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“인류는 1+1=2의 원리를 깨닫고 문명의 초석을 쌓아 올렸다!”
인류 문명의 모든 출발점인 공식,
그 아름다움을 인문학으로 산책하다

약 350만 년 전 아프리카에는 두 발로 일어선 영장류가 있었다. 그저 두 발로 걷는다는 점을 제외하면 다른 원숭이들과 큰 차이가 없었다. 하지만 현재 그 영장류의 후손은 태양계 밖으로 우주선을 보내고 스스로 사고하는 인공지능을 만들어냈다. 이 믿기 힘든 문명의 발전을 이뤄낸 원동력은 과연 무엇이었을까? 이 책의 저자들은 ‘모든 것은 수학 공식으로부터 나왔다’고 단언한다. 인류는 이 단순한 수학 공식으로 우주의 비밀부터 인간 삶의 복잡성까지 설명한다. 현실 세계의 변화는 너무나도 다양하며 정신을 잃을 정도로 복잡하기만 하다. 이런 혼돈의 시대에 공식은 간결함의 미학 그 자체다. 그리고 공식이 뿜어내는 자태는 아름답기까지 하다. 아인슈타인의 질량 에너지 방정식과 양전닝의 게이지이론은 우주 궁극의 게임 규칙을 모색하고, 페르마 대정리와 오일러 공식은 우주 변화의 이면에 있는 수학 세계를 잘 보여 준다.
《공식의 아름다움》은 인류에게 가장 보편적이고, 가장 진지하며, 가장 실용적인 공식 23개를 통해 천재들이 인류의 찬란한 역사를 어떻게 탐구했는지 이야기한다. 공식과 함께 어우러진 독특한 삽화는 다소 건조할 수 있는 수학과 물리학의 공식에 화려한 옷을 입혀 책의 소장 가치는 물론 읽는 재미를 더한다. 수와 식으로 꾸며진 공식을 깊이 들여다보면 간결하고도 수려한 공식을 만든 이들의 뜨거운 영혼과 깊은 역사가 보인다. 어떤 배경 속에서 누가 왜 공식을 만들어냈는지, 그것이 담고 있는 의미는 무엇인지를 천천히 따라가다 보면 간결함 속에 감춰진 아름다운 언어, 공식의 매력에 빠져들 수밖에 없다.

“모든 것이 사라질지라도 공식은 영원하다
허망한 인생에서 수학은 유일한 진리다.”

인문학으로 해석한 공식의 아름다움

《공식의 아름다움》은 피타고라스의 정리부터 인간 수학의 한계라 불리는 삼체문제까지 인류 역사와 함께한 공식들을 인문학적으로 탐구한다. 공식과 관련된 주인공들의 처절한 고민과 고뇌의 시간은 때론 인류의 고통으로, 때론 희열로 전해져 수학과 물리의 유구한 역사가 되었다. 어찌 보면 이 책의 내용은 수학이라기보다는 인문학에 더 가깝다. 그렇다고 관련된 수학, 물리학적 원리와 그 풀이에 소홀한 것은 아니다. 일반적인 수학, 물리학적 지식이 있고 한 번쯤 뉴턴과 라이프니츠, 피타고라스의 이름을 들어본 사람이라면 책을 통해 공식의 깊이를 느낄 수 있는 기회를 갖게 될 것이다.
인류가 지금껏 살아온 방식을 바꿔놓고 있는 코로나19 팬데믹이 오히려 정보혁명을 가속화한다고 전문가들은 말한다. 미래를 급속히 앞당기고 있다는 것이다. 앞으로 5년 뒤, 10년 뒤 세상의 모습은 우리가 상상할 수 있는 한계를 넘어서 있을지도 모른다. 이런 시대에 이 책에 나온 절대 공식들은

이성을 되살리고, 알 수 없는 미래를 준비할 수 있는 가장 중요한 지식 중 하나이다.
공식보다 만물의 아름다움을 더 잘 묘사할 수 있는 것은 없다. 공식은 이성과 아름다움의 교차이며, 지극히 간결한 몇 개의 기호들로 자연 만물의 숨은 법칙을 설명한다. 많은 독자가 이 책을 통해 인류의 지혜가 쌓아 올린 절대 공식의 사다리를 타고 올라 불확실한 미래를 향해 무한히 뻗어 나가기를 바란다.

비트코인의 본질은 수학 방정식,
사람은 거짓말을 하지만 공식은 사람을 속이지 않는다!

비트코인의 본질은 수학 공식이다. 2009년 1월 3일 사토시 나카모토(Satoshi Nakamoto)는 오후부터 해 질 녘까지 마지막으로 타원곡선방정식에서 시작하는 프로그램의 오류를 살핀 후 소형 서버에 올렸다.
이 코드는 매우 초라하여 지금까지도 많은 프로그래머에게 비웃음을 사고 있다. 하지만 하나의 수학 공식에서 출발한 이 프로그램은 1월 3일 18시 15분, 세계 최초의 비트코인 블록(block)을 탄생시켰다. 그리고 2021년 8월 비트코인의 전체 가치는 1,000조 원을 넘어섰다. 어느 누구도 이름 모를 학자가 만든 공식이 미래의 가상화폐를 만들어낼 저력을 지녔을 거라곤 상상하지 못했을 것이다. 이뿐 아니라 현대 문명의 원동력인 전기도, 달나라를 정복한 우주선도, 지구촌을 하나로 연결하는 인터넷도, 인간 바둑 최고수 이세돌 9단을 이긴 인공지능도 모두 그 근원은 수학 공식이다. 이처럼 공식은 인류 최고의 지혜가 응집된 산물이다. 이 세상은 수로 이루어져 있으며 0과 1이 모든 것을 다스림에도 우리는 각박한 세상에서 수학을, 진실을 외면하며 살아간다. 저자는 공식이야말로 인류의 보물이며 우리의 이성을 되살리는 가장 중요한 지식이라고 강조한다.
이 책에는 수학의 기원에서부터 인류를 괴롭혀 온 난제인 페르마 정리, 세상에서 가장 아름다운 공식으로 꼽히는 오일러 공식, 만유인력, 슈뢰딩거 방정식 등의 수학과 물리를 아우르는 공식들과 이 공식을 바탕으로 5G, 인공지능, 비트코인 등 현대의 문명을 한 차원 넓혀 가는 응용학의 내용으로 나뉘어 있다.
저자는 전문 지식을 포괄하지만 최대한 일반 대중이 이해할 수 있도록 쉽고 감동적으로 공식을 묘사하고 있다. 책을 펼치면 밤을 새워 사고하는 수학자와 물리학자들의 시간이 우리에게 찾아오는 듯한 느낌이 든다. 그들의 사각거리는 만년필 소리에 공식은 점차 형체를 갖춰가고 새롭게 발표되는 공식에 많은 이들이 탄성하는 목소리가 들리는 듯하다. 이렇듯 공식의 탄생과 수학적 내용, 의미를 천천히 짚어가다 보면 저자가 언급했듯이 이성적 사고와 과학적 안목, 수리적 지식, 철학적 두뇌 그리고 인문학적 소양을 얻을 수 있을 것이다.

[추천사]
먼저 읽은 이들의 잇따른 찬사!

“공식 뒤에 알려지지 않은 역사 이야기와 전문 지식이 어우러져 놀라움을 자아냅니다. 문과생도 거뜬히 읽을 수 있을 정도의 설명으로 세상의 모든 공식을 제대로 알 수 있는 기회가 되었습니다.”

“조금도 지루하지 않다. 삽화가 독특하고 눈길을 끌며 풍부한 지식을 얻을 수 있어서 좋았다.”

“삽화가 정말 예술적으로 아름답다. 수학과 논리적 사고를 훈련할 수 있을 뿐만 아니라, 철학의 이치가 깃든 고전이다. 인류 최고 지휘자의 지혜를 만끽하는 즐거움을 준다. 이 책은 확실히 독서의 기쁨을 알게 한다.”

“누구나 알만한 공식을 편안한 문장으로 안내해 수학 공부를 많이 할 수 있었습니다. 고등학교 동생에게 강추했습니다!”

“수학 공식이라면 진저리를 치는 저조차도 공식의 재미에 푹 빠졌습니다. 실생활의 모든 곳에 수학의 공식이 응용되어 사용된다는 사실이 놀랍습니다.”

“공식의 아름다움이라는 제목이 너무나 딱 들어맞는 책입니다. 숫자와 기호만으로 이루어진 공식들이 이렇게 세상을 찬란하게 밝혀줄 거라고는 상상도 못했던 일입니다. 수학에 깊은 관심을 가진 계기가 되었습니다.”

프롤로그 공식은 문명으로 가는 계단이다

〈이론편〉
. 1+1=2 : 수학의 기원
. 피타고라스 정리 : 수와 형의 결합
. 페르마 정리 : 인간을 괴롭힌 358년
. 뉴턴-라이프니츠 공식 : 무한소의 비밀
. 만유인력 : 혼돈에서 광명으로
. 오일러 공식 : 가장 아름다운 공식
. 갈루아 이론 : 풀리지 않는 방정식
. 위험한 리만 가설
. 엔트로피 증가의 법칙 : 소멸은 우주의 숙명인가?
. 맥스웰 방정식 : 어둠이 사라지다
. 질량 에너지 방정식 : 판도라의 마법을 여는 상자
. 슈뢰딩거 방정식 : 고양이와 양자 세계
. 디랙 방정식 : 반물질의 예언자
. 양-밀스 이론 : 대통일의 길

〈응용편〉
. 섀넌 공식 : 5G의 배후
. 블랙-숄즈 방정식 : 금융 주술
. 총기 : 탄도에 숨은 ‘기술 철학’
. 후크의 법칙 : 기계 시계의 심장
. 카오스 이론 : 나비 한 마리가 일으키는 사고
. 켈리 공식 : 카지노의 최대 승자
. 베이즈 정리 : AI는 어떻게 사고하나?
. 삼체문제 : 떠나지 않는 먹구름
. 타원 곡선 방정식 : 비트코인의 초석

** 어떤 사람들은 이런 기호들과 공식이 우리의 밥상에 어떤 도움을 주냐며 의문을 제기한다. 심지어 어떤 공식들은 아직까지도 지하 세계에 묻혀 빛조차 보지 못한 채 썩고 있다. 그런데 왜 이토록 높은 찬사를 받는 것일까? 오일러 공식은 겉으로는 완벽하나 그 쓰임을 말하자면 사실 딱히 내세울 게 없다. 백여 년 동안 계속되는 삼체문제의 논쟁은 아직도 미해결 상태다. 게다가 많은 공식이 아직도 불분명한 채 미지의 분야로 남아 있다. 하지만 이 ‘쓸데없어 보이는’ 공식이야말로 숫자로 환산할 수 없는 가치를 지닌 인류의 보물이다.

** 우리는 1+1=2인 것을 이미 알고 있다. 하지만 1+1이 왜 2인지 생각 해 본 사람은 없을 것이다. 이 문제를 생각하려 하면 인간은 끝없는 번뇌에 빠지게 된다. 수학의 본질에 관해 파고 들어가면
인간은 우주 대폭발에서 무엇이 ‘제1의 추진력’인지에 관한 질문을 받은 것처럼 쩔쩔맨다.
많은 사람이 ‘1+1=2’라는 등식은 증명할 필요도, 해석할 필요도 없다고 할 것이다.

하지만 진리를 좇는 사람들은 왜 ‘1+1=2’의 증명이 필요 없냐며 핏대를 세운다. 다행히 몇몇 수학자들이 부지런히 탐구해 이 문제의 해답을 찾아냈다. 그중 이탈리아 수학자 페아노는 수학 세계에 자연수를 안착시켰고, 다섯 가지 공리로 ‘1+1=2’라는 가장 단순한 등식을 유도할 수 있는 페아노 공리를 만들었다.

** 어느 비바람이 몰아치는 날 밤, 피타고라스는 성대한 파티를 주최했다. 모두 술잔을 기울이며 흥에 겨워할 때 정작 피타고라스는 식사조차 중단하고 넋을 잃다가 갑자기 연회장 구석으로 뛰어가기 시작했다. 그리곤 바닥 위에 정렬된 네모난 타일을 뚫어져라 쳐다보며 깊은 생각에 잠겼다. 그는 무엇을 보았던 것일까?

** 미분과 적분은 역사적으로 아주 오랜 시간 동안 분명하게 구분되는 두 영역으로 서로 조금도 관련이 없는 독립적인 영역이었다. 제논이 언급한 ‘기괴한’ 거북이에 자극을 받은 수학자들은 오랫동안 철저히 무한 소량을 연구하였고 뉴턴-라이프니츠 공식이 등장한 후에야 비로소 그들은 미분과 적분을 연결할 수 있었다.

** 볼테르는 오랜 시간 영국에 머물면서 뉴턴의 친척과 지인을 찾아다니며 어떻게 만유인력의 법칙과 같은 위대한 업적을 이루게 되었는지 캐물었다. 볼테르의 성화에 뉴턴의 조카사위는 ‘단지 한 알의 사과가 떨어져 뉴턴의 머리를 맞혔을 뿐이고, 그 후 뉴턴이 뭔가를 알아차린 것 같다’고 말해주었다. 그러자 볼테르는 무언가 대단한 이론을 알게 된 것마냥 고개를 끄덕거리고 아주 흡족해하며 돌아갔다. 이후 그가 이 이야기를 책에 소개하면서 그 유명한 ‘뉴턴의 사과’는 전 세계에 퍼지게 되었다.

** 대부분의 사람은 슈뢰딩거의 고양이는 의심할 여지 없이 죽는다고 생각한다. 하지만 상황은 그렇게 간단하지 않다. 상자를 열어보기 전까지 고양이는 죽거나 사는 상태이지, ‘죽음’에 이른 상태는 아니다. 이것은 바로 ‘삶과 죽음’의 중첩상태로 양자 세계의 특이한 기능이기도 하다. 이 실험으로 슈뢰딩거는 인류 최고의 지혜를 대표하는 과학자들을 조롱하기 시작했다. 고양이 몸에서 거시세계의 인과율은 무너져 내려 확률파만이 남게 되었다. 확률적으로 이 고양이는 죽어있기도 하고 살아있기도 한 것이다.

** 섀넌은 정보의 기본 개념에 대한 정의를 내놓은 후 정보학의 양대 법칙을 제시하였다. 섀넌의 제1법칙은 ‘정보의 코딩 법칙’으로 쉽게 말해 어떻게 수학으로 정보를 부호화하는지 알려주는 것이다. 섀넌의 두 번째 법칙인 ‘섀넌의 공식’은 하나의 정보에서 한계 정보를 묘사하고 있는데 전송률과 핵심 정보 능력을 나타내며 현대 통신의 핵심이 된다. 섀넌은 이처럼 정보 지식 체계의 틀을 만드는 데 지대한 공을 세웠다. 섀넌의 등장으로 새로운 시대에 거대한 풍랑과 같은 정보혁명이 일어났고 새로운 시대를 향한 청사진은 전대미문의 속도로 부상하고 있었다.

** 탄알이 내 머릿속을 관통하는 상황을 표현해 보면 이렇다. 일반적으로 총기의 탄알은 속도 300m/s 이상을 초과한다. 7.62mm의 구경, 51mm의 길이를 가진 NATO탄을 살펴보면, 두께 6㎜의 균질 강판을 100m 내에서 관통할 수 있다. 탄알이 머리를 관통하면 탄두의 특수 설계 때문에 무게중심이 치우쳐 빠르게 구르고 뇌의 조직구조를 앞으로 밀어 뇌의 신경조직을 끊임없이 늘어나게 한다. 그리고 한계에 다 다르면 결국 조직이 찢어진다. 게다가 탄알이 뇌 속을 통과하는 속도가

조직이 찢어지는 속도보다 빠르기 때문에 사람의 거대한 뉴런을 밀리초에서 마이크로초 만에 파괴할 수 있다. 결국 뇌의 뉴런이 통각 신호라는 마지막 비명을 제대로 전달하지 못한 채, 사람은 바로 목숨을 잃는다.

** 만델브로는 혼돈의 이면에 있는 법칙인 ‘프랙탈’을 찾아냈다. 프랙탈은 단순한 구조가 끊임없이 반복되면서 복잡한 전체 구조를 만드는 걸 말한다. 미국 유력지 《사이언스 Science》에 실린 만델브로의 논문은 ‘영국의 해안선은 도대체 얼마나 긴가?’라는 제목으로 프랙탈의 싹이 돋아났음을 알리며, 임의의 어떤 해안선은 무한히 길다는 것을 증명하였다.