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일과 삶의 확실한 답이 되어줄 수학 지식

수학은 우리 일상생활에 얼마나 깊이 파고들어 있을까? 매일 아침 일기예보에서 “오늘 비가 올 확률은….”이라는 말을 듣고, 프로야구 팬이라면 ‘타율 3할’이라는 말을 흔히 사용할 것이다. 거리와 속도를 계산할 때도 수학 공식이 쓰이고 미적분으로 토지를 측량하고 기차를 만들며 비행기를 안전하게 띄운다. 하지만 막상 수학을 공부하려고 하면 외계어 같은 용어나 기호에 골치가 아프고 금세 책을 덮어버리고 만다. 수학 교과서나 문제집에는 추상적인 내용이 가득하지만 사실 이는 음악에 비유해보면 어떤 아름다운 곡이라도 악보에는 온통 음표만 가득한 것과 같다.
《일상의 무기가 되는 수학 초능력》 시리즈는 ICT 시대를 맞아 더욱 중요해진 수학적 사고 능력을 강화하기 위해 꼭 필요한 수학의 기본 지식을 담은 책으로 <수학의 정리 편>은 ‘피타고라스의 정리’, ‘사인 · 코사인법칙’ 등 학교에서 배웠던 중요한 ‘정리’들의 기본 개념을 확실히 이해하고 이들이 일상생활에서 어떻게 활용되는지 알아볼 수 있다.

휴대전화 기지국을 4색 정리로 관리한다고?
사인법칙으로 지구에서 달까지의 거리를 계산한다?
축구공이 ‘구’가 아니라 ‘다면체’라니?
피타고라스의 정리부터 피보나치수열까지 집합만 풀다
‘수포자’가 된 당신을 위한 친절한 수학 입문서

바야흐로 수학의 시대다. 경제협력개발기구 OECD 산하 교육연구혁신센터 CER에서는 수학뿐만 아니라 다양한 과목에 대한 연구를 수행 중이며, 일본에서는 2000년부터 국제학업성취도평가인 ‘PISA’가 시행되면서 수학에 더욱 주목하게 되었다. OECD 회원국 만 15세(의무교육이 종료되는 시점) 학생이며, 읽기(독해력), 수학, 과학 능력을 평가하는데 단순 암기로는 풀 수 없는 문제가 출제되며 사회나 실생활과 연관된 문제, 수학이지만 서술로 답해야 하는 문제도 있다. 더 이상 단순 계산으로 답을 구하는 것이 아니라 풀이 과정을 이해하고 왜 그런 답이 나왔는지 서로 토론하는 방식이 요구되고 있는 상황이다. 이렇게 배우다 보면 논리적으로 사고하는 법을 익히게 되고 문제 해결 능력도 높아진다.
이 시대를 살아가는 데 중요한 힘 중 하나가 눈앞에 놓인 문제를 해결하는 능력이다. 중학교 수학 시간에 ‘정리’를 배운다. 피타고라스의 정리, 페르마의 마지막 정리, 사인법칙 등을 확인하고 증명하는 것을 했을 것이다. 이 책은 바로 그 ‘수학의 정리’에 대해 이야기한다. 전 세계에서 수학이, 특히 정리 등을 활용한 증명이 각광받고 있는 상황에서 수학을 취미로 즐기는 일부에게만이 아니라 수학을 좀 더 가깝게 느끼며 논리적이고 수학적인 사고방식을 일상에 적용할 수 있도록 도움을 줄 것이다.

들어가며

제1장 정리와 추측의 기본을 알자
수학의 정리란 무엇일까? | 피타고라스의 정리 VS 페르마의 마지막 정리 | 정리의 끝판왕, 피타고라스의 정리 | 일상의 무기가 되는 수학의 정리
column 1 숫자가 2배씩 증가하면 무서워진다
재미있는 수학자 이야기 ① 유클리드

제2장 대표적인 수학의 정리를 알아보자
삼각함수, 어렵지 않아요 | 사인법칙이란 무엇이며 어떻게 활용할까? | 두 지점 간의 거리를 측정할 때, 코사인법칙 | 기하학의 기초를 세운 탈레스가 증명한 탈레스의 정리
column 2 정리의 기초가 된 피타고라스의 정리
재미있는 수학자 이야기 ② 카를 프리드리히 가우스

제3장 일상생활에서 만나는 다양한 수학의 정리
알아두면 실용적인 4색정리 | 정다면체로 4색정리를 생각해보자 | 축구공은 구가 아닌 다면체였다? | 정다면체 성질과 오일러의 다면체 정리 | 벌집이 육각형인 데는 이유가 있다 | 스카이트리에서는 어디까지 볼 수 있을까?
column 3 아름다운 수학의 여왕, 정수
재미있는 수학자 이야기 ③ 플라톤

제4장 학교에서 배운 수학의 정리
피타고라스의 정리 | 체바의 정리 | 메넬라우스의 정리 | 톨레미의 정리 | 히포크라테스의 정리 | 접선과 현이 이루는 각 | 방멱의 정리 | 중점연결정리 | 삼각형의 중심정리 응용 | 심슨의 정리
column 4 부호는 언제 탄생했을까?
재미있는 수학자 이야기 ④ 레온하르트 오일러

제5장 알아두면 쓸모 있는 수학의 정리
이항정리의 기본을 이해하자 | 토끼 문제와 피보나치수열 | 황금비율은 무엇을 의미할까? |나머지정리와 인수정리 | 소수의 법칙과 디리클레의 소수정리 | 삼각형의 오심을 이해하자 | 미적분학의 기본정리 | 아르키메데스는 실진법으로 원주율을 계산했다 | 픽의 정리의 기본을 이해하자 | 아벨의 정리의 기본을 이해하자 | 카발리에리의 원리란 무엇일까? | 뫼비우스의 띠는 어떤 띠일까?
column 5 델로스의 문제란 무엇일까?
재미있는 수학자 이야기 ⑤ 레오나르도 피보나치

제6장 수학의 정리를 활용해 문제를 풀어보자
피타고라스의 정리로 문제를 풀어보자 ① | 피타고라스의 정리로 문제를 풀어보자 ② | 다면체 정리로 문제를 풀어보자 | 원주각의 정리로 문제를 풀어보자 | 독립시행의 정리로 확률 문제를 풀어보자 ① | 독립시행의 정리로 확률 문제를 풀어보자 ②
column 6 불가사의한 세헤라자데의 수
재미있는 수학자 이야기 ⑥ 아르키메데스

제7장 수학이 재미있어지는 수학퍼즐7
도둑맞은 새는 몇 마리일까? | 친구의 집까지 평균 시속은 얼마일까? | 디오판토스는 몇 세까지 살았을까? | 21마리의 양은 몇 주 동안 풀을 먹을 수 있을까? | 17마리의 당나귀를 삼남매가 나눈다면? | 주어진 조건으로 가짜 금화 찾기 | 당신은 이 트릭을 깰 수 있을까?
column 7 수학자의 최고봉이라 불리는 필즈상
재미있는 수학자 이야기 ⑦ 아이작 뉴턴

Xn＋Yn=Zn(n?3)

n이 3 이상의 자연수일 때, 이 식을 만족하는 자연수 X, Y, Z는 존재하지 않는다. 이 식을 ‘페르마의 마지막 정리’라고 합니다. 식만 보면 피타고라스의 정리와 거의 비슷해 보입니다. 하지만 내용 면에서는 큰 차이점이 있습니다. 수학 문제는 문제의 의미를 이해하기 위해 고도의 지식을 필요로 하지만 페르마의 추측은 전문 지식이 없어도 문제의 의미를 이해할 수 있어 오히려 쉬운 편입니다. 페르마는 n=4인 경우를 증명했지만 모든 n값에 대한 증명은 발표하지 않았습니다. 이에 대해 페르마는 수학책 귀퉁이에 “나는 이 정리의 경이로운 증명 과정을 발견하였으나, 설명하기엔 책의 여백이 충분하지 않다.”라는 글을 남겼습니다.
-p.16(제1장 정리와 추측의 기본을 알자)

정리 중에서 비교적 친숙한 피타고라스의 정리는 거리를 계산할 때 자주 사용합니다. 좀 더 전문 분야를 예로 들면 우주로 인공위성을 쏘아 올리는 속도를 계산할 때도 사용합니다. 이 경우 지구 표면에서 수평 방향으로 쏘아 올린 위성이 추락하거나 떨어지지 않고 지구를 벗어나 궤도에 진입할 수 있는 속도를 계산합니다. 시속 몇 킬로미터로 비행해야 가능한지 피타고라스의 정리로 구할 수 있습니다. 토지를 측량할 때는 사인법칙을, 두 지점 간 거리를 잴 때 장애물이 있다면 코사인법칙을 사용해 계측합니다. A, B 두 지점의 거리 값을 구하고 싶은데 그 사이에 건물이나 산, 강 등의 장애물이 존재한다면 거리를 직접 측량할 수 없습니다. 그럴 때는 장애물이 없는 C 지점을 선택해 삼각형을 만들고, 코사인법칙을 활용해 거리를 측량합니다.
-p.20(제1장 정리와 추측의 기본을 알자)

4색정리는 1852년 영국의 수학자 프란시스 구드리가 ‘어떠한 지도라도 4색을 써서 칠하여 구분할 수 있다는 것을 증명하라’는 문제를 제기한 데서 시작되었습니다. 이 문제에 수많은 수학자와 수학 애호가 들이 몰두했습니다. 당시에는 쉽게 증명할 수 있다고 생각했지만 결과적으로 증명에 성공한 사람은 케네스 아펠과 볼프강 하켄이며 시기는 1976년이었습니다. 지도를 색으로 구분하는 데 외에는 실용성이 없다고 생각하기 쉬운 4색정리는 현재 휴대전화 기지국 배치 등에 응용되고 있습니다. 휴대전화 시스템은 주파수에 의해 전파가 혼선되기 때문에 인접한 영역 안에 동일한 주파수의 기지국을 설치하지 못하도록 영역을 구분하고 있습니다.
-p.38(제3장 일상생활에서 만나는 다양한 수학의 정리)