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수학적 생각 방법이 얼마나 재미있는지 알려주는 무한대 속의 수학 판타지!

수학의 개념과 원리를 쉽게 설명한『수학 판타지』. 이 책은 주인공인 알렉스가 수학자인 할아버지와 함께 무한대의 수학 판타지 세계를 경험한 내용을 담은 것으로 무한에 대한 개념과 함께 분수, 무한보다 더 큰 무한한수, 다차원의 세계와 우주 등 다양한 에피소드를 통해 수학적 개념을 익힐 수 있도록 구성했다.

수학자인 할아버지 집에 놀러간 알렉스는 거기에서 병과 난쟁이가 그려진 상표가 붙여진 병을 발견하고 그 병을 보고 무한함에 대하여 이야기하기 시작한다. 무한함의 개념을 통해 단순히 수학만이 아니라 철학과 물리학, 음악 등에 관하여 설명한다.

1장 할아버지 집에 찾아온 알렉스는 병을 하나 발견한다. 그 병에는 병과 난쟁이가 그려진 상표가 붙어 있다. 그리고 그 상표 안에 병과 난쟁이가 그려진 상표가 또 있고 그 상표 안에 또 병과 난쟁이가 그려진 상표가 있다. 상상 속에서 이 난쟁이와 병은 무한하게 계속된다. 수학자 할아버지와 알렉스는 이 병으로 무한에 대한 이야기를 시작한다. 무한하게 넓은 공간, 무한하게 큰 수가 있을까? 무한한 것도 수일까?
2장 할아버지와 큰 수를 본격적으로 세기 시작한 알렉스. 승수표기방식도 배우고 수학자들이 사용하는 약자도 접한다. 여기서 할아버지가 들려준 재밌는 이야기 하나. 옛날 인도의 폭군에게 사형을 선고받은 현자가 체스를 가르쳐준다. 왕은 체스가 너무 좋아 현자의 소원 하나를 말하라고 했는데 막상 소원은 소박해 보였다. 체스 각 칸에 앞 칸보다 두 배의 밀을 놓아달라는 것. 이를 증명하려고 드디어 할아버지와 알렉스가 첫 번째 실험을 시작한다.

3장 무한을 무엇이라고 설명할 수 있을까? 이제 할아버지와 알렉스는 무한의 개념을 찾아 나선다. 가우스가 1부터 100까지 순식간에 더한 이야기, ‘하노이의 탑’이라는 동전 쌓기 놀이, 부분집합의 개수를 알 수 있는 공식 등 무한한 수를 적용해도 답을 알아낼 수 있는 수학 공식을 만나면서 알렉스는 무한에 대해 모두 이해했다고 생각한다. 하지만 할아버지는 요지경 같은 무한대의 또 다른 모습을 알려준다.

4장 무한대의 요지경 같은 성격은 요지경 호텔에서 엿볼 수 있다. 무한하게 방이 많은 호텔은 ‘무한하다＋무한하다＝무한하다’라는 사실을 일깨워준다. 무용 선생님은 남학생과 여학생을 줄 세워 양쪽이 같은 수인지 센다. 짝수 집합이 자연수의 집합과 크기가 같은 것은 그 때문이다. 하지만 무한집합은 ‘∞-∞＝∞’인 경우도 성립한다. 수직선의 분수는 더 많은 것을 이야기해준다.

5장, 6장 수직선의 0과 1 사이에, 무한하게 많은 분수가 존재한다. 할아버지는 알렉스에게 순환소수를 분수로 계산하는 방법, 분수 사이에 꼭 다른 분수가 있는 이유를 알려주고 유리수와 무리수에 이어 제곱수도 가르쳐준다. 그런데 제곱근을 통해 무한한 것보다 큰 무한이 있다는 것을 발견한다. 무한한 수 사이에도 더 크고 강력한 수가 있는 것이다.

7장 아이스크림 가게에서 아이스크림을 먹던 한 남자가 주머니에 돈이 한 푼도 없다는 것을 깨달았다. 어떻게 되었을까? 그는 두 알의 아이스크림을 한 알, 반 알, 1/4알, 이런 식으로 계속 먹었다. 이것은 조화수열이다. 그 합은…무한하게 크다! 할아버지는 내친 김에 등비수열과 수렴, 발산까지 알렉스에게 설명해준다.

8장, 9장 삼각형은 무한을 설명하는 좋은 도구다. 피타고라스의 정리가 대표적인 경우다. 할아버지는 이 정리를 통해 원의 둘레와 원의 면적을 구하면서 파이를 설명한다. 그리고 이야기는 드디어 무한대에 이르는 점을 표시할 수 있는 좌표와 포물선에 이른다. 무한하게 많은 직사각형의 면적을 계산하는 적분방정식의 개념까지 배운 것이다. 세계 인구의 증가 추세도 이런 수학 공식에 따라 무한하게 많은 단계를 고려해서 얻을 수 있다.

10장, 11장 할아버지와 알렉스의 무한 이야기는 어느새 ‘기하학’과 ‘차원’의 세계로 넘어간다. 눈이나 카메라로 보는 기하학은 실제의 기하학과 다르다. 그래서 할아버지는 유클리드 기하학과 투영기하학, 투시도법, 소실점, 입체투영법, 원의 반전, 지구공동설을 설명해준다. 그리고 평면나라, 선의 나라, 공간나라, 그리고 4차원에서 벌어지는 이야기는 우리의 상상력을 자극한다.

12, 13장 수직선 위의 수처럼 자연에 있는 사물도 무한하게 빽빽할까? 이제 이야기는 점점 철학, 물리에 가까워진다. 할아버지는 원자, 빛의 파장 등을 설명한다. 그러다가 양자역학의 법칙 중 하나인 불확정성의 원리에까지 이른다. 또한 음악과 수학을 주제로 이야기하면서 진동의 음높이 계산에 미적분함수가 필요하다고 설명한다. 무한의 마지막 이야기는 무한하게 큰 우주다. 허블의 법칙, 빅뱅 등의 이론이 있지만 아직은 상상의 세계에 속한 무한한 우주에 대해 할아버지와 알렉스가 함께 상상의 나래를 펼친다.

추천의 글 5
이 책을 읽기 전에 13

1. 무한하게 작고, 무한하게 큰
이상한 병 15
무한하게 넓은 공간과 무한하게 큰 수 18
무한한 것에 대한 유한한 이야기 20
무한한 것도 수인가? 23

2. 시간, 밀알, 모래에서의 큰 수
사람들이 큰 숫자의 이름을 알 필요가 없는 이유 28
임금님이 잘못 계산한 이유 32
실험을 하다 35
시라쿠사의 천재 37

3. 무한에 대한 개념을 장악하기
멀리 있는 수 43
가우스가 한 덧셈 45
하노이의 탑 48
집합과 그 부분들 54
마을 이발사와 그의 문제점 55
부분집합 57

4. 요지경 속 무한대
요지경 호텔 62
무용 선생님이 수를 세는 방법 67
자연스럽지 않은 자연수의 성질들 69
무한집합은 다르다 71

5. 분수 위의 분수
정수와 분수 78
분수 옆의 분수 85
분수를 세는 방법 90

6. 무한한 것보다 더 무한한 것
분수 사이의 수들 95
알렉스가 제곱근을 풀다 100
무한하게 많은 무한한 수들의 집합 110
더욱 이상한 요지경 속으로 111
무한하게 멀리 있는 점 113

7. 무한하게 노력해도 무한한 것에는 도달할 수 없는 이유
아킬레스와 거북이 115
아이스크림 먹기의 수학 118
함정에 빠지다 123
이상한 수열 123

8. 삼각형과 원의 세계
특별한 삼각형을 위한 정리 128
원의 비밀 131
인도로부터 온 신비한 편지 139
기센과 인터넷에서 발견할 수 있는 파이 144

9. 무한대로 가는 곡선
지도처럼 149
아르키메데스와 포물선 152
점점 더 많아지는 인구 156

10. 무한한 곳은 어떻게 보이나
잡초의 기하학 162
눈이 우리에게 보여주는 것 166
기하학이라고 다 같은 기하학이 아니다 173
지구를 지도 위로 177
점이 밖으로 밀려나다 180
속이 빈 지구 184

11. 차원의 세계
평면나라 193
선의 나라 195
공간나라 197
직선, 평평할까 아니면 휘었을까? 199
네 번째 차원 203
4차원적인 유령의 세계 206

12. 자연에서 무한하게 작은 것들
수직선과 철사 211
우리가 작은 것을 볼 수 없는 이유 215
그림자 218
보이지 않는 곳으로부터의 메시지 220
소리의 세계로의 소풍 222

13. 무한하게 큰 우주
원판 모양의 은하수 230
무한하게 많은 우주의 섬들 231
빛은 공간과 역사를 관통한다 233
많은 나무들 때문에 숲을 볼 수 없을 때 234
우주는 멀어져간다 237
과거를 들여다보다 240
무한한 우주가 어두운 이유 241
느낌 속의 무한한 것 243

“ 우주선을 타고 한 방향으로 계속해서 날아간다면, 그렇게 계속해서 날아가다가, 언젠가는 끝에 부딪칠 거예요. 그리고 그 뒤에는 또 무엇인가가 있을 거잖아요. 그럼 어떻게 되는 건가요?”
“이제 보니 우리 알렉스는 위대한 철학자였구나! 내 기억이 맞는다면 기원전 300년경에 벌써 그리스 철학자 에피쿠로스가 너와 비슷한 생각을 했단다. 그는 우주가 끝이 있다면, 그리고 그 뒤로는 아무것도 없다면, 그는 그 끝 너머로 창을 던질 수 있을 거라고 생각했단다.”
나는 알렉스의 얼굴에서 내가 녀석을 그리스 철학자와 비교한 것이 마음에 들었음을 알 수 있었다.
“우주에 대해서는 나중에 다시 한 번 얘기하자꾸나. 우주는 아마도 무한하게 클 거야. 그렇지만 무한하게 큰 것에는 다른 예도 있단다.”
“우주만큼 큰 게 뭐가 또 있을 수 있죠? 그런 게 있다면 있을 자리가 있나요?”
“숫자를 한번 세어보렴. 아마 너는 만, 억, 조 다음에 더 큰 수가 생각나지 않을 거야. 더 큰 수에 대해서 네가 이름을 붙일 수도 있겠지. 그렇지만 너는 절대로 숫자를 끝까지 셀 수는 없을 거야.”
-18쪽 ‘무한하게 넓은 공간과 무한하게 큰 수’ 중에서