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수리학의 공식 언어를 본뜬 순수 사유의 공식 언어를 정리한 책이다. 특정한 학문적 목적들을 위해 고안된 수단으로 철학자들에게 도움을 주고자 한다.

논리학의 새로운 장을 연 웅대한 기획의 첫 작품


논리학의 역사는 크게 아리스토텔레스로 상징되는 고전논리학의 시기와 프레게가 창시한 현대논리학의 시기로 나뉜다. 마치 수학 공식처럼 기호들을 도입해 명료하게 표기하고 증명하는 방식은 기존에 보지 못한 낯선 것이었고 동료 수학자들의 관심도 얻지 못했다. 오히려 러셀과 비트겐슈타인, 카르납 등 그의 진가를 알아본 철학자들에게 영향을 미쳤고 철학계에 큰 반향을 불러일으켰다. 프레게는 그때까지 없었던 새로운 논리학을 만들어 논리학의 역사에서 새로운 장을 연 거인이며, 프레게 이후 논리학의 발전은 논리학자들 스스로 느낄 정도로 눈부시다.

프레게는 학문을 하기 위한 도구로서 새로운 논리학을 창안했다. 그것이 바로 《개념표기》다. 부제인 “수리학의 공식 언어를 본뜬 순수 사유의 공식 언어”에서 알 수 있듯이, 프레게의 논리학은 수학의 증명 과정처럼 명료하게 펼쳐진다. 또한 논리적 법칙들에 따라 엄정하게 전개되어 이 표기 방식은 다양한 영역에서 활용될 수 있다.
《개념표기》는 ①함항(function)과 입항(argument)을 확연히 구별하여 문장의 구조(구성)를 새롭게 보게 하였고, ②다중 양화(multiple quantification)를 도입하여 이전에는 논리학에서 다룰 수 없었던 문장들을 다룰 수 있게 하였으며, ③관계를 도입함으로써 이전에는 단지 술어로밖에 다룰 수 없었던 표현들도 분해하여 다루게 되었다. 이로써 논리학에서 다룰 수 있는 문장들이 확장되었다.

앤서니 케니(Anthony Kenny)는 프레게를 콜럼버스와 비교한다. 기존의 항로 대신 대서양을 횡단해 인도에 이르겠다는 야심찬 기획이 아메리카 대륙을 발견해 세계 지도를 바꾸고 유럽의 역사를 바꿨듯이, 새로운 논리학을 만들어 학문을 하기 위한 도구로서 제공하겠다는 프레게의 야심은 철학은 물론 학문 전반에 큰 전환점이 되었다.

Ⅰ. 기호들에 대한 규정

§ 1. 문자들 및 다른 기호들

판단
§ 2. 내용의 판단될 수 있음. 내용선, 판단선
§ 3. 주어와 술어. 개념(적) 내용
§ 4. 전칭?특칭 판단. 부정 판단. 정언?가언?선언 판단. 필연적?우연적?가능적 판단

조건 붙임[닮]
§ 5. (만약)…면. 조건선
§ 6. 추리. 아리스토텔레스 방식의 추리 양식들

부정
§ 7. 부정선. 또는, 혹은, 그리고, 하지만, 아니다(않다), ~도 아니고 ~도 아니다

내용의 같음
§ 8. 내용의 같음을 나타내는 기호의 필요함, 그런 기호의 도입

함항
§ 9. “함항”과 “입항”이란 낱말들에 대한 규정. 여러 입항들이 드는 함항들. 입항의 자리들. 주어, 목적어
§10. 함항 기호들로서의 문자들의 사용. “Α는 속성 Φ를 가진다.” “B는 A에 관계 Ψ에 놓여 있다.” “Β는 절차 Ψ를 대상 Α에 적용한 결과이다.” 입항으로서의 함항 기호

일반성
§11. 프라크투르체[고딕체] 문자들. 내용선의 오목홈. 프라크투르체 문자들의 대체될 수 있음. 그것들의 범위. 이탤릭체 문자들
§12. ~이지/하지 않은 몇몇 것들이 있다. ~있지 않다. ~인/하는 몇몇이 있다. 모든 낱낱의. 모든. 인과관계들. 어느 ~도 ~아니다. 몇몇은 ~이지/하지 않다. 몇몇. ~인/하는 것이 가능하다. 논리적 대립 관계들을 나타내는 사각형


Ⅱ. 순수 사유의 몇몇 판단들의 제시 및 도출

§13. 연역적 제시 방식의 장점들
§14. 조건 붙임의 처음 두 기본 법칙들
§15. 그것들의 귀결들
§16. 조건의 셋째 기본 법칙 및 귀결들
§17. 부정의 첫째 기본 법칙 및 귀결들
§18. 부정의 둘째 기본 법칙 및 귀결들
§19. 부정의 셋째 기본 법칙 및 귀결들
§20. 내용의 같음의 첫째 기본 법칙 및 귀결들
§21. 내용의 같음의 둘째 기본 법칙 및 귀결들
§22. 일반성[일반 판단]의 기본 법칙 및 귀결들


Ⅲ. 열들에 대한 일반 이론으로부터의 몇몇 주제들

§23. 들어가는 말들
§24. 이어짐. 판단선의 두 번 그음. 그리스어 소문자들
§25. 귀결들
§26. 열에서의 차례
§27. 귀결들
§28. 또 다른 귀결들
§29. “z는 x로 시작하는 f-열에 속한다.” 규정 및 귀결들
§30. 또 다른 귀결들
§31. 절차의 하나를 짚음. 규정 및 귀결들


부록
‘개념표기’의 적용들
한 개념표기에 대한 학문적 정당화에 관하여
‘개념표기’의 목적에 대해

이런 요구를 가장 엄정하게 충족시키려고 애쓰던 중, 나는 언어의 부적절함에서 장애를 찾아냈으니, 표현들의 모든 어설픔들에도 불구하고, 관계들이 복잡해질수록, 나의 목적이 요구했던 정확함에는 미처 이르지 못할 수가 있다는 점이다. 이런 부족함으로부터 여기에 제시된 ‘개념표기’라는 발상이 나왔다.
…
제목에서 내가 내비쳤던, 수리학의 공식 언어를 본뜸은 세부적인 형태보다는 근본적인 발상들에 더 연관된다. 나에게서 가장 멀리 떨어져 있는 건 개념을 그것의 징표들의 합으로 파악[해석]함으로써 어떤 인위적인 유사성을 설정하려는 노력이었다. 나의 공식 언어는 수리학의 공식 언어와 문자들이 운용되는 방식에 있어 가장 직접적으로 맞닿는다.
…
수리학은, 내가 서두에서 말했듯이, 나를 나의 ‘개념표기’로 이끌었던 사유의 연속의 출발점이었다. 따라서 나는 이를 이 학문에 먼저 적용하여, 이것의 개념들을 더 분석하고 또 이것의 정리들을 더 깊게 정초하고자 한다. 지금으로서는, 나는 그런 방향으로 나아가는 몇몇 것들을 셋째 장에서 전하는 바이다. 제시된 길로 더 나아가는 추구는, 즉 수라는 개념, 크기라는 개념, 그리고 기타 개념들에 대한 규명은, 이 저술 바로 뒤에 내가 내놓으려는 탐구들의 대상이 될 게다.
- 머리말

학문의 보다 더 추상적인 부문들에서, 다른 사람들 측에서의 오해들을 그리고 자기 자신의 사유에서의 잘못들을 피하기 위한 수단의 부재는 거듭거듭 절감된다. 둘 다 언어의 불완전함에 그것들의 기원을 두고 있다. 왜냐하면 우리는 여하튼 사유하기 위해 감각될 수 있는 기호들이 필요하기 때문이다. … 그러니 어느 누구도 기호들을 우습게 보지 말지어다! 적잖은 것이 그것들을 목적에 맞게 고르는 데 달려 있다. 그것들의 가치는 오랜 실행 뒤엔 우리는 실제로 더 이상 기호들을 소리 내어 부를 필요가 없다는, 우리는 사유하기 위해서 더 이상 소리 내어 말할 필요가 없다는 사실에 의해서 감소되지는 않는데, 왜냐하면 그럼에도 우리는 낱말들로, 그리고 낱말들이 아니라면 수학적 기호들 또는 다른 기호들로 사유하기 때문이다.
…
지금까지 나는, 맨 처음에는 수학이라는 영역을 위해서, 내가 바람직하다고 제시했던 하나의 개념표기를 산출하기 위해, 수학적인 공식 언어를 논리적 관계들을 나타내는 기호들로 보충하려고 시도했었다. 이는 나의 기호들을 다른 영역들에 적용하는 걸 배제하지 않는다. 논리적 관계는 어디서든 다시 일어나며, 또한 특정한 내용들을 위한 기호들은 개념표기의 틀에 맞게끔 선택될 수 있다. 그리되든 말든, 사유의 형식들의 명료한 제시는, 어느 경우에도, 수학을 넘어서 확장되는 의미를 갖는다. 그리되면 철학자들이 그 일에 좀은 주의를 기울이려나!

- 한 개념표기에 대한 학문적 정당화에 관하여