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페렐만의 살아있는 수학 3 : 대수학

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    출판사 서평

    1. ‘푸앙카레의 추측’을 푸는 힘

    2006년 12월 미국의 과학전문지 사이언스는 ‘2006년 과학계를 빛낸 최고의 연구 성과’ ‘푸앙카레의 추측’을 증명한 것을 최고의 뉴스로 뽑았다.

    ‘푸앙카레의 추측’이란 ‘어떤 하나의 밀폐된 3차원 공간에서 모든 밀폐된 곡선이 수축돼 하나의 점이 될 수 있다면 이 공간은 반드시 원구(圓球)로 변형될 수 있다’는 추론이다. 예를 들면 상자와 공이 변형을 거듭하면 같은 ‘구’가 될 수 있다는 것이다. 우주의 형태를 밝히는 문제와도 관련되어 있다.

    2003년 러시아 수학자 그리고리 페렐만은 ‘푸앙카레의 추측’ 가운데 가설을 해결하는 요령을 제시한 논문 3편을 냈다. 이 논문을 토대로 2006년 중국 중산대 주시핑 교수와 칭화대 차오화이둥 교수가 문제를 풀어냈다. 하지만 이 연구의 기초를 제공한 페렐만은 수학계의 노벨상인 ‘필즈상’ 수상을 거부하고 학계를 은퇴하고 어머니와 단 둘이서 살고 있다고 한다.

    위와 같은 뉴스를 접하고 사람들은 그리고리 페렐만이 천재임에 틀림이 없다고 생각한다. 그리고 괴짜이기까지 하다고 생각을 한다.

    하지만 그는 평범한 수학자이다. 그가 100년 동안 아무도 풀지 못한 ‘푸앙카레의 추측’의 단서를 낸 것은 그가 천재이기 때문도 우연함 때문도 아니었다. 그것은 그가 수학과 친할 수 있는, 더 나아가서는 과학과 친할 수 있는 환경 속에서 살았기 때문이다.

    우리는 러시아가 기초과학이 매우 발달한 나라이라는 것을 알고 있다. 한국의 대기업들의 상품들의 많은 부분이 러시아의 기초과학 기술을 응용한 것이라는 것은 이제 더 이상 새삼스러운 것이 아니다. 어떻게 그것이 가능했을까? 러시아 사람들은 과학과 친해질 수 있는 방법을 이미 100년 전부터 알고 있었기 때문이다. 그리고 그 정상에 서 있는 사람이 바로 야콥 페렐만이다. 그리고 그는 그리고리 페렐만의 증조 할아버지이다. 어쩌면 수학에서 천재성을 발휘한 것이 아주 당연한 결과일지도 모르겠다.

    2. 창의력만이 당신을 1% 안으로 진입시킬 수 있다.

    동양사람들에게 가장 부족한 것은 문제를 푸는 능력이 아니라 창의력이라고 한다. 주어진 문제를 식과 명제를 가지고 풀어내는 능력은 동양인들 특히 한국인들은 타의 추종을 불허할 정도이다. 하지만 일상의 언어를 수학적인 언어로 바꾸는 창의력이 필요한 것은 한국인들이 잘하지 못한다. 그것은 50년 넘게 이어온 우리 공교육의 문제점이고 최근 들어서 그러한 공교육의 문제점을 해결하기 위한 다양한 방법들이 제시되고 있다.

    <<페렐만의 살아있는 수학>> 시리즈는 바로 그러한 창의력을 키워주는 책이다. <<페렐만의 살아있는 수학3-대수학>>에서 가장 중요하게 다루어야 하는 것은 일상의 언어를 대수학 언어로 바꾸는 방법이다. 길고 복잡한 일상의 언어를 간단한 대수학 언어를 바꾸는 것은 사실 매우 어려운 일이다. 그것은 한 두개의 문제를 푼다고 해서 금방 능력이 탁월해지는 것이 아니다. 그것은 오랜 훈련과 학습을 통해서만이 가능한 것이다. 이 책은 그런 훈련을 책을 읽는 동안 꾸준하게 시켜준다.

    만들어져 있는 컴퓨터의 프로그램과 만들어져 있는 일상 용품들을 사용하는데 익숙하고 그것에서 만족을 느끼는 99%의 사람으로 남고 싶다면 어쩌면 이 책은 그 사람들에게 전혀 필요하지 않은 책이 될 것이다. 왜냐하면 머리를 지끈거리며 복잡하게 만들어야 할 이유가 하나도 없기 때문이다. 하지만 세상을 리드하는 1%의 사람이 되고자 한다면 반드시 이 책을 읽어 보기를 권한다.

    당신이 어떤 직업을 가지고 있는지는 중요하지 않다. 당신이 지금 하고 있는 일에서 창의력을 발휘할 수 있는 능력이 있는지 없는지를 알아보는데 아주 중요한 지침이 될 수 있는 책이기 때문이다.

    만약 독자 여러분이 이 책을 읽으면서 자신에게 창의력의 무한한 가능성을 발견했다면 여러분들은 자신의 일에서 1% 안에 들 수 있는 가능성이 있다는 것을 의미한다.

    목차

    저자 머릿말- 혼자서 공부할 수 있는 대수학

    추천사- Creative man creates himself

    01 수학의 다섯 번째 연산법

    1. 천문학적 수 / 2. 자물쇠의 비밀/ 3. 미신을 믿는 자전거 주인/ 4. 반복되는 곱의 결과/ 5. 체스게임의 경우의 수/ 6. 체스 로봇의 비밀/ 7. 세 개의 2/ 8. 세 개의 3/ 9. 세 개의 4/ 10. 세 개의 같은 수/ 11. 네 개의 1/ 12. 네 개의 2

    자연과 대수학

    공기의 무게는 얼마일까/ 어떤 물건이 탄다는 것은 고온에서만 일어날까/ 날씨의 경우의 수

    02 대수학 언어

    1. 디오판토스의 삶/ 2. 말과 노새/ 3. 네 형제/ 4. 강변의 새/ 5. 산책/ 6. 벌초 조합/ 7. 목초지의 암소/ 8. 뉴턴이 낸 문제/ 9. 시계바늘 옮기기/ 10. 시계 바늘의 일치/ 11. 상상의 난센스/ 12. 방정식은 우리를 배려한다/ 13. 뜻밖의 결과/ 14. 미장원에서/ 15. 궤도 전차와 보행자/ 16. 증기선과 뗏목/ 17. 커피 캔 두 개/ 18. 파티/ 19. 해양 정찰/ 20. 경륜장/ 21. 오토바이 경주/ 22. 주행 평균속도

    계산기와 대수학

    계산기의 원리

    03 연산에 유용한 방법들

    1. 빠른 곱셈/ 2. 숫자 1, 5, 6/ 3. 수 25와 76/ 4. 끝없는 수/ 5. 추가 지불액/ 6. 어떤 수가 11의 배수인지 확인하는 법/ 7. 자동차 번호/ 8. 어떤 수가 19의 배수인지 확인하는 법/ 9. 소피 제르멩의 정리/ 10. 합성수/ 11. 소수/

    마술과 대수학

    수를 알아맞히는 기술

    04 디오판토스 방정식

    1. 스웨터 구매/ 2. 상점의 장부 감사/ 3. 우표 구입/ 4. 과일 구입/  5. 생일 알아 맞추기/ 6. 닭 판매/ 7. 두 수와 사칙 연산/ 8. 어떤 직사각형일까?/ 9. 두 자릿수의 두 수/ 10. 세제곱의 부정방정식/ 11. 십만 마르크짜리 정리

    피타고라스와 대수학

    피타고라스 수

    05 여섯 번째 연산법과 이차 방정식

    1. 여섯 번째 연산법/ 2. 어떤 것이 더 큰가?/ 3. 단숨에 문제 풀기/ 4. 대수학 코미디/ 5. 악수하기/ 6. 벌떼/ 7. 원숭이 무리/ 8. 방정식의 예측성/ 9. 오일러의 문제/ 10. 어려운 문제/ 11. 어떤 수일까

    인력(引力)과 대수학

    달의 공전에 관한 대수학

    06 최대값과 최소값

    1. 두 대의 기차/ 2. 어디에 간이역을 세워야 할까/ 3. 도로를 어떻게 연결해야 할까/ 4. 곱은 언제 최대가 될까/ 5. 합이 최소값을 갖는 경우/ 6. 가장 부피가 큰 직육면체 만들기/ 7. 두 지역/ 8. 연/ 9. 집 짓기/ 10. 별장의 땅/ 11. 단면의 면적이 최대가 되는 물받이 홈통/ 12. 깔때기의 최대용적/ 13. 가장 선명한 빛

    산술적 계산과 대수학

    계산의 상대성/대수학이 사용되지 않아 더 간단한 경우

    07 수열과 일곱 번째 연산법

    1. 고대의 수열/ 2. 모눈종이 위의 대수학/ 3. 텃밭에 물 뿌리기/ 4. 닭 모이 주기/ 5. 땅파기/ 6. 사과/ 7. 말편자에 박힌 못의 가격/ 8. 한 군인이 받은 포상금/ 9. 일곱 번째 연산법-로그/ 10. 로그의 경쟁자/ 11. 로그표의 진화/ 12. 로그의 경이로움/ 13. 무대 위의 로그/ 14. 축산농장에서의 로그/ 15. 음악에서 사용되는 로그/ 16. 별, 소음 그리고 로그/ 17. 전기 조명에서의 로그/ 18. 로그 코미디/ 19. 부정(不定) 수-세 개의 2

    경제와 대수학

    벤자민 프랭클린의 유서/ 지속적으로 증가되는 원금/ 무리수 ‘e’

    본문중에서

    . 음악에서 사용되는 로그

    음악가가 수학에 심취하는 일은 드물다. 대부분의 음악가들은 수학이라는 학문에 존경심을 가지면서도 가능한 멀리 떨어져 있길 바란다.

    푸쉬킨의 살리에르(푸쉬키의 희곡 《모짜르트와 살리에르》(1830)-옮긴이)와 같은 ‘화성법을 대수학적으로’ 검토하지도 않는 음악가들이 사실 수학, 특히 이 공포스러운 로그를 생각보다 훨씬 더 자주 접하고 있다는 점이 흥미롭다.

    이와 관련하여 물리학자 A.에이헨발드(A. Eikhenval’d (1863~1944) 러시아의 물리학자-옮긴이) 교수의 논문(이 논문은 《1919년 러시아 천문학 달력》에 게재된 것으로 <크고 작은 거리에 관하여>란 제목으로 출판되었다.-글쓴이) 중에서 한 구절을 발췌해 보겠다.

    “피아노연주는 좋아하지만 수학은 싫어하던 친구가 하나 있었다. 심지어 그는 무시하는 어투로 음악과 수학은 서로 공통점이 전혀 없다고 말했다. ‘사실 피타고라스는 음의 공명(진동)간에 어떤 관계(규칙성)를 발견하였으나, 바로 이 피타고라스의 음계는 음악계에서는 하나도 적용되지 못한 것으로 판명되었다’라고 이야기했다. 한 번 상상해 봐라. 그 친구가 현대식 피아노의 건반을 따라 연주하고 있는데, 사실은 로그를 연주하고 있다고 친구에게 증명하였다면 그는 얼마나 불쾌해 했을까!

    실제로 ‘옥타브’라고 불리는 것이 일정간 간격으로 배열되는 것은 진동 수에 따른 것도, 음의 파장에 따른 것도 아닌, 바로 이들 크기(진동수, 파장)의 로그에 따른 것이다. 여기서 사용된 로그의 밑은 일반적으로 적용되는 10이 아니라, 2만 가능하다.

    가장 낮은 옥타브 do음은 (여기서는 0 옥타브라고 하자) 초당 n번 진동한다. 이때 그 다음옥타브의 do는 1초에 2n번 진동하고, m번째 옥타브의 do는 n×2m번 진동한다. 이런 식으로 피아노의 모든 반음계는 순서에 따라 번호 p로 나타내고, 각 옥타브에서 기본음 do를 0으로 한다. 그러면, sol은 7번째, la는 9번째가 된다. 12번째 음은 옥타브만 올라가고 다시 do가 된다.

    조율된 반음계에서 매번 다음에 오는 음은 그전의 음보다 진동수가 12√2 크므로, 모든 음의 진동수는 다음 공식으로 표현할 수 있다

    ?Npm=n×2m(12√2)p 이 식의 양변을 밑을 2로 하는 로그로 나타내면, log2Npm= log2n+mlog22+plog22/12

    또는 log2Npm=log2n+(m+p/12)log22,

    가장 낮은 do의 진동수를 1 (n=1)로 하면 log22=1(log21=0)이므로 log2Npm=m+p/12.

    여기서 우리는 피아노 건반의 번호는 해당 음의 진동수의 로그임을 알 수 있다(12를 곱한것-글쓴이). 옥타브의 번호는 특성을 나타내고, 그 옥타브에서 음의 번호(12로 나눈어진 것-글쓴이)는 이 로그의 가수를 나타낸다고도 말할 수 있다.”

    ?예를 들어, 세 번째 옥타브 sol음, 즉 수 3+7/12(≒3.583)에서, 수 3은 이 음의 진동수의 로그이고, 7/12(≒0.583)은 밑이 2인 로그의 가수이다. 따라서 진동수는 첫 번째 옥타브 do음의 진동수보다 23.583, 즉 11.98배 크다.

    저자소개

    야콥 페렐만(Yakov I. Perelman) [저] 신작알림 SMS신청 작가DB보기
    생년월일 1882.11.22~1942.03.16
    출생지 벨라루시
    출간도서 6종
    판매수 2,451권

    1882년 벨라루시의 자그마한 도시인 베로스토크에서 태어났다.
    1899년 17살 때 "불의 비를 기다리는 것에 대한 소고"를 한 지방 신문에 발표하면서 저술 활동을 시작했다.
    1901년 상트페테르부르크의 임학대학에 입학한 후 수학과 물리학에 많은 관심을 갖고 꾸준하게 연구를 하면서 17년간 발행되었던 잡지 [자연과 사람]에 500편의 글을 발표했다.
    1913년 [교양 물리]의 제 1권이 발간되었고, 센세이션을 일으키면서 베스트셀러가 되었다. 이것에 힘입어

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