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수학 지식 전체를 꿰뚫는 통찰력을 제공하는 책

많은 수학자들이 자신이 연구하는 학문을 자랑스럽게 여기지만 일반인에게는 동의하기 어려운 부분이 많다. 아직도 많은 학생들에게 수학은 하나의 정규과정을 마치기 위한 수단으로 배우는, 마치 통과의례와 같은 교과목에 불과하고 고등학교를 졸업하고 나서는 수학과는 영원히 결별을 선언한다. 모두가 수학이란 복잡하고 어려운 것이라고 생각한다. 하지만 이러한 생각은 수학에 대한 편견과 잘못된 이해에서 비롯된다. 이에 수학의 배경지식을 익혀 수학의 지식기반을 탄탄히 하고 싶어 하는 청소년과 좀 더 깊이 있는 수학을 가르치는 사람들에게 도움을 주기 위해 수학교양서를 출간하였다.

수학을 이해하기 위해 갖춰야 할 기본적인 내용을
주제별로 정리한 10개의 특강

수학은 너무나 많은 내용을 담고 있기 때문에 수학 공부를 하는 사람들은 어디서부터 시작해야 하는 것인지 어떻게 이해해야 하는 것인지 막막할 때가 많다. 수학과 씨름하는 독자들에게 수학문제를 푸는 방법을 알려주는 책은 많지만 좀 더 근본적인 도움을 주고 있는 수학책은 많지 않다.
《10개의 특강으로 끝내는 수학의 기본 원리》는 단순한 수학문제 풀이집이 아니다. 수학을 접하는 모든 사람들에게 수학이란 무엇이며 어떻게 접근을 해야 하는지 좀 더 근원적인 해결방법을 제시하고 있다. 따라서 이 책을 읽다 보면 숫자들이 밀집된 복잡한 수학에서 벗어나 수학 전체의 모양새를 파악하는 안목을 가지게 될 것이다.
저자는 이 책에서 청소년과 일반인이 수학을 쉽게 이해하고 따라가기 위해 갖춰야 할 기본 지식을 10가지 주요 주제로 나누어 정리하고 있다.

첫 번째 강의: 진리 그리고 아름다움에서는 수학이 사람들, 건물, 벽 등 손으로 만지거나 볼 수 있는 것이 아니라 맥베스에 나오는 ‘공중에 뜬 단검’처럼 추상적인 상상의 산물이지만 수학 세계와 현실 세계와 근원적으로 얽혀 있음을 설명하고 있다.
두 번째 강의: 하나, 둘, 셋,…, 무한대에서는 실제로 존재하지 않는 숫자인 무한대에 대해 이야기하며 무한대를 표기하는 ‘…’의 의미를 설명한다.
세 번째 강의: 셈을 넘어서에서는 ‘?’으로 표기되는 자연수가 수학 세계의 중심을 이루고 있음을 강조하며 페아노 공리의 다섯 가지 원리를 통해 완벽하게 묘사한다.
네 번째 강의: 수론에서는 고작 열 살 때 1부터 100까지를 간단히 구해낸 유명한 일화의 주인공 가우스의 걸작 《산술연구》의 이론을 바탕으로 대수학을 소개한다.
다섯 번째: 강의 실수와 허수에서는 피타고라스의 추종자들이 신봉했던 유리수로 인해 살인까지 일어났던 일화를 소개하며, 무리수와 실수, 더 나아가 허수까지 수 영역을 확장해 나간다.
여섯 번째 강의: 수 기계에서는 함수를 단순히 집합의 개념을 벗어나 더 역동적인 것으로 정의하며 초월수인 ?와 ?를 소개한다.
일곱 번째 강의: 확률에서는 불확실함과 무작위가 존재하는 확률의 세계와 대표적인 확률 문제들을 소개하고 있다.
여덟 번째 강의: 미적분에서는 움직이는 순간 속도의 개념과 곡선으로 둘러싸인 공간으로 설명될 수 있는 미적분학을 소개하며 여기서 도출된 수식 lim의 개념을 증명한다.
아홉 번째 강의: 패턴과 패러독스에서는 수학은 하나의 패턴으로 나타낼 수 있음을 설명하며 증명과 공식상의 오류로 인한 흥미로운 패러독스의 예를 소개한다.
열 번째 강의: 요약에서는 저자가 자신의 지도교수와 나누었던 대화를 회상하면서 수학의 유용함과 미적가치를 다시 한 번 강조한다.

40년간의 수학 교육 노하우가 담긴 책
저자인 제리 킹 박사는 40년 이상을 학생들에게 수학을 가르치며 연구를 계속해 온 미국 리하이대학교 수학과 교수이다. 이러한 그의 오랜 수학교육 노하우가 고스란히 이 책에 담겨 있다. 뿐만 아니라 저자는 예술, 역사에까지 조예가 깊어 독자로 하여금 다양한 각도에서 수학을 바라볼 수 있게 한다.
저자는 이 책에서 묻는다. 시를 좋아하냐고. 시는 아름답고 간결하지만 인위적이며 어렵다. 수학도 마찬가지다. 어렵고 인위적이지만 그 안에서 간결한 힘과 아름다움을 찾을 수 있다고 말한다. 잘 모르겠다는 당신을 도와주겠다고 킹 박사가 손을 내민다. 그의 안내를 따라 한 번 발을 내디뎌 보는 것은 어떨까. 용기 내어 떼어 놓은 작은 한 걸음이 수학 정복을 위한 위대한 여정의 시작이 될 것이다.

감사의 글
옮긴이의 글
이 책을 읽는 법
서문

첫 번째 강의 진리, 그리고 아름다움
창조 | 진리 | 논리 | 복합명제 | 세 가지 작은 단어들 | 모델

두 번째 강의 하나, 둘, 셋,…, 무한대
셈 | 무한집합 | 러셀의 패러독스 | 불 대수 | 논리와 집합

세 번째 강의 셈을 넘어서
덧셈, 곱셈, 순서 | 정수 | 유리수 | 조작

네 번째 강의 수론
소수 | 에라토스테네스의 체 | 수학적 귀납법 | 순서 정렬원리 | 나눗셈 알고리즘
최대공약수 | 동치관계 | 군/되돌아가기/추측

다섯 번째 강의 실수와 허수
측정 때문에 빚어진 살인 | 실수 직선 | 실수의 연산 | 셀 수 없는 무한
그리고 | 복소수

여섯 번째 강의 수 기계
데카르트의 꿈 | 그래프 | 점 사이의 거리 | 함수의 결합 | 역함수 | 초월수

일곱 번째 강의 확률
유한 표본공간 | 기본 성질들 | 조건부 확률 | 세어보기 기술 | 기댓값 | 통계
무한 표본공간

여덟 번째 강의 미적분
적분 | 미분 | 미적분학의 기본정리 | 극한 | 아름다움 그리고 힘

아홉 번째 강의 패턴과 패러독스
궤변 | 패러독스

열 번째 강의 요약
유용성에 대한 심미적 원칙 | 거울 이미지