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평범한 일상에서 찾아보는 미적분의 원리!

우리의 지성사에서 빼놓을 수 없는 미적분의 원리에 흥미롭게 접근하는 입문서『미적분 다이어리』. 미적분을 둘러싼 오해와 편견을 파헤치고 공식만 난무한 미적분을 뒤집어보는 책이다. 저자는 대부분의 사람들은 미적분이 무엇인지조차 모르는 상태에서 어렵고 머릿속만 복잡하게 만든다는 평판만 앞세우고 무조건적인 반감을 드러낸다고 이야기하며, 기본적으로 수학, 좁게는 미적분이 일상생활에 어떻게 적용되는지 이해해야 하고 식은땀을 흘리지 않고 기초 방정식을 바라볼 수 있어야 한다고 말한다. 순간의 변화를 측정하는 방법인 미분, 무수한 미세 조각들을 합쳐서 전체를 나타내는 방법인 적분, 이렇게 2가지 기본 개념으로 나뉘는 미적분을 자동차 연비, 다이어트, 놀이기구 등에 적용해나가는 과정을 보여주며, 미적분의 트라우마를 극복하고 융통성 있게 미적분을 목적에 맞추어 사용할 수 있도록 도와준다.

호기심으로 무장한 괴짜 과학 저술가 제니퍼 울렛의 수학 일기
미적분을 잘하고 싶은가?
그렇다면 공식을 암기하지 말고 실생활에 대입하라!
난공불락 미적분을 유쾌하게 타파하는 미적분 완전 사용법

미적분! 벌써부터 두려운가?
제니퍼 울렛은 여러분의 심정을 잘 안다. 하지만 그녀는 막상 알고 나면 미적분이란 전혀 무서운 게 아니라고 말한다. 『미적분 다이어리』에서 이 과학 저술가는 수학 공포증에 맞선 자신의 경험을 이야기해준다. 재치와 활기가 넘치는 울렛은 미적분을 자동차 연비, 다이어트, 놀이기구, 크랩스 게임 등에 적용해낸 과정을 설명하며, 수학 열등생도 이 만국 공용어의 원리를 배울 수 있음을 입증한다.

ㆍ 골칫거리 미적분을 이해하는 데 공식이 필요 없다?!
이 책은 언뜻 보면 수학책이 아닌 것 같다. 보기만 해도 머리를 핑그르르 돌게 하는 수학 기호와 아무리 외워도 외워지지 않는 수학 공식을 찾아보기 힘들기 때문이다. 그저 누군가의 공개 일기장이겠거니 하고 부담 없이 즐기다 보면 어느 순간 미적분에 대한 새로운 통찰력을 얻게 된다. ‘미적분=복잡한 다항식 괴물’이라는 공식을 파괴하는 조금은 특별한 일기장! 미적분으로 세상을 바라보는 저자의 독특한 시각을 통해 미적분에 대한 시야를 넓히면서 미적분을 대하는 우리의 마음가짐은 한결 가벼워질 것이다.

ㆍ 일상 속 숨어 있는 놀라운 미적분을 읽는다!
복잡할 것처럼 보이는 미적분을 누구나 공감할 수 있는 저자의 평범한 일상 속에서 찾으려는 노력으로 독자들의 수학에 대한 반감을 없애고, 모든 현상에 근본적 수학 원리를 적용하여 쉽고 흥미롭게 설명한다. 예를 들면, 도로 위를 자동차를 타고 달릴 때나 카지노 게임을 할 때, 놀이기구를 탈 때, 모기지나 저축 이자를 계산할 때, 인구 증가 또는 인구를 감소시키는 원인인 전염병 확산 현상을 설명할 때, 다이어트를 위해 음식의 열량과 운동 시 에너지 소비량을 계산할 때, 아치형과 같은 건축물을 만들 때, 서퍼가 서핑 시 균형을 유지할 수 있는 속도를 계산할 때 등을 미적분 원리에 대입, 물리적 의미를 부여하여 ‘생활 속 수학’을 찾아가는 에피소드로 구성되어 있다. 또한 중간 중간 삽화처럼 나오는 여러 수학자의 삶과 그들이 한 연구에 담긴 의미를 소개하는 글은 수학에 특별한 관심이 없는 독자들에게도 흥미를 일으킬 수 있다.

ㆍ 미적분은 인간의 지력이 발명한 가장 강력한 생각 무기!
- 윌리엄 벤저민 스미스William Benjamin Smith, 『무한소 분석Infinitesimal Analysis』의 저자

오늘날 고등학교 미적분의 트라우마는 나이와 성별, 출신 성분을 불문하고 모든 사람에게 매우 부정적인 반응을 불러일으킨다. 대부분의 사람들은 또다시 강제로 다항식의 부정적분을 구하느니 차라리 자기 목을 조르고 송곳으로 고문당하는 쪽을 선택할 것이다.
솔직히 말해서 우리는 대부분 미적분이 무엇인지조차 모르는 상태에서 어렵고 머릿속만 복잡하게 만든다는 평판만 앞세우는 경향이 있는데 이러한 미적분에 대한 무조건적인 반감은 이성적이라고 할 수 없다. 미적분의 개념 자체는 매우 단순하고 명료하다. 복잡 다양한 다항식의 여러 미적분 공식 괴물은 세부 사항일 뿐이다. 근본적으로 미적분은 위치, 온도 따위의 변화를 측정하는 방법으로, 동일한 기본 개념을 자동차 운전, 주식시장, 흑사병, 파도타기 등 여러 대상에 적용할 수 있는 보편성이 있다. 미적분 교과서가 그렇게 두꺼운 것도 바로 이 때문이다.
미적분은 2가지 기본 개념으로 나뉜다. 하나는 순간의 변화를 측정하는 방법인 미분이다. 이를테면 자동차의 순간적인 위치 변화를 가지고 속도를 알아내는 것이다. 다른 하나는 무수한 미세 조각들을 합쳐서 전체를 나타내는 방법인 적분이다. 가령 자동차의 속도로부터 주행 거리를 계산하는 데 적분을 활용할 수 있다. 나머지는 모두 이 두 주제의 변주일 뿐이다. 미적분은 무조건 외우고 따라야 하는 틀에 박힌 규칙이라기보다 유기적 독립체에 가깝다. 물리학자들이 문제 푸는 모습을 지켜보면, 여러분은 엄청난 융통성을 목격하게 될 것이다. 그들은 과제를 완수하는 데 필요한 대로 숫자를 반올림하고 단순화하며 제멋대로 다룬다. 즉, 미적분 틀에 갇혀서 궁리하는 것이 아니라 미적분을 자기 목적에 맞춘다.
-프롤로그 중에서

ㆍ 독자들의 찬사

“다가오는 미적분 수업의 울렁증을 극복해야 하는 사람, 미적분을 일상생활에서 어떻게 쓸 수 있는지 재미있게 배우고 싶은 사람들을 위한 탁월한 입문서!”
- 다니카 맥켈러Danica McKellar, 뉴욕타임스 베스트셀러 『수학은 즐거워Math doesn't suck』의 저자

“이 멋지고 흥미진진한 책에서 제니퍼 울렛은 스페인 건축가 가우디의 기괴한 건축물, 해변의 넘실거리는 파도 등 뜻밖의 대상에서 수학- 특히 미적분- 의 흔적을 찾아낸다. 그녀를 따라가는 여행 자체의 즐거움이 가장 크지만, 수학 고유의 아름다움과 우아함을 깨닫는 즐거움 또한 그에 못지않다. 시종일관 명쾌하고 고무적인 울렛의 목소리는 이 주제와 완벽하게 어울린다. 『미적분 다이어리』는 놀라운 역작이다.”
- 데버러 블럼Deborah Blum, 『죄수의 핸드북: 뉴욕 재즈 시대의 살인 사건과 법의학 탄생The Prisoner's Handbook: Murder and Birth of Forensic Medicine in Jazz Age New York』의 저자

“중요한 수학 개념 및 그것과 일상의 관련성을 친절히 알려주는 매력적인 입문서.”
- 레오나르드 믈로디노프Leonard Mlodinow, 『춤추는 술고래의 수학 이야기The Drunkard's Walk: How Randomness Rules Our Lives』의 저자

“제니퍼 울렛의 유쾌한 『미적분 다이어리』는 탁월한 과학 저술의 본보기다. 그녀의 책은 인간이 생각해낸 가장 중요한 관념의 내막을 여과 없이 독자에게 보여준다. (그렇다. 미적분은 그만큼 중대하다. 그것은 곧 사물이 시간과 공간 속에서 변화하는 방식을 이해하는 일이다. 이보다 중요한 일은 별로 없다.) 울렛은 재치, 세련된 문장력, 수학과 대중문화에 대한 열정을 발휘해 ‘방정식은 모두 저마다 사연이 있다’는 탁견을 제시한다. 여기서 그녀가 들려주는 그 사연은 수학 혐오자들의 마음까지도 사로잡을 것이다.”
- 톰 레벤슨Tom Levenson, 『뉴턴과 위조자Newton and the Counterfeiter』의 저자

“옛날에 미적분 시험에서 낙제할 뻔했던 적이 있었다. 왜 그걸 이해하는 데 시간을 할애해야 하는지 납득할 수 없었기 때문이다. 그때 나에겐 제니퍼 울렛처럼 어째서 내 생각이 잘못됐는지 조곤조곤 설명해줄 사람이 필요했다. 그녀는 모든 영문학 전공자가 꿈꾸는 수학 선생님이다. 재미있고 똑똑하며 전염성 열정에 물들어 있는 데다 ‘버피’의 대사를 제대로 써먹을 줄도 안다. 이 책으로 그녀는 저스틴 비버보다 적분에 친숙한 사람이 더 많아질 날을 앞당긴다.”
- 피터 새갈Peter Sagal, 미국 공영방송 NPR의 프로그램 <잠시만 기다려주세요, 제가 답할게요!Wait Wait... Don't Tell Me!>의 진행자

“유익하면서도 재미있는 『미적분 다이어리』는 추상적 개념을 무미건조하게 탐구하는 책이 아니다. 이 책은 일상생활의 길잡이로, 자동차 여행, 롤러코스터, 다이어트와 운동, 담보 대출과 부동산 거품은 물론 인맥까지 망라해 다룬다. 울렛이 자신의 학습 경험을 찬찬히 얘기하는 가운데 그녀와 남편은 등장인물이 되어 뉴턴, 가우디, 정복왕 윌리엄 같은 괴짜들과 나란히 선다. 뛰어난 춤 선생님처럼 울렛이 우리를 어찌나 부드럽게 이끌어주는지 우리는 혼자서 미끄러지듯이 나아가고 있다고 착각하게 된다.”
- 마이클 심스Michael Sims, 『아담의 배꼽: 인체의 자연사와 문화사Adam's Navel: A Natural and Cultural History of the Human Form』의 저자

“좀비? 파도타기? 도박? 그 누구도 미적분을 이런 데 쓸 수 있다고 말해주지 않았다. 고등학교 수학 선생님, 다시 가르쳐주세요!”
- 칼 짐머Carl Zimmer, 『기생충 제국Parasite Rex and The Tangled Bank: An Introduction to Evolution』의 저자

“영화 〈배트맨 비긴즈〉, 〈스파이더맨〉, 〈슈퍼맨〉처럼 『미적분 다이어리』는 통찰력 있고 창의적이며 부지런한 젊은이가 막강한 힘을 얻은 후 그걸 공익을 위해 쓴다는 이야기다. 단, 이 이야기만 실화다. 제니퍼 울렛은 하늘을 날 수도 거미줄을 뽑아낼 수도 없지만 이야기를 뽑아낼 수는 있다. 『미적분 다이어리』는 저자가 수학에 빠져드는 과정, 수학을 정복해가며(유레카!) 좀 더 날카로운 시선으로 세상을 바라보게 되는 과정을 담고 있다. 수많은 사람들에게 수학, 특히 미적분은 골칫거리다. 하지만 울렛은 수학의 정체- 문제를 해결하는 강력한 수단이자 자연을 설명하는 정교한 언어- 를 밝혀준다. 이 책을 읽으면 당신은 더욱더 영리해지고 더욱더 강해질 것이다.”
- 에릭 로스턴Eric Roston, 『탄소 시대The Carbon Age』의 저자

ㆍ 옮긴이 말 중에서

우리 눈의 주변부는 중심부보다 시력이 나쁘고 색각도 약하지만, 약한 빛을 보는 힘은 더 강하기 때문이다. 요컨대 어두운 곳에서 어떤 대상을 보려면 그것의 ‘주변’을 ‘멍하니’ 바라보아야 한다. 기를 쓰고 대상 자체에 집중하려 들면 오히려 역효과만 나게 마련이다.
억지스러운 유추일지 모르겠으나, 뭔가를 배울 때도 마찬가지일 듯싶다. 쉬운 개념이라면 정면으로 돌파하는 게 효과적이겠지만, 어려운 개념이라면 마음을 비우고 주변 맥락부터 찬찬히 살피는 편이 낫지 않을까?
이 책의 저자 제니퍼 울렛이 미적분에 접근하는 방법도 사실상 그런 ‘맥락 살피기’에 해당한다. 수학 열등생임을 자처하는 영문학 전공자로서 저자는 이를 악물고 미적분 교과서만 파고드는 것이 아니라, 누가 어쩌다 이 몹쓸 미적분을 만들어냈는지, 이놈의 미적분을 도대체 어디에 써먹을 수 있는지, 우리 주변에 미적분의 원리가 숨어 있는 곳은 어디인지 등등부터 느긋하게 알아보려 한다. 이 책은 저자가 그런 식으로 미적분의 주변을 둘러보다 보니 어느새 미적분과 친해져버린 과정을 담고 있다.

<책속으로 추가>

기압파를 감지한 뇌는 그 신호에 대해 푸리에 변환을 수행해 ‘소리’의 진동수와 진폭을 식별한다. 귀는 압력의 변화를 시간의 함수로 평가한다. 그것은 하나의 음일 때도 있고, 음악의 화음처럼 뭉친 여러 음일 때도 있다. 어느 경우든 뇌는 푸리에 변환으로 전체 음파의 구성 요소를 밝혀낸다. 마찬가지로 우리가 노을을 보고 특정 빛깔- 화려한 선홍빛이든 미묘한 핑크빛이든- 을 알아볼 때마다 우리 뇌는 푸리에 변환으로 특정 진동수의 빛을 분리해낸다. 서퍼가 파도를 쳐다볼 때 그의 뇌 또한 이와 비슷한 계산을 하고 있다.
(pp. 302~303)

감사의 글 9
프롤로그: 더 수학적인 사람이 될 수 있을 텐데 15

1장 무한대 너머로 27
2장 미치도록 달리고 싶다 61
3장 카지노 로열 91
4장 악마의 놀이터 125
5장 돈 구경 좀 해볼까? 157
6장 이런 제길! 181
7장 보디 히트 215
8장 현수선 이야기 251
9장 파도타기 여행 277

에필로그: 수학의 미메시스 305
부록 1: 직접 계산해보기 321
부록 2: 좀비 대재앙에서 살아남기 353
옮긴이 말 359
참고문헌 362
찾아보기 369

뉴턴이 나무에서 떨어지는 사과를 보고 중력의 핵심을 간파했다는 유명한 (하지만 사실이 아닐 듯한) 일화를 생각해보자. 사과의 위치와 속도는 매 순간 변화한다. 물리학자들이 타임 제로(시간 변수 t 값이 0일 때)라고 부르는 시간에는 사과가 아직 나무에 매달려 있다. 몇 분의 1초 후에는 사과가 떨어지기 시작하고, 또 몇 분의 1초 후에는 나뭇가지에서 땅으로 가는 도중이고 등등. 사과는 매우 조금씩(이를 ‘무한소’라 부른다) 낙하하다 결국 땅이나 뉴턴 머리에 떨어진다. 여기서 특정 시각에 대한 사과의 위치를 나타내는 작은 점을 데카르트 좌표계에 하나하나 찍고 연결하면, 포물선의 절반에 해당하는 곡선이 나온다.
곡선을 그린 다음, 뉴턴은 페르마의 이전 연구를 이용해 곡선의 접선 기울기 계산법을 알아냈다. 그 기울기가 바로 미분계수인데, 뉴턴은 이를 ‘유율 fluxion’이라고 일컬었다. 이어서 그는 곡선의 아래 넓이 계산이 정반대 과정에 해당함을 깨달았다. 뉴턴이 통찰한 핵심은 미분계수와 적분의 관계다. 곡선 아래 넓이 계산(적분)은 접선 기울기 계산(미분)의 역이다. 이게 바로 미적분의 기본 정리다.
(pp.45~46)

이것은 미적분 초보자에게 가장 흔한 걸림돌이 된다. 0.9999…라는 개념이 사실상 1과 같다니! 어느 늦은 밤 내가 극한을 이해하려고 끙끙대고 있을 때, 남편 숀은 이걸 끈기 있게 설명해주었다. 하지만 나 역시 이 수학적 사실을 선뜻 받아들이지 못했다. 직관적으로 우리는 분수를 유한합이라고 생각한다. 아무튼 우리는 파이의 19조각을 먹어본 적이 있지 않은가. 하지만 우리는 π나 황금비 φ 같은 무리수에 대해서도 배운다. 무리수에서는 일련의 소수 전개가 그야말로 영원히 계속된다.
바로 그게 내 실수였다. 나는 0.999…가 1에 점점 가까워지되 정확히 그 값에 이르지는 않는 무리수라고 생각했다. 이는 사실이 아니다. 0.999…는 소수부에서 같은 수가 끝없이 반복되는 유리수이고, 따라서 유한합이 있다. 이 무한소수의 극한은 1이다. 이 말은 곧 0.999…가 무한급수가 아니라 일정한 값이라는 뜻이다. 모순 같기도 하지만, 사뭇 다른 두 수학적 표기는 그럼에도 같은 수를 나타낸다. 수학 선생님에게 0.999999…는 1의 다른 표기법일 뿐이다.
(pp.57~58)

타워오브테러에서 우리는 스릴감뿐 아니라 고전 역학에 관련된 미적분의 탁월한 예도 얻을 수 있다. 물론 우리의 물리적 운동은 수직으로 오르내리는 운동이다. 그러나 ‘시간’에 따른 높이(위치) 변화를 한 점 한 점 데카르트 좌표계에 찍은 다음(상승 궤적과 하강 궤적 모두) 그 점들을 이으면, 아까 숀을 그렇게 기쁘게 한 포물선이 뚜렷이 나타날 것이다(사과의 경우도 마찬가지다).
어째서 그렇게 될까? 우선 시작 속도부터 생각해보자. 그것은 0이아니다. 지금 우리는 놀이기구의 출발 시점(이때 속도는 0이다)이 아니라 자유낙하 시작 시점의 속도를 이야기하고 있기 때문이다.
(pp.134~135)

좀비화 과정의 확립된 규칙은 이러하다. 좀비는 머리를 자르거나 해서 뇌를 파괴하면 죽일 수 있다. 예비감염자는 좀비한테 물리면 좀비가 된다. 하지만 사망자가 부활해 좀비가 되기도 한다. 가령 매시간 예비감염자 6명이 좀비가 되고 사망자 4명이 좀비로 부활한다면, 매시간 좀비가 10마리씩 생길 것이다. 그런데 우리가 어떻게든 매시간 3마리씩 죽인다고 치자. 그러면 좀비 수가 결국 시간당 7마리꼴로 늘어날 것이다. 그런 속도라면 이른바 ‘만연 상태’, 즉 편안한 균형 상태 내지 평화로운 공존 상태가 유지될 가능성은 없을 것이다.
스미스의 모델은 거기서 끝나지 않는다. 그것은 단지 좀비 수 변화율의 계산 방식일 뿐이다. 우리는 사망자와 예비감염자 수가 바뀌는 방식도 방정식으로 만들어야 한다. 즉 인간의 출생·사망률도 감안해야 한다는 뜻이다. 이를 보통 ‘연립 상미분방정식’이라고 부르는데, 이 용어는 한 방정식이 아니라 연립하는 세 방정식으로 설명해야 하는 체계를 복잡하게 표현한 말일 뿐이다. 여기서 세 방정식은 각각 예비감염자 수의 변화 방식, 좀비 수의 변화 방식, 사망자 수의 변화 방식을 나타낸다.
(pp.203~204)

이제 미적분이 도움이 될 것이다. 이 경우 우리는 하루 섭취 허용 칼로리와 식비 예산이 정해진 상황에서 ‘맛’, 즉 음식에서 얻는 즐거움을 극대화하고 싶다. 이 수수께끼를 풀기 위해 우리는 맛( y)을 다이어트 식단( f )의 함수 그래프로 그려보려고 한다. y는 ‘yummy(맛있는)’의 머리글자이고, f 는 식단의 구성 요소로 우리가 좋아하는 온갖 음식(food)이다. 하루 섭취 허용 칼로리가 2000이고 식비 예산이 40달러라면, 두 상수의 한계선 안에서 우리는 지금 식단을 어떻게 조정해야 맛( y)을 극대화할 수 있을까?
(pp.244)