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일상 속 이야기와 기발한 질문으로 시작
중고등 수학 교과 과정에 따른 구성으로
성적과 재미까지 잡는 요즘 애들 수학!

초등학교 때 수학을 꽤 좋아했던 아이도 중학교에 입학하면서 점점 수학을 어려워하다가 고등학교에서는 진도를 따라가지 못해 수포자의 길을 걷는다. 대학 입시의 당락을 결정하는 주요 과목, 하버드대생도 풀 수 없을 정도의 난이도, 세계에서도 경이롭다고 표현할 만큼의 학습량과 선행 교육이 필수가 되어버린 과목, 이것이 바로 우리나라 수학 교육의 현주소이다.
중학교에서 수학을 가르치면서 수학 수업을 지루하고 어렵지 않게 만들고자 부단히 노력하고 있는 저자는 시험의 전리품으로 소비되는 수학이 아닌 우리 주변에 공존하고 있는 수학의 모습을 통해 아이들에게 수학이 어렵지 않다는 것을 알게 해주고 싶었다.
일상생활 속 이야기 또는 간단한 질문에서 시작해 수학 개념을 소개하고 중·고등 수학 교과 과정에 따라 기하, 수와 방정식, 함수, 확률과 통계로 구성되어있는 이 책은 독자들에게 수학의 분야가 왜 발전되었고, 어떻게 발전했는지 한눈에 보여줌으로써 아이들에게 수학에 대한 거부감을 없애는 데 도움을 주고 있다.

부모들은 감을 잡고 아이들은 수학을 잡는다!
선행 위주 주입식 교육보다 흥미 중심의 자기주도 학습으로

국제 교육성취도 평가협회의 2019년도 연구 자료에 의하면 국내 중학교 2학년 학생 10명 중 6명은 수학을 싫어하며, 수학을 ‘가치 없다’라고 생각하는 학생도 30퍼센트 가까이 된다고 한다. 반면 국제적 수학 성취도 평가에서 높은 순위를 차지하고, 대학수학능력시험에서 입시의 당락을 결정하는 주요 과목이자 하버드대 수학과 학생들도 풀 수 없을 정도의 문제 난이도…. 이것이 바로 우리나라 학생들이 배우고 있는 수학 교육의 현주소이다.
세계가 경이롭다고 표현할 만큼의 학습량과 선행 교육이 필수가 되어버린 과목이지만 정작 아이들은 시험을 치르고 나면 몇 년간 배운 내용을 머릿속에서 모조리 삭제해버린다. 이처럼 주입식 교육을 통해 높은 성적은 얻을 수 있지만 흥미와 자기주도가 이루어지지 않는 학습은 잠재적 수포자를 양상시키는 결과만을 낳았다.
교육 관계자들은 계속되는 수포자들의 증가를 방지하기 위해서는 아이들을 무작정 사교육에 맡기기보다 가정과 학교에서 수학에 대한 흥미를 유발할 수 있는 활동이 선행되어야 한다고 말한다. 이러한 필요성에 따라 최근 개정된 수학 교과서와 수업 방식에 변화가 생기기 시작했다.

문명의 탄생과 함께 시작된 수학은
입시 도구가 아닌 생활밀착형 학문이다!

“먹고사는 데 사칙연산만 할 수 있으면 되는 거 아닌가요?”
이 말은 아이들이 수학을 포기하려 할 때 자기합리화를 시키기 위한 변명 아닌 변명으로 주로 하는 말이다. 언뜻 그럴싸하게 들리기 때문에 이 말에 공감하는 사람도 많다. 하지만 역사적으로 살펴보면 수학은 다른 어떤 학문보다 생활밀착형 학문이라는 것을 알 수 있다.
고대 문명의 태동과 함께 발전된 기하학을 시작으로 식량의 저장, 세금 징수 등과 같은 실용적인 문제를 해결하기 위한 계산, 태양과 별, 달의 움직임을 관찰하여 탄생한 시간과 함수, 인도에서 발명된 아리비아 숫자로 인한 르네상스 도래 등 수학은 인류의 역사와 함께 해왔다. 또한 수학은 역사 속에서 뿐만 아니라 우리 생활 속에서 살아 숨쉬고 있다. 최근 화이트데이 대신 각광 받고 있는 파이(π)데이, TV 예능 프로그램의 단골인 복불복 게임, 혈액형과 복권 당첨 등 가벼운 오락거리에서 뿐만 아니라 컴퓨터 언어의 기본이 되는 행렬, 난수표를 기반으로 작동하는 온라인뱅킹 보안카드, 인구 조사, 세금 징수 등 나라를 운영하는 데 필요한 통계 등 우리는 수학의 세계에 살고 있다고 해도 과언이 아니다.
수학을 교과서에 박제되어 시험만을 위한 공부라고 생각하지 말고 자신의 삶에 적용하여 의미를 부여한다면 수학에 대한 거부감이 없어지고 수학에 흥미를 느낄 것이다.

일상 속 다양한 사례와 질문으로 시작하는 수학
생활밀착형 수학으로 수포자 없는 세상 만들기

학창 시절부터 수학의 즐거움을 알고 수학을 좋아해 중학교 수학 교사가 된 저자는 수학을 여행에 비유한다. 수학 교과서는 여행 안내서이며, 선생님은 가이드 역할을 하는 사람이라고 말한다. 여행에 대한 전반적인 정보를 여행 안내서를 통해 얻을 수 있듯이 수학 교과서는 개념의 핵심을 짚어주고 설명과 함께 수학 교과의 전체 내용을 포괄하고 있으며, 선생님은 여행에서의 포인트를 짚어주고 안내하며 학생 개개인의 반응을 보고 피드백해주는 역할을 한다. 또한 보다 깊이 있고 즐거운 여행을 위해서는 가이드가 알려주는 숨은 팁의 역할이 중요하다고 강조하는데 수학에서 이런 역할을 하는 팁은 어떤 수학 개념이 있을 때 이 개념은 왜 태어났는지, 어떤 과정을 통해 연구되었는지에 대한 역사적 흐름을 살펴보고, 현재 그 개념이 어떤 의미를 지니는지 논의해보는 것이다.
일상생활 속 이야기 또는 간단한 질문에서 시작해 수학 개념을 소개하고 중·고등 수학 교과 과정에 따라 기하, 수와 방정식, 함수, 확률과 통계로 구성되어있는 이 책은 독자들에게 수학의 분야가 왜 발전되었고, 어떻게 발전했는지 한눈에 보여줌으로써 수학이라는 여행의 재미와 깊이를 선사하는 팁 역할을 제대로 하고 있다.

류영희(송도고등학교 교사)
학교에서는 진정한 수학의 아름다움을 전달하기보다는 개념이나 정리를 익히고 문제를 푸는 데 많은 에너지를 쏟는다. 이 책에는 수학 교사로서 이러한 점을 보완할 수 있도록 수년간 고민한 흔적이 고스란히 담겨있다. 이 책을 읽는 동안 우리는 수학의 아름다움을 발견하고 수학의 진정한 매력을 느낄 것이다.

김예담(한국과학기술원(KAIST) 3학년)
종이 속 문제를 벗어나 현실에서 수학을 활용할 수 있게 해준 선생님의 수업을 통해 수학을 왜 배워야 하는지 깨닫게 되었다. 이 책을 읽는 독자들도 수학이 얼마나 중요한 학문인지, 수학을 왜 배워야 하는지, 수학이 어떻게 탄생했는지에 대해 점차 알게 될 것이다.

김도현(미성중학교 1학년)
이 책을 읽고 내가 맹목적으로 외웠던 수학 공식들이 어떻게 탄생했는지 알 수 있었다. 수학에 대한 어려움과 막막함이 점차 흥미로 바뀌고 어느새 수학에 깊게 빠지게 만드는 이 책은 수학을 잘 못 하는 사람에게도 잘하는 사람에게도 도움이 된다.

장유진(미성중학교 1학년)
처음 보는 공식들과 복잡한 문자들로 마냥 어렵게만 느껴졌던 중등 수학의 문을 선생님께서 열어주셨다. 흥미로운 주제와 다양한 예시로 수학의 재미가 담겨있는 이 책은 수학을 잘하지 못하는 학생도 쉽고 재미있게 이해할 수 있도록 만들어준다.

들어가며

1부?사고의 시작, 기하
우리가 거인이나 소인이 된다면?
중등 수학의 끝판왕 피타고라스의 정리
파이로 파이 구하기
지구 둘레 구하는 방법

2부?문제를 해결하는 법, 수와 방정식
누구나 독심술사가 될 수 있다
인생은 방정식?
시간의 시작
숫자를 지배하는 자
음수의 반전
A4 용지의 비밀

3부?규칙의 발견, 함수
배스킨라빈스 31 게임의 필승 전략
정사각형이 직사각형으로
반복되는 그래프

4부 과거와 미래의 연결, 확률과 통계
복권으로 희망을 사다
A형 아빠와 B형 엄마 그리고 O형 딸
수학자들도 어려워하는 확률 문제
모나코의 부의 비밀
사망률을 감소시킨 통계의 기적
평균에 속지 마라

문명이 탄생한 이래로 주어진 상황적 문제를 해결하기 위해 수학은 계속 발전해왔으며 많은 수학자가 수학을 공부하면 할수록 진리의 아름다움에 매료되었기 때문에 수학에 대한 연구가 끊임없이 계속될 수 있었다.
하지만 이 부분에 대해 많은 사람이 공감하지 못할 것이다. 여기에서 아름다움이란 꽃이나 보석 같은 눈에 보이는 아름다움이 아니라 깨달음의 미학이다. (물론, 수학을 이용해 아름다운 무늬를 만들어낼 수는 있다.) “아!” 하는 깨달음의 순간, “재밌다!” 라며 즐거움을 느끼는 순간, 어려운 것을 이해했을 때의 뿌듯함, 아이디어가 갑자기 떠올라 새로운 방법으로 문제 풀이를 시도해봤을 때의 참신함. 수학 공부를 하면서 그러한 순간과 경험이 쌓이면 수학의 아름다움을 느낄 수 있다.
아이들이 나에게 “왜 수학을 해야 하나요?”라며 물을 때 나는 그에 대한 답을 아껴두었다. 지금 아이들에게 ‘수학은 아름답다’라는 이야기는 그들의 생각과는 너무 동떨어진 이야기라서 오히려 괴리감을 줄 뿐이다. 아이들에게 수학의 아름다움이 다가오도록, 스스로 수학의 아름다움을 찾도록 도와주고 싶다.
- p6~7

현재 유럽, 미국 등 대부분의 나라에서는 3월 14일을 화이트데이가 아닌 ‘π(파이)데이’라고 부르며 다양한 행사를 즐긴다. 세계적으로 가장 유명한 숫자 중 하나인 π는 3.141592…로 소수점 아래로 숫자가 계속 나열된 수를 말한다. 초등학교에서 π는 계산하기 용이하도록 약 3.14로 정해놓고 계산한다. 따라서 3월 14일이 π데이인 것은 자연스럽다.
π데이가 알려지기 시작한 것은 1990년대 초반 미국의 하버드대학과 MIT, 영국의 옥스퍼드대학 등 유명 대학에서 수학을 전공한 학생들이 ‘π클럽’ 동아리를 만들어 π데이 기념행사를 열면서 시작되었다. 게다가 독일의 세계적인 물리학자 아인슈타인의 생일이 3월 14일이었기 때문에 π데이는 전 세계인이 즐기는 축제의 장이 되었다.
- p49~50

π에서 나타나는 수열은 0~9까지의 숫자가 거의 균등하게 출현하지만 어떠한 규칙도 없이 나열된다. 한 자리의 숫자를 구한 후 계속 계산하지 않는 한 그다음 자리 숫자가 무엇이 올지 예측할 수 없다. 난수(random number)표란 무작위로 선택된 0~9까지의 숫자가 균등하게 출현하도록 임의의 숫자를 잔뜩 배열해놓은 표이다. π의 소수점 아래 숫자는 난수표라고 생각할 수 있다.
오늘날 많은 암호가 이 난수를 기반으로 작동한다. 예를 들어 온라인 뱅킹을 위한 보안 카드는 일종의 난수표이다. 이렇게 수학자들이 순수하게 진리를 연구한 결과를 현대 수학에 유용하게 사용하는 경우가 빈번하다. 뉴턴의 말처럼 진리의 세계는 넓고 우리는 몇 개의 조개만 알고 있다. 그 조개들이 어떤 관계로 어떻게 진리의 세계를 이루는지는 누구도 알 수 없다.
- p63

함수는 자연의 움직임을 설명하기 위해 만들어진 개념이다. 자연의 복잡한 움직임을 표로 기록하고 그 속에서 규칙성을 찾았다. 그리고 식이나 그래프로 표현함으로써 자연의 움직임을 일반화했고, 이러한 연구들은 자연 현상을 예측하기도 했다.
16세기 초반 함수를 연구하던 수학자들은 다양한 자연 현상을 연구하면서 그 속에서 많은 함수를 찾았다. 수학이 자연의 질서를 이해하는 강력한 수단으로 역사의 전면에 새롭게 등장했다. 과학과 수학의 발전이 맞물려 돌아가면서 그 발전 속도가 더욱 빨라졌다.
-p188

함수의 필요성을 처음 느낀 것은 천체의 움직임을 기록하려고 시도하면서부터였다. 농경 사회에서 천체에 대한 연구는 필수였다. 천문학자들은 미래의 날씨를 예측하고 천체 운동의 규칙을 발견하기 위해 하늘을 관찰했다. 당시 천문학에서 하늘을 구로 보았고, 구 위에 있는 별들의 운동을 관찰하고 기록하고자 했다.
천체 운동을 길이로 측정하기 위해서는 원에서의 호의 길이나 현의 길이를 측정해야 했다. 원에서 호의 길이나 현의 길이를 결정하는 요소는 각이다. 따라서 각을 활용하여 길이를 잴 수 있는 방법인 삼각법(trigonometry)이 발달했다. 삼각법은 그리스어 ‘삼각(trigonon)’과 ‘측량(metron)’을 합친 단어이다.
별이 움직인 거리를 측정하려 했던 천문학자들은 많은 시행착오를 겪었다. 예를 들어 별과 별 사이의 간격을 눈으로 바라보며 두 팔을 벌려 측정한다면 키가 큰 사람과 키가 작은 사람의 두 팔의 폭은 서로 다를 수밖에 없다. 따라서 별의 움직임을 기록할 때마다 오차가 생긴다.
이를 극복하기 위해 사용한 방법이 ‘비’였다. 팔 사이의 각도가 같다면 키 큰 사람이 만든 삼각형과 키 작은 사람이 만든 삼각형은 닮음이다. 두 삼각형이 서로 닮음이면 두 삼각형의 변의 길이 비는 일정하다.
-p195~196

매주 금요일 오후 7시. 로또 복권 1등을 많이 배출한 자칭 로 또 명당에는 복권을 사려는 사람들로 북새통을 이룬다. 로또 복 권 한 장의 가격은 1,000원이다. 토요일에 있을 당첨 방송에서 단돈 1,000원의 투자가 몇 억으로 돌아오길 바라며 사람들은 매주 희망을 산다.
복권에 당첨될 확률을 구해보자. 복권을 샀을 때 그 복권이 당첨될 확률은 ‘복권에 당첨된다, 당첨되지 않는다’ 두 가지 경우가 있으므로 복권에 당첨될 확률은 50%이다. 이것은 맞는 말일까? 당연히 아니다. (…) 복권이 당첨될 경우와 당첨되지 않을 경우의 가능성은 서로 같지 않다. 당첨되지 않을 가능성이 당첨될 가능성보다 무척 크다. 실제로 로또 복권에서 1등으로 당첨될 확률을 구해보면 1/8,145,060이다. 이 확률은 굉장히 작은 값이다.
아주 희박한 확률의 일을 뜻하는 ‘서울에서 김 서방 찾기’라 는 옛 속담이 있다. 미국 뉴욕시의 인구가 800만 명 정도 된다고 한다. 복권에서 1등으로 당첨될 확률은 사람을 찾으러 뉴욕에서 무턱대고 갔을 때 우연히 마주친 첫 번째 사람이 내가 찾는 그 사람일 정도로 희박한 확률이다.
-p209~212

예능 프로그램에서 많이 하는 복불복 게임은 오직 운으로만 벌칙자가 정해진다.
식혜 여섯 잔이 있는데 세 잔은 맛있는 식혜이고 세 잔은 소금 식혜이다. 여섯 명이 차례대로 식혜 하나를 선택하여 먹을 때 먼저 선택하는 것이 유리할까? 나중에 선택하는 것이 유리할까? 매도 먼저 맞는 것이 좋다고 먼저 선택하는 것이 유리하다고 생각하는 사람도 있을 것이고, 앞 사람들이 먼저 소금 식혜를 먹으면 남는 것이 맛있는 식혜이니까 나중에 선택하는 것이 유리하다고 생각하는 사람들도 있을 것이다.
첫 번째로 식혜를 선택하는 사람 A와 두 번째로 식혜를 선택하는 사람 B가 맛있는 식혜를 먹을 확률을 각각 계산해보자. A는 총 여섯 잔 중 세 잔의 맛있는 식혜 중 한 잔을 고르면 되므로 3/6=1/2이다. B는 A가 먼저 고른 후 남은 다섯 잔 중 맛있는 식혜를 고르면 된다. 그러면 맛있는 식혜는 몇 잔 남아있을까? 그것은 A가 무엇을 골랐느냐에 따라 다르다. A가 맛있는 식혜를 골랐으면 남은 맛있는 식혜는 다섯 잔 중 두 잔이고, A가 소금 식혜를 골랐으면 맛있는 식혜는 다섯 잔 중 세 잔이다.
B가 맛있는 식혜를 고를 확률은 1/2×2/5+1/2×3/5=1/2이 된다. 즉, 복불복 게임에서 첫 번째든 두 번째든 순서에 상관없이 맛있는 식혜를 선택할 확률은 1/2로 같다.
-p234~235

기온이 어느 정도 변화했는가, 여론 조사에서 찬성과 반대가 어느 정도 비율을 차지하는가, 주가 지수가 어떻게 움직이는가 등을 나타낼 때는 수많은 숫자를 사용한다. 그리고 그러한 숫자 들을 간단하게 그림으로 나타낸 것이 바로 ‘그래프’이다. 그래프는 방대한 양의 데이터를 효과적으로 전달하기 위한 시각적 자료로, 특히 뉴스나 신문 기사에서 접할 수 있다. 경제나 사회와 관련된 다양한 수치가 이해를 돕기 위해 그래프로 표현되고 있다. 그러나 그래프를 잘못 사용하면 사람들에게 잘못된 인식을 심어줄 수 있다. (…) 그래프는 다양한 수치를 효과적으로 나타냄으로써 수치에 대한 전체적인 이해를 쉽게 하기 위해 만들어졌지만 잘못된 그래프를 사용하는 것은 그래프를 그리지 않은 것보다 못한 결과를 초래할 수 있다. 그래프를 만들 사람이 이를 악용하여 그래프를 잘못 그린다면 그래프를 본 사람들은 큰 혼란을 겪는다.
또한 그래프를 볼 때 비판적으로 바라보지 않고 무분별하게 수용한다면 옳지 않은 방향으로 문제를 인식할 소지가 있다. 수치는 거짓말을 하지 않지만 이를 사용하는 사람들이 수치를 어떻게 사용하느냐에 따라서 그래프는 약이 될 수도 있고 독이 될 수도 있다
-p255~258