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“아이의 틀린 답 속에도 나름의 논리가 있다”

11시 1분 전은 10시 69분?
수학 문제를 풀 때, 어른이 보면 황당하게 틀리고 마는 아이의 머릿속에는 도대체 어떤 일이 벌어지고 있는 걸까? 종종 아이의 머릿속을 들여다보고 싶은 기분이 든다. 답답하다는 부정적인 의미가 아니고 정말로 왜 틀렸는지, 무슨 생각을 하고 있는지 궁금해진다. 어떻게 저런 생각을 다 했을까 싶을 정도로 기발하고 창의적인 답을 말하는 순간들. 어른의 시선으로 보면 앞뒤가 맞지 않는 것처럼 보이지만 아이 나름대로는 자신만의 논리를 바탕으로 열심히 생각한다. 단지 어른들의 딱딱한 머리로는 쉽게 상상할 수 없을 뿐이다.
이 책은 수학자 아버지가 아이의 머릿속 세계로 떠나는 여행이다. 어린 딸과 함께 수학 혹은 산수 문제를 풀면서 아이가 어떤 방식으로 문제를 이해하고 답을 도출해 가는지, 문제를 푸는 과정에서 아이는 어떤 장애물에 부딪히고 어떤 논리로 오답에 이르게 되는지 등을 살펴보면서 아이의 기발하고 엉뚱한 생각을 엿보는 이야기를 담은 에세이이다.
우리 아이들이 어떤 생각을 하며 매일 자라고 있는지, 그런 아이들을 부모가 어떤 방향으로 이끌어 주면 좋을지 힌트를 얻을 수 있다. 또한 아이의 실수를 찬찬히 훑어보면서 아이가 정답까지 오는 과정을 좀 더 너그럽게 바라볼 수 있다. 그러니 어른들의 딱딱한 머리로는 쉽게 상상할 수 없는 의미 있는 오류의 장면을 아이와 함께 마주해 보자.

아이의 오답에도 전전긍긍하지 않는 부모 되는 법
-아이의 엉뚱한 발상과 착각 속에는 무엇이 숨어 있을까?

어른이라면 아이가 틀리게 푼 산수 문제를 보고 ‘틀린 이유’를 생각해 본 적이 있을 것이다. 아이가 산수 문제를 생각한 뒤 어른이 예측한 답이나 반응을 완전히 벗어난 부분에서 헤매는 경우는 종종 일어나는 일이다. 또한 엉뚱한 발상 그리고 오류도 자주 발견할 수 있다.
하지만 그런 아이의 모습을 잘 관찰해 보면 그 발상이 나름 심오하다는 것을 알 수 있다. 아이가 왜 틀린 답을 말하는지 추리를 해 본 끝에 그 의미를 깨닫고 나면 아이는 나름대로 자신만의 논리로 생각하려고 노력했다는 것을 알 수 있게 된다.
이는 수학에만 해당하는 것이 아니다. 평소 아이들의 말과 행동이 잘 이해되지 않을 때도 있지만 자세히 들여다보면 아이 나름대로 일관된 생각과 이유를 가지고 있는 경우가 많다. 이 책은 저자의 개인적인 경험으로 시작하고 있지만 전체적으로 보면 얼핏 잘못된 것처럼 보이는 아이의 생각 속 부분적인 정확함을 만날 수 있게 해 준다.
아이가 어떤 생각을 하는지 알게 되면 아이를 대하는 법도 달라진다. 아이가 틀린 문제를 함께 생각해 보거나 혹은 차분하게 기다려 주는 인내심을 발휘할 수도 있다. 이 책이 어른에게 아이들을 대하는 방식에 대한 힌트가 되어 주거나, 산수의 기초적인 개념을 재검토하는 데 도움이 될 수 있을 것이다.
그럼 신비하고 매력적인 아이의 머릿속 산수의 세계로 출발해 보자.

시작하며

Part1 수학 난센스 퀴즈
수학 난센스 퀴즈 놀이 / 신기한 역할 놀이 / 수학 난센스 퀴즈 속으로 / 과외 학습

Part2 구구단표
화장실과 구구단표 / 구구단표의 패턴 / 구구단표를 지그시 보고 있노라면 /
스콜레 / (칼럼) 동그라미 개수를 구하는 방법

Part3 정답과 오답
길을 가면서 덧셈해 보기 / 시험 / 식의 의미와 의도 / 교과서에서의 풀이 /
(칼럼) 700 + 900 = 1060에 대하여

Part4 계산기로 배우는 수
장난감이 된 계산기 / 자신만의 방식으로 이해한 ‘마이너스 이론’/ 생각지도 못한 부작용 /
돌이켜 생각해 보니 / 수의 이해

Part5 어린이의 세계
세계관 / 5+1 사건 / 기수와 서수 / 푸는 방법은 달라질까? / 102엔 사건

Part6 사건 파일
24와 42 사건 / 11시 1분 전 사건 / 250mm는 몇 cm일까? / 11×11과 12×12 사건

Part7 곱셈의 순서와 종류
곱셈의 순서 문제 / 곱하는 수와 곱해지는 수 / 곱셈의 종류는? / 하나씩 세기와 거듭하여 더하기 /
연속량과 배수 / 소수의 곱셈·비율 / 비례 / 복비례 / 자연과학, 사회과학, 일상에서도

Part8 이론과 방법
앨범 / 곱하기 10 / 이론과 방법 / 트와일라잇 익스프레스 / 커피를 사러 가는 일 / 이불 개기

Part9 자신만의 수학 이야기를 엮어 내는 힘
책의 쪽수로 숫자 놀이 / 빵과 분수 / 수학자도 마찬가지 / 형제끼리 수학 풀기

마무리 오류는 보물
시행착오와 수학자의 일상 / 오류의 재미 / 오류와 사고방식 / 과도기적 이해 / 오류를 지켜보다

부록 Part 7에 대하여
등분제와 포함제 / 구별하는 의미 / 전문용어에 관하여

에필로그

아이가 쓴 7 - 5 = 2라는 식은 ‘7개의 달걀 중 5개를 사용했더니 남은 달걀이 2개가 되었다’라는 상황을 시간 순서대로 설명한 식이다. 아이가 답을 계산할 때는 망설임이 없었는데 이렇게 문제의 의도와 다른 식을 쓰게 된 이유를 짐작해 볼 수 있다. 답을 먼저 쓰고 식은 나중에 쓰는 문제가 자주 있어서 별반 신경 쓰지 않았는데 아이가 여기서 7 - 5 = 2라는 식을 쓴 것은 나에게는 완전히 예상 밖의 것이었으며 이 아이에게 식이란 그런 의미였었나 하고 정말 놀랐다. --- 62쪽

700 + 900을 1060처럼 틀리는 배경에는 Part 1에서 다뤘던 주제인 자릿수 표현법의 어려움이 숨어 있다. 700 + 900의 경우 100이 각각 7개인 수와 9개인 수의 합이므로 우선 답은 100이 16개, 그것을 다시 1600으로 고치는 과정으로 계산하게 된다. 이게 답을 찾는 유일한 순서는 아니지만 어떤 방법을 사용하든 익숙해질 때까지는 꽤 어렵다. ‘100이 10개면 1000’이라는 사실을 상당히 자유자재로 사용할 수 있어야 한다. --- 68쪽

왜 답을 102엔이라고 생각하게 된 것일까? (중략) 원래 숫자를 표현할 때 자연스러운 어순은 ‘100이 2개’이며, ‘2개의 100’이라고 표현하는 경우는 별로 없다. 예를 들면 입장료를 낼 때 인원수를 말하려면 ‘어른 4명, 어린이 3명’이라고 말하지 ‘4명 어른, 3명 어린이’라고 말하는 경우는 별로 없다. 이것이 일반적으로 이용되고 있는 말하기 방식이다. 그렇다면 100이 2개인 것을 200이 아닌 102라고 생각하는 것은 어린이에게 당연한 일이 아닐까? --- 108쪽

오류는 우리 이해에 개선의 여지가 있다는 것을 구체적으로 보여준다. 우리는 이해에 대한 불완전성을 추상적으로 깨닫는 것만으로는 무엇인가를 시작할 수 없다. 오류가 실마리가 되어 실제로 생각해 볼 수 있다. 오류가 전체에 어느 부분에 있는지를 알아내는 것과 오류를 수정하는 것만으로도 이해가 커진다. --- 352쪽