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베스트셀러 《수학의 쓸모》 후속작

“미적분의 본질을 꿰뚫는 책”
_최영기, 서울대학교 수학교육과 교수, 《이런 수학은 처음이야》 저자

미적분은 어렵다. 사실이다. 미적분을 현장에서 직접 활용하는 공학자들도 미적분을 수학에서 가장 어려운 분야로 꼽는다. 전문 분야에서 쓰이는 미적분은 실제로도 그 계산이 너무 복잡해서 컴퓨터에 맡길 수밖에 없다. 하지만 사람들이 생각하는 것과 달리 미적분의 개념만큼은 보통 사람들도 충분히 이해할 수 있다. 미적분방정식을 풀거나 인공지능 프로그램을 만들지 못하더라도 미적분을 활용할 수 있다. 컴퓨터 전공자가 아니라도 컴퓨터를 사용하고, 스마트폰의 구조를 몰라도 스마트폰을 능숙하게 다루는 것과 같은 이치다.

이 책은 로켓 발사, 차량 속도 측정, 딥러닝, 단층촬영 등 첨단 과학기술 분야를 비롯해 경제예측, 기상예보와 같이 앞으로 일어날 미래를 예측하는 데 미적분이 어떻게 활용되는지 우리에게 익숙한 사례를 통해 보여준다. 학창 시절 배운 미적분 공식이 기억나지 않는 사람도 다양한 그림자료를 이용한 설명을 보면 미적분을 다시 보게 될 것이다.

미적분까지 알아야 할 필요가 있냐고 묻는 당신에게
과거를 적분하면 현재가 보이고
현재를 미분하면 미래가 보인다

세상에 변하지 않는 것은 없다. 행성의 위치나 속도뿐 아니라 사람도 변하고 세월도 변한다. 미적분은 이러한 세상의 변화를 설명하는 언어다. 미적분의 시각으로 보면 첨단 과학기술의 원리부터 자연현상, 사회 변화까지 선명하게 드러난다. 미분으로 세상의 순간적인 변화와 움직임을 포착하고 적분으로 작은 변화들이 누적되어 나타나는 상태를 이해할 수 있다.
예컨대 코로나 19 확진자 발생률을 미적분으로 파악할 수 있다.

일일 확진자는 합쳐지는 양이고 누적 확진자는 합쳐진 결과량이다. 일일 확진자를 모두 합치면 누적 확진자가 되고 누적 확진자의 변화율은 일일 확진자가 된다. 일일 확진자는 하루하루 변동이 심하지만 누적 확진자는 꾸준히 증가한다. 일일 확진자는 증가 속도를 나타내는 미분값에 해당하며, 누적 확진자는 일일 증가분을 적분한 값에 해당한다. 한국에서는 코로나19 일일 확진자 수가 갑자기 증가해 최댓값을 보이다가 2021년 3월 말에 들어서면 일일 확진자 수는 여전히 높은 편이지만 변화 기울기는 완만해진다. 물론 누적 확진자 수가 꾸준히 증가하는 것은 변함이 없다. _Ⅲ. 작은 움직임을 모으면 변화의 축이 보인다

적분한 값인 결과량을 통해 현재의 누적 확진자를 파악하고, 미분한 값인 변화량(기울기)를 통해 내일의 확진자 발생률을 예측할 수 있다. 새로운 변수가 등장하지 않는 한, 한 달 후의 확진자 발생률까지 예측할 수 있다. 기후 변화, 주식 시장, 아파트 가격의 추세도 마찬가지다. 다시 말해 과거를 적분하면 현재를 이해할 수 있고, 현재를 미분하면 미래를 예측할 수 있다. 미적분을 이해한다는 것은 변화를 읽는 일이다.

미적분으로 열린 새로운 시대, 미적분으로 예측하는 미래
변화를 읽는 힘을 길러주는 수학 교양서

인간이 미적분을 이해하지 않았더라면, 그 쓸모를 제대로 이용할 줄 몰랐다면 오늘날과 같은 시대는 상상하기 어려웠을 것이다. 이 책은 그러한 미적분을 이용해 미래를 읽고 움직인 사람들의 이야기를 담았다.

스페이스X의 로켓 추진체 재활용 사업은 그동안 많은 실패를 겪고 드디어 성공을 거두기 시작했다. (중략) 무엇보다도 마지막 순간에 로켓 추진체를 안전하게 착륙시키는 기술이 중요한데, 바로 하강속도 제어와 자세 제어 기술이다. 질소 분사 장치가 소량의 질소를 수평으로 분사하여 미세한 회전력을 만들어내면, 일종의 소형 날개인 그리드 핀이 각도를 조정해서 방향을 미세하게 조절한다. 모두 회전운동을 미분적으로 파악해야 가능한 일이다. _Ⅰ. 혁명의 시작, 순간 속도를 계산하라

인공신경망 모델은 기존의 미분방정식 모델과 달리 과학법칙이나 규칙이 아니라 현실 데이터에 기반한 모델이다. 하지만 인공신경망의 알고리즘은 손실함수를 최소화하는 과정에서 미분의 개념을 사용한다. 앞서 이야기한 뉴턴의 법칙 또는 질량보존의 법칙 등 물리법칙에 기반하여 수식화된 미분방정식을 이용하지만 않을 뿐, 인공신경망을 엄청난 양의 데이터로 학습시키는 데 미분의 개념은 필수불가분의 관계다. _Ⅱ. 인공지능이 빅데이터를 학습하는 방법

해일이 치는 장면이나 물이 튀어오르는 유동과 같이 서로 충돌하거나 물체 표면과 상호작용하는 불규칙한 운동을 정확하게 모사하기 위해서는 오일러 방법보다 흩어지는 입자들을 따라가면서 모사하는 라그랑주 방법이 더 적합하다. 디즈니 영화 〈겨울왕국〉에서는 이와 관련된 수학 모델을 이용해 생동감 있는 눈의 움직임을 표현했다. 주요하게 사용된 MPM 알고리즘은 입자를 개별적으로 보지 않고 연속체로 해석하는데, 눈이 녹은 정도에 따라 눈이 가지는 물성의 변화를 고려하기에 최적의 모델이다. _Ⅳ. 디즈니 영화가 전 세계를 사로잡는 법

또한 적분의 원리를 통해 인체에 칼을 대지 않고도 염증 및 암의 위치를 알 수 있게 되었고, 한 줄의 미분방정식을 통해 애니메이션 제작사 픽사는 전 세계를 사로잡았다. 이 밖에도 도로 설계, 데이터 압축 등을 통해 엿본 미적분의 쓸모는 무궁무진하다. 변화의 최전선에는 수학의 꽃 미적분이 있다.
오늘날 미적분의 쓸모는 고속연산이 가능한 컴퓨터를 만나 더욱 확장되고 있다. 훨씬 똑똑해질 인공지능부터 무인자동차, 게임, AI펀드 등 미적분이 우리에게 선사할 미래는 예측 불가능하다. 이렇게 급변하는 사회에서 미적분을 이해하는 것이야말로 새로운 교양이 아닐까.

이제는 미적분 수식을 풀 필요가 없다
미적분으로 사고하는 것이 중요하다

그동안의 미적분 교양서는 ‘미적분을 얼마나 쉽게 이해하고 풀 수 있는가’에 초점이 맞춰져 있었다. 《미적분의 쓸모》는 다르다. 이 책은 수학의 쓸모에 눈 뜬 사람들 그리고 여전히 ‘계산’이라는 말만 들어도 머리가 지끈지끈한 사람들도 쉽게 읽고 이해할 수 있는 미적분 활용법을 담았다. 무엇보다 도통 읽기조차 어려운 수식이 보이더라도 직접 풀 일이 없도록 했다. 반갑게 들릴지는 모르겠지만, 미적분 계산은 너무 복잡해서 컴퓨터에 맡길 수밖에 없는 것이 현실이다.

CT의 적분 원리를 알아보기 위해서 단순화된 신체 단면을 생각해보자. 신체를 4X4의 격자로 나누었을 때 뼈(2)와 장기(1)가 (그림과 같이) 분포되어 있다고 가정하고 광선을 신체의 네 방향으로 투과하면 네 장의 필름을 얻을 수 있다. 필름상에 나타난 영상을 사이노그램이라 한다. 사이노그램은 광선 방향으로 합산된 광량의 적분 결과를 보여준다. 여기서 네 장의 사이노그램에 나타난 적분 결과를 수학적으로 계산해서 신체 내부의 16개 격자값 f(x,y)를 알아낼 수 있다. 쉽게 얘기해서 16개의 방정식을 풀어 16개의 미지수를 계산하는 과정이라 생각하면 된다. _Ⅲ. 데이터의 홍수에서 살아남기

이외에도 인공지능이 빅데이터를 학습하는 방법인 경사하강법을 설명할 때는 산에서 내려오는 일에 빗댄다거나 미분의 기초 개념을 설명할 때는 과속방지카메라를 이용하는 등 일상 속 사례를 끌어와 최대한 이해하기 쉽게 설명한다. 또한 알아야 할 수식이 있다면 최대한 그래프와 다양한 그림자료를 통해 직관적으로 이해할 수 있도록 해놓았다.
이 책은 평생 미적분을 다뤄온 공학자가 썼다. 미적분 활용의 최전선에 있는 저자가 금융공학, 의료공학, 항공우주공학, 천체물리학 등의 최신 경향들과 함께 일상 속에서 보통 사람들도 미적분을 어떻게 활용할 수 있는지 보여준다. 전작 《수학의 쓸모》와 마찬가지로 수학적 사고가 얼마나 쓸모 있는지 보여주는 책이다. 그동안 쓸모는 알고 있었지만 제대로 미적분을, 나아가 수학을 사용해보고 싶은 사람에게 이 책을 추천한다. 세상의 변화를 읽는 눈을 가지게 될 것이다.

임홍재(국민대학교 총장, 자동차공학과 교수)
한화택 교수는 천재적이다. 본인의 전문 분야에서 뛰어난 업적을 보였을 뿐만 아니라 어려운 전공 지식도 기발할 정도로 재미있게 설명한다는 점에서 인기가 많다. 그런 저자가 풀어낸 미적분 책이라면 공학도뿐만 아니라 일반인도 유익할뿐더러 재미있게 읽을 수 있을 것이다.

최영기(서울대학교 수학교육과 교수)
이 책은 미적분의 본질적인 개념을 꿰뚫어보는 저자의 안목을 기반으로 쓰였다. 미적분은 자연현상 및 사회 변화를 이해하고 분석하는 데 중요한 개념으로 풍부하게 응용되고 있지만, 그 개념을 제대로 이해하기는 쉽지 않다. 이 책에 실린 흥미롭고 창의적인 예를 통한다면 미적분의 핵심 원리들을 깊게 체험할 수 있을 것이다.

고대원(《대치동 수학 공부의 비밀》 저자)
학생들을 지도하면서 가장 많이 듣는 질문은 “이렇게 배운 수학은 어디에 사용할 수 있나요?”다. 이에 대한 대답은 참 쉽지 않은데, 특히 나조차도 어려워하는 미적분을 가르칠 때 이런 질문을 들으면 곤혹스럽다. 그런데 바로 그러한 질문에 훌륭한 대답이 될 수 있는 책이 나왔다.《미적분의 쓸모》는 수학 공부가 어렵더라도 도전할 동기를 불러일으키리라 확신한다. 수학의 쓸모는 알수록 보인다.

들어가며
세상의 변화를 이해하고 미래를 예측하는 언어, 미적분·005

I. 혁명의 시작, 순간 속도를 계산하라: 가속도·011
세상에 움직이지 않는 것은 없다·015│세기의 발견과 가속도의 관계·017│물리학자인 뉴턴은 왜 미분을 고안했을까?·020│뉴턴의 가속도법칙으로 떠나는 우주선·031│도로의 무법자를 잡는 미분·034│뛰는 캥거루 운전자, 그 위를 나는 미분·038│통과 지점은 중요하지 않다, 새로운 가속도 측정법·040
[미적분이 만든 미래] 새로운 우주탐사 시대, 회전 가속도를 측정하라·044

II. 인공지능이 빅데이터를 학습하는 방법: 최적화·053
현실적인 타협점을 구하라·056│최적화를 어렵게 만드는 조건, 다변수·062│아마존과 인공지능의 연결고리, 최적화·065│현실을 반영한 모델, 인공신경망·069│인공지능을 학습시키는 최적의 방법, 경사하강법·074│학습, 과한 것은 부족한 것만 못하다·082
[미적분이 만든 미래] 인공지능이 발달할 수 있었던 또 다른 요인들·085

III. 작은 움직임을 모으면 변화의 축이 보인다: 기하학·089
원의 면적을 구하는 고대 수학·092│특명, 코로나 확진자 발생률을 파악하라·098│적분을 활용한 오늘날의 측정 방법들·104│적분이 이끈 의학 발전, CT 촬영·110
[쓸모 있는 미적분 개념] 세상은 곡선이다! 세상을 설계하는 곡선 기하학·117

IV. 디즈니 영화가 전 세계를 사로잡는 법: 나비에-스토크스 유동 방정식·127
자연현상을 설명하는 미분 방정식들·131│유체 변화를 가장 잘 표현한 방정식·137│해가 없는 방정식을 활용하라! 전산유체역학 ·141│유동 방정식을 활용한 수학자, 오스카상을 받다·144
[미적분이 만든 미래] 대용량 데이터 압축이 가능해진 비결, 푸리에 변환·149

V. 우리는 어떤 미래를 향해 나아가고 있는가?: 미적분의 예측하는 힘·157
한계효용, 가장 만족스러운 결과가 나오는 순간·159│어디에 재난지원금을 지급해야 효용을 극대화할 수 있을까?· 161│미래는 어떻게 움직이는가·164│변화가 큰 삶 vs 안정적인 삶·169 │내 미래자산은 언제 두 배가 될까? 근사계산법·175│단타 vs 장투, 미적분이 알려주는 안전한 투자 전략·180
[쓸모 있는 미적분 개념] 미적분으로 이해하는 경제학·191

뉴턴의 꿈은 천체의 움직임, 즉 우주라는 공간상에서 시간에 따른 천체의 위치 변화로 만유인력을 이해하는 것이었다. 뉴턴에게 남은 숙제는 이 가속도를 이해하고 수학적으로 기술하는 것이었다. 그리고 이 가속도를 수학적으로 정확히 표현하기 위해서 만든 개념이 바로 미분이다. 미분은 근대에 탄생한 움직임에 관한 수학이다. (중략) 분명한 것은 뉴턴이 자신의 꿈을 이루기 위해 고안한 이 수학 개념이 과학혁명을 이루는 데 일조하고, 300년을 넘어 최첨단 기술을 만나 다양한 방면에 쓰이고 있다는 사실이다. 대표적인 예가 로켓 엔진과 그것을 장착한 우주선이다. _Ⅰ. 혁명의 시작, 순간 속도를 계산하라

어떤 선택이 최적의 선택인지 수학 공식을 이용해 알아내는 것을 최적화라고 한다. 주로 제조, 물류, 교통, 마케팅 등 수학적으로 표현이 가능하고 최적의 해결책이 필요한 분야에서 가장 적합한 타협점을 찾는 데 사용한다. 실제로 LG CNS는 이러한 최적화를 전문으로 컨설팅해주는 팀이 따로 있기도 하다. 그리고 최적화 문제는 결국 함수의 극댓값 또는 극솟값을 구하는 문제로 귀결된다. _Ⅱ. 인공지능이 빅데이터를 학습하는 방법

오크통은 가운데가 불룩하여 포도주 양이 오크통의 깊이에 비례하지 않는다. 과거에는 포도주를 거래할 때 이러한 사실을 알고 있었다. 포도주 상인들은 꽉 차지 않은 오크통 안으로 긴 막대를 넣어 포도주가 묻어나는 높이를 측정해서 부피를 측정하곤 했다. 이때 부피를 재기 위해 매번 적분하는 수고를 하지 않으려면 막대자의 눈금을 미리 조절해놓아야 했다. 막대자가 위아래 끝 쪽보다 중간 부분의 눈금이 촘촘하게 매겨져 있게 한 것이다.
_Ⅲ. 작은 움직임을 모으면 변화의 축이 보인다

직선과 달리 곡선은 부드럽다고 생각한다. 하지만 곡선이라 해서 모두 부드러운 것은 아니다. 연속적이면서 자연스럽게 휘어져야 부드럽다고 할 수 있다. 수학적으로 곡선이 완벽하게 부드럽기 위해서는 함수값이 연속이고 미분 가능한 해석함수여야 가능하다. 연결되는 지점에서 함수값과 기울기는 물론 고차도함수가 연속적이어야 한다는 뜻이다. _Ⅲ. 작은 움직임을 모으면 변화의 축이 보인다

픽사의 성공 비결에는 장편 애니메이션을 제작할 비용을 투자해준 디즈니도 있었지만 스티브 잡스가 채용한 수학자와 전산 과학자들의 공이 컸다. 〈토이 스토리〉는 100퍼센트 컴퓨터 그래픽으로 만든 세계 최초의 극장용 장편 애니메이션이다. 개봉 당시 사람들은 액션이나 인물에서 전혀 이질감을 주지 않는 이 새로운 영상에 열광했다. 모두 픽사의 수학자와 전산 과학자들이 눈송이, 해일 같은 ‘움직이는’ 자연 현상을 자연스럽게 구현해내기 위해 고안한 3D 애니메이션 기법과 해상도 조절 기법 덕분이었다. 그리고 이 모든 제작 과정 뒤에는 하나의 미분 방정식이 있다. _Ⅳ. 디즈니 영화가 전 세계를 사로잡는 법

그렇다면 아직 이론 해조차 밝혀지지 않은 방정식은 어떻게 활용할 수 있을까? 바로 컴퓨터를 써서 방정식의 근사해를 구하면 된다. 컴퓨터가 발달하면서 더 이상 수학식에 의존하지 않고 수치를 써서 유체의 동적인 움직임을 해석하는 방법들이 개발되었다. 그중 N-S 방정식을 컴퓨터로 수치해석하는 것을 전산유체역학, CFD라 한다. CFD는 기상 예측이나 항공기 설계 등 다양한 실무 분야에서 널리 활용되고 있다. _Ⅳ. 디즈니 영화가 전 세계를 사로잡는 법

배가 고플 때 피자 한 조각을 먹으면 그렇게 맛있을 수가 없다. 이때 한계효용은 최고치가 된다. 그러나 피자를 한 조각씩 더 먹을 때마다 한계효용은 점점 떨어진다. 하지만 한계효용이 감소하더라도 총 효용은 계속 증가한다. 즉 총 효용은 한계효용을 적분한 것이고 총 효용을 미분한 것이 한계효용이다. 처음에는 총 효용이 급격히 증가하다가 한계효용이 감소하면서 총 효용의 증가율은 둔화된다. _Ⅴ. 우리는 어떤 미래를 향해 나아가고 있는가?

공급의 탄력성을 활용하여 설명할 수 있는 것 중에 하나가 서울 아파트 가격의 상승이다. 서울 아파트에 대한 수요가 항상 존재할 뿐만 아니라 오히려 증가하는 상황에서 서울 아파트에 대한 공급은 비탄력적이므로 아파트 가격이 계속 상승하는 것이다. 즉 서울 아파트는 토지의 한계 등으로 공급의 가격탄력성이 매우 비탄력적이므로 가격이 아무리 상승해도 공급량이 크게 늘어날 수 없다. 그러므로 수요가 늘어나면 가격에 곧바로 영향을 받는다. _Ⅶ. 다음 혁신이 일어날 곳은?