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[수학적으로 생각하는 법]은 스탠퍼드대학교 교수로서 수학 대중화에 앞장서 온 저자 키스 데블린이 논리적이고 분석적인 사고 능력을 개선하고자 하는 이들을 위해 쉽게 쓴 책이다. 수학적으로 생각하기는 세계에 존재하는 것들을 논리적이고 분석적이며 정량적(定量的)으로 파악하는 일을 말한다. 즉 정확성을 가지고 사고하는 하나의 틀을 의미한다. 수학적으로 생각하기의 능력을 향상시키길 원하는 이들은 이 책을 통해 정말 불가능할 것 같다는 좌절감에서 벗어나 어렵지만 할 수 있다는 자신감을 가질 수 있을 것이다.

논리적이고 분석적인 생각 능력을 향상시켜 주는 지침서!

‘수학하기’가 아니라 ‘수학적으로 생각하기’에 대한 책이다. 수학하기란 흔히 복잡한 기호와 공식을 사용하여 난해한 계산을 수행해 내는 일을 의미한다. 하지만 수학적으로 생각하기는 세계에 존재하는 것들을 논리적이고 분석적이며 정량적(定量的)으로 파악하는 일을 말한다. 즉 정확성을 가지고 사고하는 하나의 틀을 의미한다.

수학자는 말할 것도 없고 과학자, 공학자 등 또한 수학하기를 잘해낼 필요가 있다. 그래서 이들은 대학교 수준의 교육 과정을 통해 이 수학하기에 필요한 모든 것들을 배운다. 그렇지만 정확한 사고의 틀로서 수학적으로 생각하기는 21세기를 살아가는 우리 모두에게 가치 있는 것이다. 논리적이고 분석적이며 정량적인 사고 능력을 개선하길 원한다면, 그리고 중고등학교 수준의 수학 실력을 갖추고 있다면 이 책을 통해 우리는 그 능력을 향상시킬 수 있다.

이공계 대학 신입생, 예비 대학생, 일반인을 위한 생각의 틀!

이 책은 기본적으로 수학을 비롯한 과학, 기술, 공학 등의 이공계 학문을 공부해야 하는 대학교 신입생과 이공계 대학교에 진학하고 싶어 하는 고등학생을 위한 것이다. 많은 학생들이 고등학교 수학에서 대학교 수학으로 올라갈 때 적지 않은 곤경에 부딪힌다. 고등학교 때 수학을 잘했던 학생이라 해도 대부분은 한번씩 나가떨어진다. 고등학교를 졸업할 때까지 12년 동안 계산 절차를 숙달하는 데 초점을 맞추어 왔기 때문에 ‘생각하기’의 능력을 요구하는 대학교 수학에서 길을 잃고 헤매는 까닭이다. 물론 많은 능력있는 학생들이 이 전환 과정에서 살아남지만 그렇지 못한 학생들도 적지 않다. 이 책은 바로 이 과정의 교과서로 쓰여졌다.

그렇지만 이 책은 단지 이공계 학문을 전공하고자 하는 학생들만을 위한 것이 아니다. 수학과 관련된 컴퓨터나 공학 분야의 직장인은 물론, 기획자, 정책 담당자, 경찰, 상담자, 교사, 디자이너 등에게도 이 책은 좀더 정확성 있는 사고를 위한 ‘틀’이 되어줄 것이다.

불가능할 것 같다는 좌절감에서 벗어나도록 돕는 길잡이!

스탠퍼드대학교 교수로서 수학 대중화에 앞장서 온 저자는 논리적이고 분석적인 사고 능력을 개선하고자 하는 이들이라면 누구나 쉽게 이 책에 접근할 수 있도록 애쓰고 있다. 저자는 가능한 한 간명하게 핵심을 짚어 나간다. 그리고 수학적으로 생각하기에 대해 다음과 같이 말한다. “수학적 사고를 진정으로 숙달한 이들에게는 21세기 시민권자에게 주어지는 이점과 맞먹는 보상이 따를 것이다. 즉 혼랍스럽고 좌절을 맛보고 때로는 불가능해 보이던 수학이 의미를 갖추고, 어렵지만 할 만하게 바뀌는 것이다.”

수학적으로 생각하기의 능력을 향상시키길 원하는 이들은 이 책을 통해 정말 불가능할 것 같다는 좌절감에서 벗어나 어렵지만 할 수 있다는 자신감을 가질 수 있을 것이다.

옮긴이의 말
서문
이 책은 어떤 책인가

1. 수학이란 무엇인가?
1.1 산수 이상의 것
1.2 수학적 표기법
1.3 대학 수준 현대 수학
1.4 왜 이런 것을 배워야 하는가?

2. 언어를 정확히 하기
2.1 수학 명제
2.2 논리 연결사 ‘이고, 또는, 아닌’
2.3 뜻함
2.4 한정사

3. 증명
3.1 증명이란 무엇인가?
3.2 모순에 의한 증명
3.3 조건문 증명하기
3.4 한정사 명제를 증명하기
3.5 귀납적 증명

4. 수에 대한 결과 증명하기
4.1 정수
4.2 실수
4.3 완비성
4.4 수열

부록. 집합론

이 책을 읽기 전에 염두에 두면 좋을 저자의 조언

ㆍ고등학교 수학은 풀이에 대한 것이지만, 대학 수학은 대부분 사고에 대한 것이다.
ㆍ점점 어렵다고 느낀다면 모든 것이 동기부여가 안 되어 있기 때문임을 명심하라. 이 책은 수학적 (아직 여러분이 모르는 수학!) 사고를 쌓아 올릴 기초를 제공하는 것이 목적이다. 새로운 사고방식을 익히는 데 독학적인 요소를 피할 방법은 없다.
ㆍ새로운 개념과 아이디어를 이해하는 데 초점을 맞춰라.
ㆍ서두르지 마라. 새롭게 배워야 할 사실은 매우 적지만 이해해야 할 것은 많다.
ㆍ어려움이 발생하면 동료나 강의자와 상의하라. 혼자 힘으로 중대한 사고의 전환을 숙달하는 사람은 거의 없다.
ㆍ가능하면 남들과 같이 공부하라. 고등학교 때는 푸는 것에 초점을 맞추고 있기 때문에 보통 혼자 공부하는데, 이 과정은 사고하는 것이 전부이므로 자신이 공부한 것을 남과 논의하는 것이 혼자 공부하는 것보다 훨씬 나은 접근법이다. 친구들의 증명을 분석하고 비평하면 자신의 배움과 이해가 훨씬 높아질 것이다.
ㆍ어느 절에서건 처음에 쉬워 보인다고 얼른 끝내려고 애쓰지 마라. 이 책 전체가 대학 수학의 모든 곳에서 필요한 기본적인 내용들로 이루어져 있다.
ㆍ포기하지 마라. 전 세계의 학생들이 작년에도 해냈고, 재작년에도 해냈다. 나도 오래전에 해냈다. 여러분도 마찬가지다!
ㆍ아, 맞다. 한 번 더, 서두르지 마라.
ㆍ기억할 것. 목표는 새로운 사고방식을 계발하고 이해하는 것이다.
ㆍ마지막 조언 “천천히 시간을 들여라.”