepler’s conjecture
    093 카탈랑의 추측 Catalan’s conjecture
    094 푸앵카레의 추측 Poincare’s conjecture
    095 소수 별자리 Constellations of primes
    096 유한단순군의 분류 The classification of finite simple groups
    097 랭글랜즈 프로그램 Langlands program
    098 역수학 Reverse mathematics
    099 분할 Partitions
    100 스도쿠 Sudoku

    용어 설명
    찾아보기

    본문중에서

    - 돌파구 : 발터 폰 다이크는 위상기하학이라는 새로운 분야를 연구하면서 2차원 곡면의 완전한 목록을 만들 수 있었다.
    - 발견자 : 요한 리스팅, 아우구스트 뫼비우스, 펠릭스 클라인, 발터 폰 다이크.
    - 중요성 : 곡면의 분류는 20세기 전반에 걸쳐 수학을 바꾸어 놓은 위상기하학에서의 최초의 중대 사건 중 하나다.

    1차원적인 모양은 곡선, 2차원적인 모양은 곡면이라고 부른다. 곡면의 가장 일반적인 예는 구이고, 그 밖에도 구멍이 뚫린 도넛 모양의 원환면 등 수많은 형태가 있다. 1882년 펠릭스 클라인이 새로운 곡면인 클라인 병을 발견한 것은 위상기하학에서 최초로 위대한 정리를 탄생시킨 계기가 되었다. 바로 존재하는 모든 곡면의 목록을 완성한 것이다.

    이 세상에 존재하는 모든 곡면에 이름을 붙이자는 생각은 터무니없어 보인다. 실제로 전통적인 기하학의 관점에서 보면 말도 안 되는 일이다. 찻잔에서 프레첼까지, 세상에는 엄청나게 다양한 도형들이 존재한다(심지어 기하학 교과서에는 더 많은 도형들이 등장한다). 그러나 19세기 중반에 등장한 위상기하학이라는 새로운 분야에서는 이 도형들 중 대부분이 근본적으로 동일하다고 여긴다. 만일 한 도형을 변형시켜 다른 도형으로 만들 수 있다면 위상기하학자에게 그 두 도형은 하나이며 같은 것이다. 도형을 변형하는 방법에는 극단적으로 늘리기와 비틀기가 포함된다. 따라서 스파게티 가닥은 구와 동일한 것으로 간주된다. 그러나 자르거나 붙이는 것은 허용되지 않는다. 그러므로 찻잔은 구와는 다른데, 그 이유는 손잡이의 구멍을 제거할 수 없기 때문이다.

    손잡이가 달린 구
    찻잔은 위상기하학적으로 원환면(torus)과 같다. 찻잔의 차를 담는 부분은 구의 형태로 바꿀 수 있지만, 결정적으로 손잡이가 남는다. 손잡이를 구에 붙이면 새로운 도형이 만들어진다. 구에 두 개의 손잡이를 붙인 것(이중 원환면)은 일반 원환면과는 다르다. 찻주전자는 위상기하학적으로 이중 원환면이며, 프레첼은 구에 세 개의 손잡이가 붙은 삼중 원환면이다. 위에서 예를 든 곡면들은 모두 닫힌곡면이다. 즉, 종잇장과는 달리 모서리가 없다는 뜻이다. 이들 도형은 한 조각이며 무한평면과는 달리 유한한 면적을 갖는다. 1863년, 당시 71세였던 아우구스트 뫼비우스(August Mobius)는 이러한 조건을 만족시키고 3차원 우주 안에 존재할 수 있는 모든 곡면은 위상기하학적 측면에서 몇 개의 손잡이가 붙은 구의 형태라는 것을 증명했다.

    뫼비우스의 띠
    이 증명은 위대한 성과였지만, 이러한 곡면에 대한 이해는 다소 불완전하긴 했어도 이미 존재했었다. 이는 희한한 발견에서 비롯된 것이었다. 1847년 요한 리스팅(Johann Listing)은 직사각형으로 자른 종잇조각을 놓고 고민하고 있었다. 이 종이 띠의 한쪽 끝을 다른 쪽 끝에 붙이면 원통이 만들어진다. 이것은 모서리가 있으므로 닫힌곡면이 아니며, 여기에 뭔가 특별한 것이 있는 것도 아니었다. 원통은 아르키메데스 시대부터 잘 알려진 도형일 뿐이었다. 그러나 구조를 살짝 바꾸자 완전히 새롭고 흥미진진한 것이 만들어졌다. 띠를 끝에 붙이기 전에 반 바퀴를 비틀자 원통이 아닌 무언가 새로운 것이 만들어졌다. 놀랍게도 이 물체는 면이 단 하나뿐이었다. 리스팅이 손가락으로 종이의 안쪽 면을 따라 훑어나가자, 손가락은 안쪽 면과 바깥쪽 면을 모두 지나 출발점으로 돌아왔다. 1858년 뫼비우스는 독자적으로 같은 내용을 발견했고, 이 도형 ‘뫼비우스의 띠’에는 그의 이름이 영원히 남게 되었다. 이 매력적인 도형은 사람들을 어리둥절하게 만드는 여러 가지 흥미로운 특성을 가진다. 예를 들어 이 띠를 중심선을 따라 자르면 두 개의 새로운 뫼비우스의 띠로 분리되는 것이 아니라 두 번 꼬인 단일한 띠가 된다.

    클라인 병
    예상치 못한 놀라운 특징을 가진 뫼비우스의 띠는 기하학자들에게 더 심오한 도전 과제를 안겨 주었다. 면이 하나뿐인 이 도형은 어떻게 곡면의 범주에 들어갔을까? 물론 띠 그 자체는 모서리가 있으므로 닫힌곡면이 아니다. 따라서 뫼비우스의 띠는 뫼비우스의 정리에 모순되지 않는다. 그럼에도 의문이 생긴다. 이전에 알려진 모든 곡면들은 양면이 있었다. 모서리도 없고 오직 한 면만 가진 닫힌곡면이 존재할 수 있을까? 놀랍게도 그 답은 ‘그렇다’이다. 이는 1882년 펠릭스 클라인(Felix Klein)이 발견했는데, 그의 답에는 조건이 있었다. 클라인 병(Klein bottle)으로 알려진 이 아름다운 도형은 두 개의 뫼비우스 띠를 가지고 띠의 양 끝을 붙여 만든 것이다. 그런데 만약 집에서 직사각형 종이 두 장과 풀 한 통을 가지고 클라인 병을 만들어 보려고 한다면 결과물은 엉망진창이 될 것이다. 클라인은 이것을 만드는 방법을 발견했지만, 곡면이 스스로를 통과하도록 해야만 했다. 오늘날 클라인 병은 유리로 만드는데, 곡면이 자신을 뚫고 지나가는 부분에서 언제나 결함이 생긴다. 그러나 그 자체로 보면 클라인 병은 완벽하게 일관된 곡면이다. 단 하나의 결함이 생기는 이유는 이 병을 3차원 공간에서 만들려고 하기 때문이다. 4차원 세상에서는 결함 없는 클라인 병을 쉽게 만들 수 있다.

    폰 다이크의 정리

    클라인 병은 단순히 새로 발견된 희한한 곡면이 아니었다. 뫼비우스가 구에서 시작해 구에 손잡이를 붙인 것처럼, 이제는 도형에 구멍을 내고 뫼비우스의 띠를 바느질하는 것이 가능해졌다. 이로 인해 3차원 공간에서는 완벽하게 존재할 수 없었던 새로운 종류의 방향성 없는 곡면이 만들어졌다. 1888년 클라인의 제자였던 발터 폰 다이크(Walther von Dyck)는 기존에 있던 뫼비우스의 분석을 보완하고 살을 덧붙여 새로운 학문인 위상기하학의 아름다운 정리를 만들어 냈다. 2차원상의 모든 닫힌곡면은 위상기하학적으로 단순한 구이거나, 구에 손잡이가 붙은 형태 또는 구에 몇 개의 뫼비우스 띠를 이어 붙인 형태 중 하나여야 한다는 사실을 증명한 것이다.
    ('052. 곡면의 분류(Classification of surfaces)' 중에서)

    저자소개

    리처드 엘위스(Richard Elwes) [저] 신작알림 SMS신청 작가DB보기
    생년월일 -
    출생지 -
    출간도서 2종
    판매수 76권

    수학을 연구하고 다수의 수학책을 집필했으며 현재 영국 리즈 대학University of Leeds에서 강의하고 있다. [뉴 사이언티스트New Scientist]와 [플러스 매거진Plus Magazine]에 수학에 관한 글을 기고하고 있으며, 수리 논리학을 주제로 연구 논문을 썼다. 정기적인 강연과 라디오 프로그램을 통해 수학의 대중화에 힘쓰고 있다.

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    서강대학교 물리학과와 동 대학원을 졸업하고 한동안 휴대전화를 만드는 엔지니어로 일했다. 이후 이화여자대학교 통역번역대학원에서 번역학을 전공하고 소설과 과학책을 번역하고 있다. 『밤의 새가 말하다』, 『열흘간의 불가사의』, 『최후의 일격』, 『꼬리 많은 고양이』, 『퀸 수사국』, 『무니의 희귀본과 중고책 서점』, 『맹인탐정 맥스 캐러도스』, 『아파트먼트』, 『물질의 탐구』, 『입자 동물원』, 『일상적이지만 절대적인 양자역학지식 50』, 『전자부품 백과사전』(전 3권)을 우리말로 옮겼다.

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