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비판적이고 반성적인 사고를 기르기 위한 수업절차를 기술

『증명의 본질(The Nature of Proof )』은 약 70년 전 한 실험학교에서 학생들의 삶을 변화 시킨 파우셋(Fawcett)의 기하 강의에 관한 책이다. 파우셋(H. Fawcett)은 이 책에서 비판적이고 반성적인 사고를 기르기 위한 수단으로 기하증명을 사용한 수업 절차를 기술하고, 그러한 수업이 학생들의 사고 능력에 미치는 효과를 평가하였다.
증명은 반성적이고 비판적인 사고를 요구하며, 수학적 사고의 핵심일 뿐 아니라 설득의 논리로도 매우 중요하다. 논증기하는 오랫동안 대학에서 증명을 가르치는 도구로 사용되어 왔다. 그러나 증명을 가르치는 도구로 사용되어 온 논증기하는 미리 정선된 수많은 정리와 증명을 암기하는 것으로 일관하고 있기 때문에 논증기하가 비판적 반성적 사고의 개발이라는 본래의 목적 달성을 의심스럽게 한다는 데서 파우셋의 연구는 시작되었다. 그는 대학에서 가르치던 논증기하가 아무런 교수학적 고려 없이 중등학교 수준으로 내려온 점을 그 원인의 하나로 지적하고 중등학교에서 적용할 수 있는 대안적인 기하 수업방식을 고안하여 이를 실행하고 그 효과를 분석하였다.

학생들의 삶을 변화시킬 만큼 영향력 있는 수학 수업이 현실적으로 가능할까? 이상적이기는 하지만 실제로 가능할 것 같지 않은 상황이 1932년 경제공황의 한 가운데서 미국의 한 실험학교에서 일어났다. 진보주의 교육을 목적으로 개교한 이 학교는 교육과정을 민주적으로 운영하였으며 무학년제로, 수업은 생활 활동으로 진행하였다. 이러한 교육과정은 당시에 매우 획기적인 것으로 이 시기에 각 대학이 요구하는 대학입학 조건과는 거리가 멀었다. 이 학교의 학생들은 자신들을 기니피그라 부른 것도 그러한 이유에서였다. 바로 이 학교의 졸업생들이 하나의 수학 강의가 자신들의 삶을 변화시켰다고 증언하였으며, 이들의 증언은 졸업 작품의 일부인『우리는 기니피그인가?(Were We Guinea Pigs?)』(1938)와 졸업 후에 이들을 추적 분석한 『20년 후의 기니피그(Guinea Pigs After 20 Years)』(1961) 두 권의 책으로 출판되었다.
『증명의 본질(The Nature of Proof )』은 약 70년 전 한 실험학교에서 학생들의 삶을 변화 시킨 파우셋(Fawcett)의 기하 강의에 관한 책이다. 파우셋(H. Fawcett)은 이 책에서 비판적이고 반성적인 사고를 기르기 위한 수단으로 기하증명을 사용한 수업 절차를 기술하고, 그러한 수업이 학생들의 사고 능력에 미치는 효과를 평가하였다.
증명은 반성적이고 비판적인 사고를 요구하며, 수학적 사고의 핵심일 뿐 아니라 설득의 논리로도 매우 중요하다. 논증기하는 오랫동안 대학에서 증명을 가르치는 도구로 사용되어 왔다. 그러나 증명을 가르치는 도구로 사용되어 온 논증기하는 미리 정선된 수많은 정리와 증명을 암기하는 것으로 일관하고 있기 때문에 논증기하가 비판적 반성적 사고의 개발이라는 본래의 목적 달성을 의심스럽게 한다는 데서 파우셋의 연구는 시작되었다. 그는 대학에서 가르치던 논증기하가 아무런 교수학적 고려 없이 중등학교 수준으로 내려온 점을 그 원인의 하나로 지적하고 중등학교에서 적용할 수 있는 대안적인 기하 수업방식을 고안하여 이를 실행하고 그 효과를 분석하였다.


57명의 학생을 대상으로 진행된 2년간의 논증기하코스는 학생들이 기하 코스를 택하기 전에 이미 어느 정도의 비형식적인 증명 경험을 가지고 있다고 전제한다. 그리고 정선된 정리와 증명의 암기로 이어지는 전통적인 논증기하 수업이 논리적이고 비판적인 사고의 학습이라는 교육목표 달성을 의심스럽게 한다는 문제의식에서 시작된다. 이 기하수업은 공식적인 교과서를 사용하지 않으며, 학생 스스로 자기 속도에 맞추어 개인 또는 집단으로 정리를 추측하고 수정하도록 격려하며, 정리를 암기하고 증명하는 것에 주목하는 것이 아니라 자신들의 발견한 정리를 정당화하는 절차를 개발하는 것에 수업의 초점을 둔다. 파우셋의 연구는 오늘날 우리에게도 시사하는 바가 크다.
이 책은 사고 교육에 관심을 가진 수학자와 수학교육자, 그리고 수학교사들에게 반성적이고 비판적인 사고가 무엇을 의미하는가를 재고하게 하며 대학 과정을 포함하여 오늘날 학교수학에서 우리가 실제로 기대하고 성취하는 목표가 무엇인가를 되돌아보게 할 것이다. 또한 학교 기하교육과정에서 우리의 관심을 무엇을 가르쳐야 하는가를 넘어 어떻게 가르쳐야 하는가로 돌리게 할 것이다.
특히 이 책은 비수학적 상황과 수학적 상황에서의 수업절차를 사례와 함께 상세히 담고 있어 학생들의 논리적 사고 개발을 위한 수업에 구체적인 지침이 될 수 있을 것이다. 정선된 기하 정리의 내용을 익히고 그 증명방법을 하나씩 학습해 나가는 대신에 TV 광고 문구에 포함된 용어의 의미를 분석하며 가정을 찾고 사용된 논리의 분석으로 이어지는 기하 수업은 매우 흥미롭게 진행된다. 학생들이 어떻게 비수학적 상황에서 비판적 사고를 개발해가며, 수학적 상황에서 학생 스스로 논증기하체계를 구성해가는 과정을 보여준다. 또한 이 연구에서 사용하고 있는 여섯 가지 평가 방식은 대안적 평가의 구체적인 사례로도 주목할 만 하다.
1938년 초판 발행된『증명의 본질(The Nature of Proof )』은 이 강의에 참석한 학생들의 증언을 다룬 위에서 언급한 두 저서와 함께 2000년 남캐롤라이나 교육박물관이 선정한 ‘세기의 도서’ 65권에 선정되었다 Kriedel,C.(ed.)(2000) Books of the Century Catalog. (The Curriculum Collection, Museum of Education) Columbia, SC: Museum of Education.
. 세기의 도서 중 수학교과 배경으로 한 3권의 책이 모두 파우셋의 강의와 직접적으로 관련을 가지고 있다는 사실에서 이 강의가 교육 분야에서 가지는 위치를 가늠해 볼 수 있다.
NCTM(미국수학교사협의회)은 1938년 The Nature of Proof 를 연보를 발간하였으며 약 60년 후인 1995년에 재출간하였다. 이 책 첫 부분에 수록된 1932년 당시 NCTM의 임원진은 우리에게 직접적인 상관은 없으나 역사적 사실로서 의미가 있을 것으로 판단하여 이 번역본에 그대로 포함시키기로 하였다.

그동안 증명과 관련한 거의 모든 수학교육 연구에서 부분적으로 인용되어 오던 파우셋의 고전이 번역?출판할 수 있게 된 것을 기쁘게 생각한다. 이 책을 번역하면서 20세기의 약 반세기 동안 텍사스 대학에서 많은 제자들을 유명한 수학자로 길러낸 무어(R.L.Moore)의 수업 방식을 자주 떠올렸다. 발견학습의 전형으로 거론되며 대학 수준에서 최소한의 지시로 최상의 수학자로 제자들을 길러 낸 무어의 방식과 이 책에 전개된 파우셋의 수업방식은 학생들의 기본적인 자질을 긍정적으로 평가하고 자발적으로 수학적 체계를 만들어 가고 토론을 통해 이를 수정 개선해가게 하는 점에서 본질적으로 차이가 없어 보인다.
졸업 후 20년 후까지도 이 기하강의를 택한 학생들이 간직했던 비판적 사고와 발견의 기쁨과 열정이 이 책을 읽는 독자 모두에게 전해지고 우리의 수학교육에 활기로 나타나기를 희망한다. 이 책을 번역하여 출간하기까지 도움을 주신 이모션북스에 감사의 마음을 전한다.

역자일동

제 1 장

서 론

1.1 문제 제기 1
1.2 문제의 기원과 배경 2
1.3 논증기하의 가치 3
1.4 이들 가치의 일반적인 수용 7
1.5 가치 성취에 대한 의문 8
1.6 문제 정의 11
1.7 관련 연구 요약 15

제 2 장

실험 조건과 데이터

2.1 학생과 학급 구성 21
2.2 데이터의 유형 25
2.3 방법 및 과정 데이터 25
2.4 내용 데이터 28
2.5 요약 31

제 3 장

절차

3.1 정의의 필요성 인식 36
3.2 공간개념, 무정의 용어, 정의 및 가정 도입 41
3.3 비수학적 상황에서의 정의 53
3.4 정의와 가정의 함의 61
3.5 귀납적 증명 75
3.6 결론을 결정하는 요인 알아내기 81
3.7 비수학적 주장에서 가정 인식 86

제 4 장

기하 내용

제 5 장

평가

5.1 다양한 종류의 평가 119
5.2 오하이오 평면기하 검사 120
5.3 “증명의 본질” 검사 121
5.4 전이의 사례 123
5.5 학부모들의 관찰 125
5.6 참관인 보고서 128
5.7 학생의 평가 131

제 6 장

전체 요약

6.1 후속 연구를 위한 문제 141

부록

제1부 147
제2부 156

참고문헌 182