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자연의 도구인 수학은 전 세계 공통 언어를 사용하고, 그 언어는 매우 간결하며 명확하다. 세상을 이해하려면 숫자와 선분, 원과 삼각형, 각뿔과 육면체로 이루어진 수학의 언어를 이해하고 수학의 세계에 빠져들어야 한다.

자연의 도구인 수학은 전 세계 공통 언어를 사용하고, 그 언어는 매우 간결하며 명확하다. 세상을 이해하려면 숫자와 선분, 원과 삼각형, 각뿔과 육면체로 이루어진 수학의 언어를 이해하고 수학의 세계에 빠져들어야 한다.

우리는 수학으로 무엇을 어디까지 할 수 있을까?
《22가지 수학의 원칙으로 배우는 생각공작소》에서는 우리가 상상하는 그 이상의 수학을 만날 수 있다.
심리학, 철학, 미술, 음악, 인문학의 수학 활용부터 상대성원리, 중력 등의 물리, 천문학, 응용과학 그리고 유머코드로 소비되는 수학까지! 자연의 도구로 다양하게 사용되는 수학을 만나보자!
사고의 기술은 인간이 지닌 다양한 능력 가운데 핵심적 능력에 속한다. 위험이 언제 어디에서 어떻게 닥칠지 모르고 하루에도 수십 번씩 다양한 결정을 내려야 하기 때문이다. 우리 조상은 먼 옛날부터 정량적-분석적 사고와 수학적 사고를 통해 문제를 해결해왔고, 그런고로 수학의 역사는 고대까지 거슬러 올라간다.
수학이라는 학문이 정확히 언제 태동했는지는 알 수 없지만, 여러 분야에서 활용되었다는 것만큼은 분명한 사실이다. 선사시대부터 우리 조상은 토지를 측량하고 달력을 제작하며 상거래를 할 때, 나아가 다양한 현상들로 가득한 세계를 이해하는 데 수학을 활용해왔다. 이미 그때부터 수학적 사고가 새로운 깨달음을 얻는 데 없어서는 안 될 강력한 도구 역할을 해온 것이다.
인간의 눈과 귀로는 도저히 체험할 수 없는 영역인 소립자나 머나먼 우주도 수학 덕분에 들여다볼 수 있었다. 또한 수학은 영문학과 기상학, 심리학, 동물학 등 모든 학문 분야와 관련되어 있을 뿐 아니라 우리 생활의 바탕이기도 하다. 지금 우리가 알고 있는 핵심 기술들은 대부분 수학이 없었다면 개발되지 못했을 것이다. 그런 의미에서 수학은 중요한 기술을 개발하기 위한 디딤돌이라 할 수 있다. 컴퓨터를 이용한 단층촬영법이나 전자화폐, TV, 휴대폰과 같은 기술들도 수학을 기본으로 해서 구축되었고, 바퀴로 굴러가는 자동차, 하늘을 나는 비행기, 무너지지 않고 굳건히 버티는 교각, 한겨울을 따뜻하게 날 수 있게 해주는 보일러에도 수학이 숨어 있다.
자연의 세계에도 다양한 수학의 원리들이 담겨 있다. 벌집 모양이나 식물의 잎차례 등 동식물의 세계는 물론이고, 범위를 우주 속 시공간으로 넓히면 더욱 정교하고 광범위한 수학적 원리들을 무궁무진하게 발견할 수 있다.
정량적-분석적 사고는 현대인에게도 여러모로 유용하다. 어딜 가든 숫자와 함수, 통계, 나아가 다양한 수학적 구조들과 맞닥뜨리게 되어 있기 때문이다.
우리는 숫자를 이용해 어떤 결정의 근거를 추출하고, 함수를 이용해 상황의 변동을 설명하며, 통계를 이용해 어떤 주장의 정당성을 입증한다. 숫자와 함수, 다양한 수학적 구조들을 이용하면 세상을 일목요연하게 정리할 수도 있고 뒤죽박죽 뒤섞을 수도 있으며, 현상을 조작하여 세상을 기만할 수도 있다. 세상 속 비밀을 풀 수도 있고, 그 비밀을 둘러싼 베일을 완전히 벗겨낼 수도 있다. 그런가 하면 부족한 수학 실력 때문에 혼란에 빠질 수도 있고 주변 사람들을 혼란에 빠뜨릴 수도 있다!
수학적 사고 능력이 뛰어난 이들은 서투른 숫자 조작이나 확률적 환상 따위에 빠져들지 않는다. 반대로 그런 능력이 없는 이들은 단순한 함정에도 쉽게 빠져든다.
사실 문제 해결의 과정에서 문제 상황이 발생하는 것은 문제의 본질 때문이다. 문제를 해결하려면 아이디어를 짜내어 한 단계씩 난관을 극복해 나가야 하는데, 앞서도 말했지만 그 아이디어라는 게 필요할 때 구세주처럼 나타나주면 얼마나 좋으련만 실상은 그렇지 못하다. 사고력을 훈련해야 하는 이유가 바로 여기에 있다! 생각의 도구들을 이용해서 사고 능력을 향상시키면 언젠가 필요한 순간에 저도 모르게 아이디어가 떠오를 수 있기 때문이다. 이 책의 목표도 바로 그것이다. 체계적인 훈련을 통해 필요한 아이디어를 필요할 때 활용하자는 것이다.
수학은 또 창의력을 발휘하기에 더없이 좋은 무대이기도 하다. 심오하면서도 신비롭고, 때로는 역설적이기도 하기 때문이다. 수학이라는 창을 통하면 많은 것에 대해 깊이 생각할 수 있고, 수학이라는 생각의 도구를 이용하여 수많은 것을 발견할 수도 있다. 그리고 그 안에는 아직 해결되지 않은 문제들, 누군가가 해결해주기만을 기다리는 문제들이 무궁무진하게 담겨 있다. 어쩌면 우리가 그 문제를 해결할 수 있을는지도 모를 일이다.
사모아 섬 원주민들의 전쟁을 멈추게 만들 정도로 매력적인 수학의 생각 공작소에 이제 모두 빠져볼 시간이다!

작가의 말 중에서
우리는 누구나 적절한 아이디어를 통해 문제를 해결했을 때 커다란 기쁨을 맛본다. 문제를 해결한 순간에 느끼는 환희는 산악인이 세계 최고봉에 올랐을 때의 환희에 버금간다. 그 환희의 원천은 우리의 머릿속이다. 좀 더 정확히 말하자면 대뇌 피질이다. 깨달음의 순간, 축포와 불꽃이 우리의 대뇌 피질을 화려하게 수놓는다.
수학은 인간의 사고력을 가장 순수한 형태로 활용하는 학문이다. 그런 의미에서 수학을 이데올로기라 할 수 있다. ‘생각 ’에 관한 ‘학문’이라는 의미에서 말이다.
그간 수학 분야에서 퍼 올린 쾌거는 오늘날 생활 속 거의 모든 분야에 널리 활용되고 있다. 그렇다고 수학을 오직 실용성만 추구하는 학문이라 말할 수는 없다. 수학은 학문 그 자체로도 매우 흥미진진하고 아름답기 때문이다. 물론 실용성을 빼고 수학을 논할 수는 없다. 지금 우리가 누리고 있는 문명의 이기 중 수학과 무관하게 발명된 것들은 하나도 없다고 해도 과언이 아니다. 우리를 둘러싼 우주를 이해하는 데 수학은 필수불가결하다. 수학 없이는 지구의 앞날과 운명을 점칠 수도 없다. 정리하자면, 수학은 실용적일 뿐 아니라 숨 막힐 듯 아름답기까지 한 학문이라 할 수 있다!
나는 이 책을 통해 두 가지 소망을 실천에 옮기고 싶었다. 첫째, 더 똑똑해지기 위한 모험에 독자들을 참여시키고 싶었다. 둘째, 문제 해결 과정에서 제시되는 아이디어들이 얼마나 아름다운지 독자들이 직접 느낄 수 있게 해주고 싶었다. 수학에 얽힌 다양한 이야깃거리, 생각거리, 고민거리들을 포함한 것도 독자들에게 직접 느끼고 체험할 기회를 주기 위해서였다. 하지만 수학과 우리네 인생을 조금 복잡한 방식으로 끌어다 붙여놓은 점은 인정한다. 조금 어렵더라도 인내심을 잃지 않고 끝까지 집중해 지적 호기심을 충족시키고 때로는 지적 허영심도 맛보기를, 나아가 이 책을 통해 얻은 지식으로 어디 가서 잘난 체도 해보기를 진심으로 바란다. 수학과는 담을 쌓고 사는 사람 중에도 잘난 체하는 이들이 많은데 수학을 좋아하고 사랑하는 우리라고 그러지 말란 법은 없지 않은가!
인정하건대 수학이 재미있고 아름답다는 생각은 매우 주관적이다. 열정, 취미, 취향, 기호가 수학이라는 학문을 향한 것이 아니라면 열광하기 어려운 것도 사실이다. 이 책에서 소개하는 수학에 관한 의견들도 물론 필자의 지극히 주관적인 견해들에 불과하다. 많은 이가 생각하듯 수학은 시시한 농담이나 허튼수작 따위를 절대 허용하지 않는 딱딱한 학문이다. 그럼에도 그 안에는 사유와 열정과 고귀한 진리가 담겨 있다. 수학은 공식만 달달 외우는 학문이 아니다. 공식을 통해 사유하는 학문이 바로 수학이다.
수학이 ‘이야기의 학문’이라 주장하는 이들도 있다. 질문 속에 여러 가지 흥미로운 이야기가 담겨 있고, 그 질문을 해결하는 과정은 세련되면서도 정교하며, 증명 과정은 마술과도 같고, 거기에서 비롯된 결론은 생활 속 다양한 영역에 영향을 미친다는 점을 감안할 때 결코 억지 주장은 아니다. 이 책에도 사고력과 아이디어를 자극하는 이야기와 재미있는 일화들이 다수 수록되어 있다. 그러니 독자들은 수학에 관한 두려움일랑 떨쳐내고 상쾌한 마음으로 책장을 넘겨 나가기 바란다.

우리는 수학으로 무엇을 어디까지 할 수 있을까?
《22가지 수학의 원칙으로 배우는 생각공작소》에서는 우리가 상상하는 그 이상의 수학을 만날 수 있다.
심리학, 철학, 미술, 음악, 인문학의 수학 활용부터 상대성원리, 중력 등의 물리, 천문학, 응용과학 그리고 유머코드로 소비되는 수학까지! 자연의 도구로 다양하게 사용되는 수학을 만나보자!
사고의 기술은 인간이 지닌 다양한 능력 가운데 핵심적 능력에 속한다. 위험이 언제 어디에서 어떻게 닥칠지 모르고 하루에도 수십 번씩 다양한 결정을 내려야 하기 때문이다. 우리 조상은 먼 옛날부터 정량적-분석적 사고와 수학적 사고를 통해 문제를 해결해왔고, 그런고로 수학의 역사는 고대까지 거슬러 올라간다.
수학이라는 학문이 정확히 언제 태동했는지는 알 수 없지만, 여러 분야에서 활용되었다는 것만큼은 분명한 사실이다. 선사시대부터 우리 조상은 토지를 측량하고 달력을 제작하며 상거래를 할 때, 나아가 다양한 현상들로 가득한 세계를 이해하는 데 수학을 활용해왔다. 이미 그때부터 수학적 사고가 새로운 깨달음을 얻는 데 없어서는 안 될 강력한 도구 역할을 해온 것이다.
인간의 눈과 귀로는 도저히 체험할 수 없는 영역인 소립자나 머나먼 우주도 수학 덕분에 들여다볼 수 있었다. 또한 수학은 영문학과 기상학, 심리학, 동물학 등 모든 학문 분야와 관련되어 있을 뿐 아니라 우리 생활의 바탕이기도 하다. 지금 우리가 알고 있는 핵심 기술들은 대부분 수학이 없었다면 개발되지 못했을 것이다. 그런 의미에서 수학은 중요한 기술을 개발하기 위한 디딤돌이라 할 수 있다. 컴퓨터를 이용한 단층촬영법이나 전자화폐, TV, 휴대폰과 같은 기술들도 수학을 기본으로 해서 구축되었고, 바퀴로 굴러가는 자동차, 하늘을 나는 비행기, 무너지지 않고 굳건히 버티는 교각, 한겨울을 따뜻하게 날 수 있게 해주는 보일러에도 수학이 숨어 있다.
자연의 세계에도 다양한 수학의 원리들이 담겨 있다. 벌집 모양이나 식물의 잎차례 등 동식물의 세계는 물론이고, 범위를 우주 속 시공간으로 넓히면 더욱 정교하고 광범위한 수학적 원리들을 무궁무진하게 발견할 수 있다.
정량적-분석적 사고는 현대인에게도 여러모로 유용하다. 어딜 가든 숫자와 함수, 통계, 나아가 다양한 수학적 구조들과 맞닥뜨리게 되어 있기 때문이다.
우리는 숫자를 이용해 어떤 결정의 근거를 추출하고, 함수를 이용해 상황의 변동을 설명하며, 통계를 이용해 어떤 주장의 정당성을 입증한다. 숫자와 함수, 다양한 수학적 구조들을 이용하면 세상을 일목요연하게 정리할 수도 있고 뒤죽박죽 뒤섞을 수도 있으며, 현상을 조작하여 세상을 기만할 수도 있다. 세상 속 비밀을 풀 수도 있고, 그 비밀을 둘러싼 베일을 완전히 벗겨낼 수도 있다. 그런가 하면 부족한 수학 실력 때문에 혼란에 빠질 수도 있고 주변 사람들을 혼란에 빠뜨릴 수도 있다!
수학적 사고 능력이 뛰어난 이들은 서투른 숫자 조작이나 확률적 환상 따위에 빠져들지 않는다. 반대로 그런 능력이 없는 이들은 단순한 함정에도 쉽게 빠져든다.
사실 문제 해결의 과정에서 문제 상황이 발생하는 것은 문제의 본질 때문이다. 문제를 해결하려면 아이디어를 짜내어 한 단계씩 난관을 극복해 나가야 하는데, 앞서도 말했지만 그 아이디어라는 게 필요할 때 구세주처럼 나타나주면 얼마나 좋으련만 실상은 그렇지 못하다. 사고력을 훈련해야 하는 이유가 바로 여기에 있다! 생각의 도구들을 이용해서 사고 능력을 향상시키면 언젠가 필요한 순간에 저도 모르게 아이디어가 떠오를 수 있기 때문이다. 이 책의 목표도 바로 그것이다. 체계적인 훈련을 통해 필요한 아이디어를 필요할 때 활용하자는 것이다.
수학은 또 창의력을 발휘하기에 더없이 좋은 무대이기도 하다. 심오하면서도 신비롭고, 때로는 역설적이기도 하기 때문이다. 수학이라는 창을 통하면 많은 것에 대해 깊이 생각할 수 있고, 수학이라는 생각의 도구를 이용하여 수많은 것을 발견할 수도 있다. 그리고 그 안에는 아직 해결되지
않은 문제들, 누군가가 해결해주기만을 기다리는 문제들이 무궁무진하게 담겨 있다. 어쩌면 우리가 그 문제를 해결할 수 있을는지도 모를 일이다.
사모아 섬 원주민들의 전쟁을 멈추게 만들 정도로 매력적인 수학의 생각 공작소에 이제 모두 빠져볼 시간이다!

들어가는 말 4
추천사 5

-1. 들어가는 말 10
0. 서문 11

Ⅰ. 진짜 서문 17

이제 시작
문제, 정의 그리고 증명
진짜 서문 18

Ⅱ. 생각의 도구 49

1. 유추의 원칙 50
모든 생각의 도구의 어머니
2. 푸비니의 원칙 74
수 그리고 계수: 헛둘! 헛둘! 헛둘 셋 넷!
3. 홀짝성의 원칙 99
홀이냐 짝이냐, 그것이 문제로다!
4. 디리클레의 원칙 119
의자 빼앗기 놀이의 원칙
5. 포함-배제의 원칙 128
사랑한다, 사랑하지 않는다…
6. 반대의 원칙(귀류법) 159
반대되는 것들이여, 영원하라!
7. 귀납의 원칙 174
귀납 중에서는 모름지기 ‘완전 귀납’이 최고!
8. 일반화의 원칙 195
일반화를 통해 쉬운 길을 찾다!
9. 특수화의 원칙 210
특수한 경우에 괜찮은 것이라면 모든 경우에도 괜찮은 것!
10. 변화의 원칙 239
즐겨라, 그리고 바꾸어라!
11. 불변의 원칙 254
변하지 않는 것들을 찾아서…
12. 일변성의 원칙 272
일변성의 마법과 그 위력
13. 무한강하의 원칙 285
깊이, 더 깊이…
14. 대칭의 원칙 315
아무것도 하지 않고 무언가를 할 수만 있다면…
15. 최대-최소의 원칙 328
생각의 도구, 삶의 도구
16. 재귀의 원칙 340
자기가 쓴 책을 읽고 있는 K씨는 저자일까, 독자일까?
17. 단계적 접근의 원칙 359
한 발짝 한 발짝, 목표 지점을 향하여!
18. 염색의 원칙 379
알쏭달쏭-알록달록한 색채학의 세계
19. 무작위의 원칙 403
우연 속에 담긴 기회를 이용하는 예술
20. 관점 바꾸기의 원칙 433
뒤돌아보기를 통한 들여다보기
21. 모듈화의 원칙 447
분할하여 통치하라!
22. 무차별 대입의 원칙 454
‘희망 고문’? 고군분투의 원칙!

Ⅲ. 결론 485

끝 부분에 위치한 서문

미주 486
그림 출처 486
참고 문헌 487
저자 소개 488
찾아보기 489

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Ⅰ. 진짜 서문 17

이제 시작
문제, 정의 그리고 증명
진짜 서문 18

Ⅱ. 생각의 도구 49

1. 유추의 원칙 50
모든 생각의 도구의 어머니
2. 푸비니의 원칙 74
수 그리고 계수: 헛둘! 헛둘! 헛둘 셋 넷!
3. 홀짝성의 원칙 99
홀이냐 짝이냐, 그것이 문제로다!
4. 디리클레의 원칙 119
의자 빼앗기 놀이의 원칙
5. 포함-배제의 원칙 128
사랑한다, 사랑하지 않는다…
6. 반대의 원칙(귀류법) 159
반대되는 것들이여, 영원하라!
7. 귀납의 원칙 174
귀납 중에서는 모름지기 ‘완전 귀납’이 최고!
8. 일반화의 원칙 195
일반화를 통해 쉬운 길을 찾다!
9. 특수화의 원칙 210
특수한 경우에 괜찮은 것이라면 모든 경우에도 괜찮은 것!
10. 변화의 원칙 239
즐겨라, 그리고 바꾸어라!
11. 불변의 원칙 254
변하지 않는 것들을 찾아서…

12. 일변성의 원칙 272
일변성의 마법과 그 위력
13. 무한강하의 원칙 285
깊이, 더 깊이…
14. 대칭의 원칙 315
아무것도 하지 않고 무언가를 할 수만 있다면…
15. 최대-최소의 원칙 328
생각의 도구, 삶의 도구
16. 재귀의 원칙 340
자기가 쓴 책을 읽고 있는 K씨는 저자일까, 독자일까?
17. 단계적 접근의 원칙 359
한 발짝 한 발짝, 목표 지점을 향하여!
18. 염색의 원칙 379
알쏭달쏭-알록달록한 색채학의 세계
19. 무작위의 원칙 403
우연 속에 담긴 기회를 이용하는 예술
20. 관점 바꾸기의 원칙 433
뒤돌아보기를 통한 들여다보기
21. 모듈화의 원칙 447
분할하여 통치하라!
22. 무차별 대입의 원칙 454
‘희망 고문’? 고군분투의 원칙!

Ⅲ. 결론 485

끝 부분에 위치한 서문

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그림 출처 486
참고 문헌 487
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