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양자역학에 통계역학을 결합한 새로운 접근방법,
국내 최초로 소개되는 큐비즘으로 양자역학의 수수께끼를 풀다!
미국출판협회 2017 대중과학/대중수학 부문 수상작!
20세기 들어서면서 등장한 새로운 물리학 체계인 양자역학은 뉴턴역학이라고 하는 고전역학의 한계를 극복한 이론으로 플랑크, 아인슈타인, 보어, 하이젠베르크, 디랙, 슈뢰딩거 등 천재적인 물리학자들을 거쳐 과학사상 가장 드라마틱하게 완성되었다. 하지만 양자역학은 예측의 정확성과 더불어 과학기술에 적용하기 용이한 최고의 과학 이론이라 평가받는 한편, 그 속에 숨겨진 깊은 의미에 대해서는 전문가들 사이에 100여 년이 지난 지금까지도 논란의 대상이 되고 있다.
『양자역학의 미래 큐비즘이 슈뢰딩거의 고양이를 구하다』에서는 이러한 양자역학에 대해 전반적으로 소개한 뒤 양자역학에서 아주 중요한 개념인 확률에 대해 이야기한다. 그리고 양자역학의 새로운 해석방법인 큐비즘의 의미와 큐비스트의 세계관에 대한 분석을 통해 양자역학에 대한 네 가지 해석을 소개한다. 양자 베이지어니즘의 약자인 큐비즘은 확률에 대한 새로운 이해를 바탕으로 양자역학의 전통적인 특징을 해석하고, 외부 세계의 영토에 대한 우리 경험을 합리적으로 예측할 단서를 제공한다. 베이지어니즘의 장점은 단일 사건에 적용할 수 있고, 그 확률 측정을 새로운 정보의 취득에 근거해서 업데이트할 수 있으며, 빈도확률의 결과를 쉽게 수용할 수 있다는 것이다. 저자는 하나의 원자가 동시에 두 가지 상태에 있을 수 있고, 신호가 빛의 속도보다 더 빠르게 이동할 수 있으며, 슈뢰딩거의 고양이가 동시에 죽어 있거나 살아 있다는 것 등 양자이론과 관련된 중요한 문제들을 큐비즘이라는 새로운 시각에서 풀어낸다. 우리가 살아갈 4차 산업혁명 시대에 엄청난 영향을 줄 큐비즘이 무엇인지에 대해 어려운 방정식을 동원하지 않고도 이해하기 쉽게 알려준다.
낯설고 어렵게만 느껴지는 양자역학도 쉽지 않은데 양자역학을 설명하는 확률과 통계 이론을 이용하는 큐비즘을 왜 알아야 하는 걸까? 지금은 정보화 시대, 더 나아가 4차 산업혁명의 시대다. 빅데이터가 이끄는 4차 산업혁명 시대에는 확률과 통계 이론을 활용하는 큐비즘적 세계관이 중요하게 대두될 것이고 경제, 기업, 산업 등 전 분야에서 앞으로 큐비즘이 중요한 역할을 하게 될 것이다. 무엇보다 양자역학에 통계역학(베이지어니즘)을 결합한 큐비즘이라는 신개척 분야는 2000년대 이후 시도된 새로운 접근방법으로, 국내에 최초로 소개되는 의미 있는 책이다. 그런 점에서 이 책은 양자역학의 의미를 알고 거기서 파생된 확률 이론을 설명하는 획기적인 방법으로, 큐비즘을 이용해 4차 산업혁명에 대비할 수 있는 길잡이가 되어 줄 것이다.

골칫거리 확률도, 스티븐 호킹을 화나게 한 슈뢰딩거의 고양이도 큐비즘이 해결해줄 거라고?

세계적인 물리학자 스티븐 호킹은 한 강의에서 “누군가에게서 슈뢰딩거의 고양이 이야기를 들었을 때 손을 뻗어 총을 잡고 싶었습니다”라고 말했다. 노벨물리학상을 수상한 리처드 파이만도 “닥치고 계산이나 하세요”라는 말을 남겼다. 우리는 양자역학으로 뉴턴역학이라고 하는 고전역학의 한계를 극복했다. 양자역학은 천재적인 물리학자들이 과학사상 가장 드라마틱하게 완성했지만 너무 어렵고 물체의 운동을 확률로 설명한다는 모호함 때문에 부정적으로 생각하는 과학자들도 많았다. 사실 양자역학이라는 말조차 일반인에게는 어렵고 비전공자가 재미있게 접하기에는 너무 멀게 느껴진다. 『양자역학의 미래 큐비즘이 슈뢰딩거의 고양이를 구하다』에서는 먼저 과학에서 성공적인 이론의 하나이자 가장 오해받는 이론인 양자역학의 과거, 현재, 미래를 담았다. 과학기술이 적용되는 범위 안에서 예측의 정확성으로 측정된 양자역학을 일반 독자들을 위해 비교적 이해하기 쉽게 풀었다. 양자이론의 역설과 퍼즐에 대한 설명은 물론 우리가 사는 세상을 이해하고 상호작용하는 방식에서 양자역학이 미친 엄청난 영향을 밝히는 전혀 새로운 해석을 제공한다. 그리고 복잡한 방정식이나 수식을 동원하지 않고 직설적인 언어로 일반 물리학에 대한 새로운 접근 방식을 제시하는 수준에서 양자역학의 미래를 명확히 설명한다.
또한 비전공자들을 위해 인간이 세상과 상호작용하는 방법에 대한 새로운 시각을 제공한다. 바로 큐비즘이다. ‘양자 베이지어니즘’의 약자인 큐비즘은 확률에 대한 새로운 이해를 바탕으로 양자역학의 전통적인 특징을 해석해준다. 일반적인 ‘빈도확률’과 달리 베이지언 확률은 미래의 사건이 일어나거나 특정한 명제가 진실이라는 관측자의 신뢰도를 수치적으로 측정하는 것으로 정의된다. 베이지어니즘의 장점은 단일 사건에 적용할 수 있고, 그 확률 측정을 새로운 정보의 취득에 근거해서 업데이트할 수 있으며, 빈도확률의 결과를 쉽게 수용할 수 있다는 것이다. 저자는 양자역학에서 가장 중요한 논란거리인 여러 가지 기묘함 즉, 하나의 원자가 동시에 두 가지 상태에 있을 수 있고, 신호가 빛의 속도보다 더 빠르게 이동할 수 있고, 슈뢰딩거의 고양이가 동시에 죽어 있거나 살아 있다는 것 등을 큐비즘의 시각에서 이해하기 쉽게 풀어낸다.
큐비즘은 문제를 쉽고 우아하게 풀어주고 방법을 제시하며 외부 세계의 영토에 대한 우리 경험을 우리가 다음 코너 주변에서 찾을 때 합리적으로 예측할 수 있다는 단서를 제공해준다. 포괄적이고 일관된 세계관의 발전은 엄청나게 중요한 일이고 그 여정은 길고 어렵지만 큐비즘은 우리에게 그곳으로 가는 쉬운 방법을 보여준다. 또한 큐비즘은 중요하고 강력하며 영구적인 철학적 결과를 수반하지만, 실험과 이론을 비교할 수 있게 하는 양자역학의 실제 기술적 내용에는 영향을 미치지 않는다. 그것에 들어가는 개념의 의미, 특히 확률의 의미가 큐비즘으로 바뀌었다. 간단하면서도 심오한 큐비즘의 본질은 21세기에 양자역학을 좀 더 잘 이해할 수 있게 해줄 것이다. 무엇보다 양자역학에 통계역학(베이지어니즘)을 결합한 큐비즘이라는 신개척 분야를 국내에 최초로 소개하는 의미 있는 책으로, 과학계에 새로운 파장을 일으킬 것이다.

4차 산업혁명 시대, 큐비즘은 우리 삶을 어떻게 변화시킬까?
양자역학으로 확률을 해석하는 급진적인 해석방법, 큐비즘!

『양자역학의 미래 큐비즘이 슈뢰딩거의 고양이를 구하다』에서는 전공자들뿐 아니라 비전공자들도 큐비즘을 이해하기 쉽게 설명하려고 한 저자의 노력을 볼 수 있다. 먼저 이 책의 첫 번째 파트로 큐비즘을 이해하는 데 전제가 되는 ‘양자역학’에서는 수학적 측면이 아닌 일반적 이론을 소개한다. 그 의미의 직관적 감각을 끌어내기 위해 저자는 친근한 물체와 일상 경험에 대한 은유와 유추에 의존한다. 다음 파트인 ‘확률’에서는 고등학교에서 가르치듯이 확률의 일반적 ‘빈도확률’과 큐비즘(QBism)에 있는 B를 나타내는 익숙하지 않은 베이지언 확률을 비교해 보여준다. 세 번째 파트로 이 책의 핵심인 ‘양자 베이지어니즘’에서는 큐비즘의 기원과 실험실의 양자 기묘도 등 양자역학과 베이지언 확률이 어떻게 양자 베이지어니즘으로 결합하는지 기술한다.
마지막 파트로 좀 더 철학적인 부분인 ‘큐비즘의 세계관’에서는 큐비즘에서 배워야 할 가장 중요하고, 더 의미가 깊고, 어디든 가지고 나갈 수 있는 교훈을 제시한다. 큐비즘은 과학적 세계관을 이해하기 위한 전통적 태도를 바꾸는 것을 의미한다. ‘자연법칙’의 본성은 무엇일까? 그 법칙이 우주의 진화를 완전히 결정하거나 그것에 자유롭게 영향을 미칠 수 있을까? 부분과 관찰자 둘 다 어떻게 물질세계와 관련되어 있을까? 시간은 무엇일까? 인간 이해의 한계는 어디일까? 이와 같은 다양한 질문에 대해 큐비스트의 관점에서 다룬다. 그리고 마지막으로 큐비즘이 앞으로 어떻게 발전할지를 살펴본다.
빅데이터가 이끄는 4차 산업혁명 시대
큐비즘으로 미래 삶을 리드하라!

『양자역학의 미래, 큐비즘이 슈뢰딩거의 고양이를 구하다』는 평생 연구해온 양자역학에서 은퇴했다고 선언한 저자가 은퇴 계획을 세우고 양자역학을 결코 쉽게 해결하지 못할 것이라는 우울한 확신에 사로잡혀 있을 때, 우연히 양자정보이론의 최전선에 있는 전문가 크리스토퍼 푹스의 기사를 보고 그를 초청해 양자역학의 새로운 해석 방법을 배우기 시작하면서 집필한 책이다. 저자는 어려운 방정식 없이 구체적인 언어를 사용하여 물리학에 대한 새로운 접근법을 제안하는 상식적인 방법으로 양자역학의 의미를 알기 쉽고 분명하게 설명했다.
양자역학의 기묘함은 수학적 복잡성이 아니라 태어날 때부터 괴롭혀온 역설과 수수께끼에 기반을 두고 있고, 그런 수수께끼 중 가장 유명한 것이 슈뢰딩거의 불행한 고양이 이야기다. 양자역학에 따르면 이 고양이는 살아 있는 동시에 죽어 있어야 한다. 다른 수수께끼는 하나의 양자 입자가 동시에 두 장소에 있을 수도 있고, 입자가 파동처럼 행동하고 파동이 입자처럼 행동한다는 것과 정보가 순식간에 전송된다는 것이다. 이런 수수께끼들을 ‘양자 기묘도’라고 한다. 저자는 푹스에게서 이 양자 기묘도를 해결할 큐비즘에 대해 듣고 끊임없이 토론하면서 큐비즘을 이해하기 시작했다.
큐비즘은 저자가 오랫동안 몸담아온 이론의 기술적 측면을 간섭하지 않으며, 지금까지 많은 장치를 발명했고 결국 우리 삶을 변화시키는 산업 전체에 영향을 중요한 미치게 되었다. 이제 4차 산업혁명 시대를 맞아 관련 분야 전문가가 아니라도 큐비즘적 세계관이 중요하게 대두될 때가 올 테고 경제, 기업, 산업 등 전 분야에서 큐비즘이 필요하게 될 것이다. 그런 점에서 미국출판협회 2017 대중과학/대중수학 부문 가작을 수상한 『양자역학의 미래 큐비즘이 슈뢰딩거의 고양이를 구하다』는 양자역학에서 파생된 확률 이론을 사회 현상을 설명하는 유용한 방법으로 이용할 수 있다는 사실을 보여준다. 양자역학이 저자의 삶에 영향을 미쳤듯이 급진적이고 심오하지만 특별히 어렵지는 않은 큐비즘은 오늘뿐 아니라 내일을 살 우리를 변화시킬 것이다.

■ 추천평

1925년에 물리학자들이 ‘양자역학’이라는 새로운 집을 지었다. 그 집은 미세세계를 설명하는 새로운 역학 체계다. 그런데 이 집을 받혀주는 두 기둥은 ‘불확정성 원리’와 ‘코펜하겐 해석’이다. 즉, 현대과학의 근간인 양자역학 체계가 ‘해석’에 뿌리를 두고 있다는 것이다. 양자역학이 불만족스러운 이유다. 그럼에도 불구하고, 양자역학은 수많은 이론과 실험에 의한 검증을 통과했고, 오늘날 반도체, 통신, 나노 기술을 탄생시켰다. 이처럼 양자역학은 놀랍게 잘 활용되고 있지만, 그 뿌리가 되는 ‘해석’은 여전히 못마땅하고 논란의 소지가 있어 코펜하겐 해석 대신 다른 해석을 물리학자들이 시도한 바 있다. 저자는 이 책을 통해 획기적이면서도 새로운 통계적인 시도를 한다. 양자역학의 뿌리를 살펴보는, 물리학과 수학과 철학의 접점을 들여다보려는 노력을 시도한 의미 있는 책이다. -홍승우(성균관대학교 물리학과 교수)

양자역학은 오지랖이 넓다. 원자보다 작은 입자에서부터 천문학적 크기에 이르기까지 물질의 움직임을 설명하려 든다. 양자역학을 읽다 보면 내가 바보처럼 느껴진다. 물질이 동시에 두 곳에 존재하고, 빛보다 정보가 더 빠르게 이동하고, 고양이는 죽어 있으면서 동시에 살아 있다고 하니 미칠 지경이다. 모순이다. 불편하다. 기괴하다. “나는 양자역학이 싫어요!”
‘큐비즘’은 2001년 등장했다. 양자역학에서 모순과 불편함과 기괴함을 제거하거나 덜어주는 모델이다. ‘큐비즘’은 우리를 양자역학으로 이끄는 새로운 통로다. 이 책의 저자는 큐비즘의 최고 전문가다. 그렇다면 이 책을 읽고 나서 양자역학이 이해가 되었을까? 천만에! 하지만 적어도 양자역학을 이해가 아니라 암기로라도 도전할 용기가 생겼다.
-이정모(서울시립과학관장)


한스 크리스천 폰 베이어는 이 책에서 훌륭한 성과를 이룩했다. 나는 인생에서 큐비즘을 두 번이나 배울 만큼 운이 좋았다. 첫 번째는 아주 힘든 방법이었다. 동료들과 나는 이론이 가지고 있는 모든 뉘앙스와 필사적으로 싸우고, 점검하고 또 점검했고, 부서뜨리고 또 쌓았다. 그렇게 우리는 세계를 뒤집었다. 하지만 두 번째는 순수한 즐거움을 주었다. 폰 베이어 교수의 거장다운 표현으로 새롭게 배웠기 때문이다. 폰 베이어 교수의 거장다운 절묘한 표현은 나로서는 절대 할 수 없는 것들이었다. 이제 처음으로 나는 이 주제에 대해 가르치는 방법을 알게 되었고, 그보다 더 잘 이해할 수 있는 것은 없다고 믿는다.
-크리스토퍼 푹스(보스턴 매사추세츠대학교 물리학 교수, 큐비즘의 핵심 설계자)

큐비즘은 여전히 논란의 여지가 있지만, 과학을 좋아하는 독자들은 폰 베이어의 열정을 공유하게 되고, 양자현상을 신뢰할 정도로 깊이 이해하지 않아도 된다는 느낌을 갖게 한다.
-<커커스> 리뷰

폰 베이어는 겉보기에 난해한 세계에 대한 감각적인 접근법을 제공하고 있다. … 그는 독자들을 양자물리학의 세계로 이끌고 그 세계를 이해할 수 있도록 열정적으로 설명하고 있다.
-랄프 피터슨, <맨해튼 북> 리뷰

큐비즘은 물리학, 철학 그리고 수학 등 여러 분야에서 아이디어를 창출하는 곳으로 갈채를 받아야 한다. 폰 베이어의 책은 큐비즘의 두 가지 핵심 요소(양자이론과 주관적 베이지어니즘)에 대해 탁월하게 소개한다. 이 책은 독자들을 큐비스트의 마음으로 큐비즘의 장점을 토론할 수 있도록 도와준다. 이것이 이 책을 읽을 가치를 말해준다.
-켈빈 J. 맥퀸, <퀀텀 타임스> 리뷰

머리말

I. 양자역학
1장 양자는 어떻게 탄생했나
2장 광자
3장 파동/입자 이중성
4장 파동함수
5장 물리학에서 가장 아름다운 실험
6장 그리고 기적이 일어나다
7장 양자 불확실성
8장 가장 간단한 파동함수

II. 확률
9장 골칫거리 확률
10장 베이즈 목사의 확률

III. 양자 베이지어니즘
11장 큐비즘이 명백함을 만든다
12장 큐비즘이 슈뢰딩거의 고양이를 구하다
13장 큐비즘의 기원
14장 실험실에서의 양자 기묘도
15장 모든 물리학은 국소적이다
16장 신뢰와 확신

IV. 큐비스트의 세계관
17장 물리학과 인간의 경험
18장 자연의 법칙들
19장 바위가 거꾸로 걷어차다
20장 ‘지금이야!’의 문제
21장 완벽한 지도?
22장 우리 앞에 놓인 길

부록
주석
감사의 글
찾아보기

우리는 아인슈타인이 어떻게 그렇게 급진적이고 엄청나게 영향력이 있는 생각을 하게 되었는지 정확하게 모르지만 그는 몇 가지 실마리를 남겨주었다. “생각한다는 것이란 무엇인가?”라고 물으면 아인슈타인은 말이나 방정식으로 시작하지 않는다고 대답했다. 그 대신에 그는 백일몽이나 끼적거리는 낙서, 또는 만화경 속의 색유리 조각들처럼 심상이 서로 얽혀 변화하도록 허용하는 것과 같은 ‘이미지의 자유로운 놀이’와 더불어 시작한다고 대답했다. 심지어 아인슈타인은 이것마저도 생각하는 것이 아니라고 했다. 그러나 이런 장난스러운 이미지들 중에서 어떤 패턴이 계속해서 떠오르면 이는 신선한 발상일 수도 있다. 그리고 마침내 그 발상을 말이나 수학적 기호로 표현할 수 있다면 유레카! 새로운 아이디어가 태어난 것이다.
-1장 양자는 어떻게 탄생했나

불연속적 입자들이 점들을 만들지만 점들로 이루어진 선들은 아직 파동의 결정적 증거를 제공하지는 못한다. 당신은 어깨를 으쓱하고 싶어 할지도 모르고 파도가 H2O(물) 분자라고 하는 수많은 입자로 이루어져 있다는 것을 지적하고 싶어 할지도 모른다. 빛이 파동처럼 또는 입자처럼 행동한다는 것이 뭐 그리 이상한가? 그 미묘함은 타이밍에 있다. 축구 경기장에서 관중의 파도타기 응원처럼 파도는 셀 수 없는 단위로 되어 있고, 연주회에서 연주하듯이 각각은 어떤 식으로든 이웃과 연결되어 있다. 그러나 레이저에서 나오는 광자들은 굉장히 긴 간격을 두고 나오기 때문에 그들은 운동을 조정하거나 연결하거나 연락할 가능성이 없다. 분 단위 대신 시간 단위로 도착해도 결과는 마찬가지다. 축구 경기장에서 눈이 멀고 귀가 먼 수만 명의 관중이 파도타기 응원을, 서로 접촉하지 않으면서, 훌륭하게 해내는 것과도 같다. 그것은 마술이다. 그것은 기묘함이다.
-2장 광자

양자 파동함수의 붕괴는 제멋대로 순간적으로 먼 거리를 커버하는 원격작용이며 뉴턴의 중력처럼 이해하기 힘든 것이다. 하지만 뉴턴의 법칙처럼 납득이 가는 가치를 제공함으로써 파동함수의 붕괴는 과학의 정설로 받아들여지게 되었다 대부분의 물리학자는 중첩, 확률, 파동함수의 붕괴 등을 포함해서 양자역학을 수용한다. “그것이 자연이 행동하는 방식이다!”라고 말하며 그들의 계산과 관측에 이용한다. 비록 증가하고 있지만 그들 중 소수만이 표준 형식에 따라 암시되는 철학적 수수께끼를 진지하게 받아들이고 그것을 해결하려고 노력한다. 이런 용맹한 영혼들의 주된 목표 가운데 하나는 양자역학의 단계 2를 더욱 명확하게 하는 것이고, 파동함수의 붕괴는 그것을 확률에서 확신으로 불가해한 도약을 할 수 있게 하는 것이다.
-6장 그리고 기적이 일어나다

베이즈 법칙은 아주 다른 자료로 얻은 정보를 조합할 수 있는 능력에서 그 위력이 나오는 것을 알 수 있다. 통합의 위업은 빈도확률론자의 방법으로는 얻기가 어렵다. 빈도확률론자의 방법은 동질적인 자료 세트들을 조합하는 데 더 적절한 방법이다. 예에서 보면 사전 확률은 일반 대중을 상대로 한 방대한 통계학적 연구인 반면, 암 검사의 정확성은 통제된 의학적 연구에서 추정 가능하게 측정된 것이다. 베이지언 계산에 수치 자료만 들어가는 것은 아니다. 역사와 직관력도 행위자가 사전 확률을 선택하고 나서 그것을 갱신하는 데 도움을 줄 수도 있다. 100번 연속으로 앞면이 나왔다고 주장한 도박장의 도박사 예에서 확률에 영향을 미치는 추가된 정보와 신선한 가설을 허용하는 실제 생활의 유용성을 강조한다. 그들은 신뢰도로 정의되는 것을 제공한다.
-10장 베이즈 목사의 확률

큐비즘은 문제를 쉽고 우아하게 풀어준다. 어떤 실험에서든간에 계산된 파동함수는 나중에 하게 될 경험에 따른 관측에 대한 사전 확률을 제공한다. 한 번 관측이 이루어지면 즉 입자가 관측되면 탐지기는 감지하고, 스핀의 방향, 위치나 속도 등은 알려지게 된다. 새로운 정보는 실험하는 행위자에게 유효하게 된다. 이 새로운 정보로 행위자가 확률과 파동함수를 순간적으로 그리고 마법 없이 갱신한다. 붕괴는 불가사의를 불러온다. 베이지언 갱신은 이것을 기술하고 결국 잃어버린 단계를 명확하게 해준다.
-11장 큐비즘이 정확성을 만든다

초기에 양자역학의 지속적인 개념 문제는 확실하게 딴세상 느낌이 있었다. 이론이 실제로 잘 작동되었고, 역설은 내용보다도 형식주의의 해석과 더 연관되어 보였기 때문에 물리학자는 대부분 그것들을 무시할 수 있다고 느꼈다. 파동함수의 붕괴, 위그너의 친구 문제 그리고 슈뢰딩거의 고양이 같은 문제들은 ‘사고 실험’의 영역에 속한다. 사고 실험은 실험실에서 반복해서 재현할 수 없는 정제된 이론 연습을 말한다. 당신은 붕괴되고 있는 파동함수를 잡을 수 없으며, 보지 않은 상태에서 고양이 생사를 결정할 수 없다.
-14장 실험실의 양자 기묘도

코넬대학교 물리학자 데이비드 머민은 비록 과거, 현재, 미래 사이의 구분은 양자역학의 해석과는 좀 동떨어졌지만, 큐비즘은 ‘지금이야!’ 문제에 설득력 있는 해결책을 제시해준다는 것을 깨달았다. 물리학의 내용이 행위자의 미래 경험에 대한 ― 0과 1로 접근할 수 있는 값을 가지고 행해지는 ― 각자의 확률 추정으로 이해된다면, 다른 모든 경험처럼 ‘지금이야!’는 각 행위자에게 고유하다. 만약 나 자신을 시공간의 한 점으로 그린다면, 내가 내 일을 하는 동안의 나의 위치와 시계를 나타내는 꼬불꼬불한 선을 그릴 수 있다. 기억과 내 주위에 대한 기록이 행해지는 내 시계에 나타난 그 시간이 ‘지금이야!’라고 불리는 진행하는 그 순간이다. 끝 점이 시간의 흐름에 따라 중단 없이 나아가는 그 선은 나의 과거와 나의 미래를 나타내는 두 부분으로 나뉠 것이고, 나의 ‘지금이야!’에서 만난다. 이 그림(내 위치를 선으로 그린 그림)과 그 해석은 물리학에도 완벽하게 만족할 만한 것이다.
-20장 ‘지금이야!’의 문제

만약 비어 있는 그 수학적 증명이 발견된다면, 큐비스트들은 강력한 새로운 도구를 손에 쥐게 될 것이다. 양자 차원의 실제적 의미에 살을 붙이는 것은 왜 양자일까라고 묻는 질문의 답을 향해 나아가는 커다란 단계가 될 것이다. 동시에 총확률의 양자 법칙은 파동함수가 없는 양자역학의 완전히 새로운 공식의 기초가 될 수 있다. 파인만이 지적했듯이 이는 우리의 이해를 더 깊게 할 것이다. 그것은 확실히 푹스의 희망이다. 특히 그는 총확률의 양자 법칙이 양자이론의 주요 공리로 자리 잡기를 원한다.
-22장 우리 앞에 놓인 길