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왜 우리는 끝없는 것에 매력을 느낄까?

『무한으로 가는 안내서』는 인류 역사상 가장 기이한 관념 가운데 하나인 ‘무한’에 관한 이야기를 풀어낸 책이다. 아리스토텔레스, 칸트, 칸토어, 아인슈타인 등 여러 수학자와 철학자들은 무한이라는 개념을 어떤 방식으로 이해하고 있었는지 살펴보고 ‘무한’이라는 개념의 발전과 현대, 그리고 미래에 사용될 무한에 대해 알아본다. 제논의 역설에서 끈 이론까지 철학, 수학, 물리학, 신학을 넘나들며 미묘하고 거대한 무한을 탐험하면서 무한에 관한 흥미로운 주제들을 풀어내고 있다.

철학, 수학, 우주론, 신학에 등장하는
온갖 형태의 무한을 한 권에 담았다!

이 책은 세상에서 가장 큰 주제를 다룬다. 있을 수 있는 모든 것으로 여행자를 안내하는 궁극적인 안내서, 때로는 버겁고 때로는 쉬운 무한으로 가는 안내서이다. 무한은 수천 년 동안 인류의 정신에 나타났다. 무한을 이해하면서 무한의 콧대를 꺾는 것, 무한이 다양한 모습과 크기로 등장하는지 살펴보는 것, 우리 인간이 기술하는 우주에 무한을 기꺼이 포함할지 혹은 배제할지를 결정하는 것은 신학자들과 과학자들에게 공히 부여된 과제이다. 무한은 문제일까, 아니면 해답일까? _머리말 中에서

시대를 관통한 ‘무한’의 살아 있는 역사
왜 우리는 끝없는 것에 매력을 느낄까?
무한은 매력적인 대상이다. 한때 무한은 가장 불온한 관념이었으며, 무한은 언급했다는 이유만으로 화형당한 과학자도 있었다. 무한은 인간이 던지는 모든 근본적인 질문의 중심에 자리하고 있다. 우주에 끝이 있을까? 우주에 경계가 있을까? 우리는 영원히 살 수 있을까? 모든 것들은 무한히 쪼개질 수 있을까? 수학자이자 물리학자인 존 배로의 『무한으로 가는 안내서』(원제 : The Infinite Book)는 철학, 물리학, 수학, 우주론, 신학에서 만날 수 있는 여러 다양한 무한을 탐험하는 책이다.
무한은 인간의 인식을 넘어선 ‘상상할 수 없는 것’이다. 왜 인간은 상상할 수조차 없이 가장 큰 주제인 무한에 사로잡힐 수밖에 없는 것일까? 도처에 ‘무한’이 널려 있기 때문일까? 인간은 그저 캄캄한 밤하늘을 바라보는 것만으로도, 세상에서 가장 큰 수를 생각해보려고 하는 것만으로도 ‘무한’을 만날 수밖에 없다. 별이 반짝이는 밤의 어둠 속에서 우리가 속한 지구는 한갓 미미한 점에 불과하고, 멀리멀리 끝없이 이어지는 어둠은 우리를 무한에 대한 생각으로 인도한다. 끝은 어디에 있을까? 끝 너머엔 무엇이 있을까?
수천 년 동안 수학자, 물리학자, 철학자들이 ‘무한’을 다루면서 발견한 것은 ‘역설’이었다. 이 책은 철학, 수학, 물리학, 신학 등에서 언급되는 ‘무한’을 들여다보면서, 과연 참된 무한이 우리의 유한한 우주 속에서 실현될 수 있는지, 무한을 사건을 부적절하게 기술할 때 생기는 헛것에 불과한지, 우주의 논리적 일관성을 기술하는 원리에 의해 실재에서 추방당한 것인지, 수학에서는 어떻게 더 큰 무한과 더 작은 무한을 구별하게 되었는지 등을 찬찬히 살펴본다. 이 책에서 새삼스레 확인할 수 있는 것은 ‘무한’이라고 해서 다 같은 무한이 아니라는 점이다. 우주와 같은 거대한 무한도 있고, 끝없이 쪼개어지는 손바닥 안의 무한한 내부 공간도 있듯이, 저자는 ‘수학적인’ 무한도 있고, ‘물리적인’ 무한도 있으며, ‘절대적인’ 무한도 있다고 지적한다. 그리고 저자는 “다양한 무한을 믿거나 믿지 않는 입장들은 모두 정당하다”라고 말한다.
저자가 안내하는 곳은 공간과 시간과 물질의 끝 언저리이다. ‘무한’이라는 궁극적인 질문에 대한 해답을 찾기 위해서는 끝에 도달하지 못하더라도 끝에 다가가야만 한다.
독자들은 온갖 형태의, 온갖 크기의 무한, 즉 제논의 역설, 아리스토텔레스의 무한, 파스칼의 확률론, 힐베르트의 무한 호텔, 칸토어의 무한집합론, 우주론에서의 무한, 무한 복제 역설, 무한기계, 시간여행의 역설 등 사유의 폭을 확장시킬 수 있을 것이다.

무한은 세 가지 모습으로 온다!
시간도, 끝도, 가장자리도 없는 곳에 관한 안내서

이 무한한 공간의 영원한 침묵이 나를 두렵게 한다.
_파스칼, 『팡세』

저자가 언급하는 여러 다양한 ‘무한’을 이해하려면 무한의 종류, 즉 절대적 무한, 수학적 무한, 물리적 무한을 구분할 필요가 있다. 여기서 절대적 무한은 ‘신 정신 속의 무한’이며, 수학적 무한은 ‘인간 정신 속의 무한’, 물리적 무한은 ‘물리적인 우주 속의 무한’과 관련이 깊다.
수학적 무한을 얘기할 때 빠질 수 없는 수학자는 비운의 수학자인 게오르크 칸토어이다. 그는 ‘유한주의’ 수학자들에 맞서 무한집합론을 정초한 수학자이다. 칸토어는 무한을 추방하거나 존재하지 않는 것으로 간주하려 했던 수학자들의 반대에도 ‘무한’을 끝까지 물고 늘어져, 하나의 무한집합이 다른 무한집합보다 크기가 크다거나(자연수로 이뤄진 무한집합보다 실수로 이뤄진 무한집합이 더 크다), 끝없이 계속되는 무한의 위계가 존재한다거나, 다른 모든 무한을 포함하는 가장 큰 무한은 존재하지 않는다는 것을 증명했다. 이러한 수학적 무한은 칸토어가 살아 있을 당시에는 그 진가를 인정받지 못했지만, 오늘날에는 수학적 무한의 존재 가능성을 인정하지 않는 유한주의자를 찾기 힘들다.
물리적 무한은 수학적 무한보다 훨씬 더 극적이다. 수학적 무한은 종이 위에 있지만, 물리적 무한은 시간과 공간에 대한 관점을 완전히 바꾸기 때문이다. 가령 밀도나 온도, 가속도와 같은 물리적인 양이 무한해진다고 가정해보자. 어떤 물리적인 양이 무한해지는 이런 ‘특이점’은 과연 존재할까? 이 물리적 무한에 대한 입장은 다양하다. 연구하는 모형이 불완전하기 때문에 물리적 무한이 등장한다는 입장을 취하는 과학자들이 있는가 하면, 끈이론을 주장하는 이들처럼 물리적 무한을 제거하는 과학자들도 있고, 로저 펜로즈처럼 최초의 무한이 우주론의 필수 요소라고 생각하는 우주론자도 있다.
절대적 무한에 관한 논의는 ‘존재론적 신 존재 증명’이라는 역사가 긴 증명과 맞닿아 있다. 이들 증명은 ‘증명이 필요한 전제를 토대로 한 증명’이기도 해서 가장 많은 논란을 불러일으킨 증명들 중 하나다. 그래서 증명이 지닌 난점을 공격하는 증명도 많이 등장했다. 가령 신이 모든 속성을 가진 존재라고 정의된다면, 신은 존재를 속성으로 가져야 하고 따라서 존재해야 한다. 그러나 비존재도 속성이므로 신은 비존재의 속성을 가져야 하고 따라서 존재하지 않아야 한다는 결론에 도달하는 것이다. 이처럼 저자는 철학적이고 신학적인 대표적인 증명인 안셀무스의 존재론적 신 존재 증명, 괴델의 존재론적 신 존재 증명 등을 거론하면서, 이들 증명이 지닌 난점들을 어떤 의미를 지니는지를 주도면밀하게 소개한다.
‘무한’과 관련한 또 다른 기이한 문제로는 ‘무한한 우주’라는 관념을 들 수 있다. 우주는 무한히 펼쳐져 있을까, 아니면 끝이 있을까? 우리는 아직 우주가 유한한지 무한한지 알지 못한다. 현재 우주론 가운데 가장 널리 알려진 인플레이션(급팽창) 우주론은 무한히 많은 수의 다른 우주가 존재할 수도 있으며, 우리 우주와는 다른 물리법칙이 적용될 수도 있다는 가능성을 배제하지 않고 있다.
그러면 무한한 우주라면 어떤 일이 생길까? 만일 우주가 무한하다면, 발생 확률이 0이 아닌 모든 일은 무한히 자주 일어나야 하며, 우리들 각각이 하는 행동과 동일한 행동을 하는 우리들의 복사본이 무한히 많이 존재해야 한다. 이러한 ‘무한 복제 역설’을 피할 수 있는 방법은 무엇일까? 대표적인 것으로는 우주가 유한하다고 주장하는 방법, 이것이 아니라면 빛의 속도가 유한하므로 우리가 무한한 우주의 유한한 부분만 볼 수 있으며 우리가 우리의 복사본을 만날 확률을 거의 없다고 주장하는 방법, 다른 곳에서 생명이 발생할 확률이 0이라고 주장하는 방법 등이 있을 수 있다. 여기서 등장하는 더 복잡한 문제는 우주가 무한할 때 불가피하게 제기될 수밖에 없는 ‘윤리’ 문제이다. 우주에 있는 선(혹은 악)의 총량이 무한하다면 우리의 어떤 행위도 선을 증가시킬 수 없고, 굳이 선을 선택할 필요도 없기 때문이다.
이 책이 흥미롭게 거론하는 마지막 주제는 시간여행이다. 우리는 대개 시간이 앞으로만 쭉 뻗어가는 직선이라고 생각한다. 그러나 과연 그러할까? 만일 시간이 시작과 끝이 맞물린 원이라면 어떻게 될까? 만약 그렇게 된다면 순서는 중요하지 않게 될 것이다. 그리고 시간이 원형이라면 어디서든 괴이한 역설들을 만날 수밖에 없다. 즉 A라는 발명가가 한 발명품의 설계도를 과거 속의 B라는 과학자에게 건네주고, B는 설계도를 그대로 따라한 발명품을 남겼다고 치자. 이 경우 발명품의 아이디어는 어디서 왔을까? B는 A에게서 아이디어를 얻었고, A는 B에게서 아이디어를 얻었다. 그러면 발명품은 무에서 창조된 것일까?
이처럼 철학과 현대 과학을 폭넓게 조망하다보면, 무한과 관련한 기이한 문제들을 줄줄이 만나게 된다. 저자는 우주에 관한 생각, 수에 관한 생각, 다른 우주에 대한 생각 속에서 우리의 정신 깊은 곳에 자리 잡은 ‘무한과 유한의 충돌’이라는 딜레마를 마치 드넓은 광맥을 탐사하듯이 파헤친다. ‘무한’과 비교한다면 그 어떤 긴 이야기일지라도 짧다. 저자는 이 책이 “시간도, 끝도, 가장자리도 없는 곳에 관한 짧은 기록”이라며 다음과 같은 문장으로 책을 끝맺는다. “물질과 우주의 본성을 이해하려는 노력은 전적으로 무한의 안내에만 의지하게 될지도 모른다. 우리는 무한을 지금보다 더 잘 알아야 할 것이다.”

해외 언론의 찬사
존 배로는 명확하면서도 매력적으로 설명하는 놀라운 재능을 지녔다. 심지어 꽤나 이해하기 어려운 개념을 설명할 때조차도. _『샌프란시스코 크로니클』

지적이고 통찰력이 가득하다. 시대를 관통한 무한의 살아 있는 역사가 펼쳐진다. _『엔터테인먼트 위클리』

만약 당신이 윌리엄 블레이크처럼 무한을 손 안에 쥐고 싶다면, 이 책은 당신을 위한 책이다. _『가디언』(런던)

도발적이다. 배로는 명쾌하고 매력적인 작가이다. _『디스커버』

만약 당신이 지적인 레슬링을 즐긴다면 이 책은 당신을 위한 책이다. 이 책은 경이롭고 헤아릴 수 없는 것들, 예를 들어 사랑, 아름다움 그리고 무한을 깨닫게 해준다. 과학은 상상력의 반만큼도 흥미롭지 않다. _『데일리 메일』

머리말ㆍ13

1장 이유 있는 소동
무한에 대한 간략한 안내ㆍ21│무한의 암시ㆍ24│제논의 시간ㆍ42

2장 잠재적 무한과 현실적 무한, 지어낸 무한과 참된 무한
정오의 어둠ㆍ47│아리스토텔레스의 무한ㆍ50│무한과 신ㆍ56│칸트의 무한ㆍ64

3장 무한 호텔에 오신 것을 환영합니다
호텔ㆍ69│무한 호텔 체험ㆍ70│무한 호텔의 회계ㆍ78

4장 무한은 큰 수가 아니다
순박한 오해ㆍ83│작센의 알베르트의 역설ㆍ84│갈릴레이의 역설ㆍ87|카드무스와 하모니아ㆍ94│터미네이터 0, ½, 1ㆍ97│셀 수 있는 무한ㆍ101│셀 수 없는 무한ㆍ103│무한의 탑ㆍ106

5장 칸토어의 광기
칸토어와 그의 아버지ㆍ113│칸토어와 크로네커의 악연ㆍ115│칸토어, 신, 무한-가까운 관계에 있는 셋ㆍ122│슬픈 결말ㆍ127

6장 무한은 세 가지 모습으로 온다
세 봉우리ㆍ131│물리적으로 논의하자ㆍ133│벌거벗은 무한ㆍ144│푸른 하늘 저 너머ㆍ149│뒷발에 차인 무한ㆍ153

7장 우주는 무한할까?
존재하는 모든 것ㆍ157│지하로 들어간 우주론ㆍ165│휘어진 우주ㆍ173│위상수학적 문제ㆍ178│균일성 문제ㆍ183│가속 문제ㆍ190│우리가 아는 것과 모르는 것ㆍ193│밤하늘의 어둠ㆍ194

8장 무한 복제 역설
원본이 없는 우주ㆍ203│위대한 탈출ㆍ207│시간적인 무한 복제 역설ㆍ210│끝없는 이야기ㆍ213│무한의 윤리학ㆍ218

9장 무한히 많은 세계들
다른 세계들의 역사ㆍ229│이 세계 밖으로ㆍ236│인플레이션-이곳, 저곳, 그리고 모든 곳ㆍ245│의식이 있는 존재의 개입-맨 인 블랙ㆍ251│시뮬레이션된 우주ㆍ256│그렇다면 우리는 어떻게 살아야 할까?ㆍ263

10장 무한기계 만들기
슈퍼태스크ㆍ269│톰슨 램프 문지르기ㆍ274│노르웨이 코드ㆍ280│게임 종결 문제ㆍ283│상대성이론과 축소되는 사람ㆍ285│때맞춤의 문제ㆍ289│뉴턴식 슈퍼태스크ㆍ291│상대성이론과 슈퍼태스크ㆍ295│빅뱅과 빅크런치ㆍ300

11장 영원한 삶
유년기의 끝ㆍ307│영생의 사회학ㆍ309│끝없는 미래의 문제ㆍ314│낯선 사람, 친숙한 사람, 잊힌 사람ㆍ318│금지된 시간 여행ㆍ321│할머니 역설ㆍ324│일관된 역사ㆍ326│미래에서 온 관광객ㆍ327│경제계에 뛰어든 시간 여행자들 : 영원한 현금인출기ㆍ330│당신이 과거를 바꿀 수 없는 이유ㆍ332│무한-그것은 어디에서 끝날까?ㆍ336

옮긴이의 말ㆍ339
주ㆍ341
찾아보기ㆍ371

“수천 년 동안 서양에서 무한은 가장 불온한 관념이었다. 사물들이 시작도 끝도 없이, 중심도 가장자리도 없이, 영원히 지속될 수 있다는 생각은 서양의 지혜와는 상반되었다. 그 생각은 서양의 지혜와는 상반되었다. 그 생각은 유일하게 무한한 지위를 점한 전능한신을위협했고, 모든 피조물 각각의 고유하고 특별한 의미를 위협했다. 그 생각은 한갓 가능한 것을 필연적으로 만드는 잠재력을 지니고 있었다.”(22쪽)

“수학자들은 무한을 몹시 꺼렸다. 무한은 모든 신뢰를 파괴하는 ‘논리 세계의 흑사병’으로 간주되었다. 무한을 명확하게 조작할 수 있는 유일한 학문인 수학에서 무한은 재앙을 불어왔다. 결과적으로 수학자들은 무한을 추방하거나 존재하지 않는 것으로 간주하려 했다. 무한을 끝없는 덧셈을 나타내는 단축기호로만 인정하고, 그 이상의 의미를 지닌 무한은 깡그리 제거하려 한 수학자들이 인류 사상사의 거의 모든 시기에 있었다. 이 모든 모호함과 혼란은 19세기에 한 명의 천재 덕분에 갑자기 명료함으로 바뀌었다. 게오르크 칸토어는 무한의 영역에 숨어 있는 풍요를 드러내고 선대 수학자들의 반론을 모두 받아치는 이론을 개발했다.” (99~100쪽)

“칸토어의 발견―다양한 크기의 무한이 있고, 무한을 분명한 방식으로 분류할 수 있다는 사실의 발견―은 수학에서 가장 위대한 발견 중 하나이다. 또 그 발견은 당대의 지배적인 견해와 완전히 대립되었다.”(105쪽)

“끈이론이 가장 기초적인 물질과 에너지에 관한 참된 이론인지 아닌지 우리는 아직 모른다. 그러나 그 이론이 발전하고 입자물리학자들이 수용한다는 사실에서 물리적 무한에 대한 입자물리학자들의 속마음을 읽어낼 수 있다. 입자물리학자들은 물리적 무한의 존재를 믿지 않는다! 유체 연구와 마찬가지로 기본입자에 관한 계산을 할 때 무한이 나타나면, 물리학자들은 이론에 결함이 있다고 판단한다. 무한은, 이론이 유용성을 잃은 근사라는 사실을 보여주는 신호로 간주된다.”(139쪽)

“많은 사람들은 무한이 물리학에서 사용해온 수학 이론이 한계에 도달했음을 알려주는 신호라고 생각한다. 그러나 주의할 필요가 있다. 물리적인 무한의 발생은 불가능하다고 확실히 판단할 수 없는 상황에서, 그것의 등장은 이론에 문제가 있음을 보여주는 증거로 간주하는 것은 경우에 따라서 오류일 수 있다.”(154쪽)

“휘어진 공간은 무한한 우주와 관련한 오래된 딜레마를 해소한다. 핵심 열쇠는 유한하면서 경계가 없는 공간이 있을 수 있다는 사실이다. 3차원 부피를 둘러싼 유한한 2차원 표면이 있는 것처럼, 우리의 3차원 우주가 유한한 4차원 부피를 둘러싼 유한하고 경계가 없는 휘어진 표면일 수 있다. 이때 그 4차원 부피는 물리적인 실재일 필요가 없다.”(177쪽)

“우리의 우주는 무한할지도 모른다. 그러나 정말로 무한한지 아닌지는 가장 잘 감춰진 비밀 중 하나다. 무한은 유한에 의해 가려져 있다. 무한은 정보가 퍼져나가는 속도의 한계에 의해 보호된다. 당신은 우주가 무한한지 아닌지를 발견할 수 있다. 그러나 그것을 발견하는 데는 무한한 시간이 걸릴 것이다.” (194쪽)

“시간 여행에 관한 논의에서 우리가 얻는 교훈은, 시간 여행이 영원한 삶의 비법을 제공하지 않는다는 것이다. 시간 여행이 실현될 수 있는지 우리는 모른다. 시간 여행을 허용하는 아인슈타인 방정식의 해들은 극히 예외적이며 우리가 우주 안에서 관찰한 상황들과 거의 관계가 없다. 그러나 누가 알겠는가? 어쩌면 우리가 적절한 장소를 아직 관찰하지 못한 것일지도 모른다. 닫힌 시간의 고리는 유한히 많은 가능성들만으로 이루어진 끝없는 미래를 가능케 한다.” (336쪽)