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『톰슨의 쉬운 미적분』은 보통 미적분이라는 공포스런 이름으로 불리지만 알고 보면 아름다운 수학의 한 방법에 대한 가장 간편하고도 쉬운 입문서이다. 이 책은 미적분을 처음 배우려는 학생만이 아니라 어느 정도 배운 상태에서 미적분의 핵심을 다시 한 번 파악해보고 싶어 하는 학생, 학창시절에 배운 미적분 지식을 되살리고 싶은 일반인, 학생들에게 미적분을 어떻게 가르쳐야 하는지를 고민하는 교사에게도 도움이 될 것 같다.

수학의 한 방법인 미적분에 대해 알기 쉽게 설명해주는 책이다. 미분과 적분의 기본적인 개념과 그 응용기법을 효과적으로 익힐 수 있게 해준다. 처음 발간된 지 백년이 지난 책이지만 지금도 전 세계에서 미적분의 교과서 내지 참고서로 많이 읽히고 있다.

이 책은 영국의 과학자인 실베이너스 필립스 톰슨이 집필해 1910년에 펴냈던 Calculus Made Easy를 우리말로 옮긴 것이다.
지금으로부터 100년 전에 영국에서 출판된 이 책을 지금 우리말로 번역해 펴내게 된 것은 그 내용이 지금 우리나라에서 미적분을 배우는 고등학생이나 대학생에게 좋은 교과서 내지 참고서가 된다고 판단됐기 때문이라고 옮긴이는 말한다. 사실 지금 우리나라의 학생들이 미적분을 처음 배울 때 사용하는 그 어떤 교과서나 참고서보다 이 책이 더 낫다고 여겨지는 측면도 있다.
생전에 명쾌하고 알기 쉬운 저술과 강연으로 유명한 학자였던 톰슨은 이 책에서도 일상적인 언어로부터 미적분의 주요 개념들을 이끌어내며 설명해주는 등 미적분 초보자의 눈높이에서 미적분을 친절하게 가르쳐준다. 그래서 이 책은 미적분이라는 수학의 한 분야에 확실하게 첫 발을 내디딜 수 있게 해준다.
이런 강점은 수학책으로는 이례적으로 처음 출판된 지 100년이나 지난 지금까지도 생명력을 유지하게 된 비결인 것으로 보인다. 지금도 전 세계에서 많은 학생들은 물론이고 직업상 미적분을 알아야 하거나 학생시절에 배운 미적분에 관한 지식을 되살려보고자 하는 일반인 가운데서도 많은 사람들이 이 책을 구해 읽고 있다.
미국의 인터넷 서점 아마존에 올라온 다음과 같은 독자들의 서평을 보면 이 책의 가치가 어디에 있는지에 대한 감을 잡을 수 있을 것이다.
“부전공으로 수학과 물리학도 연구하는 전기공학도이자 25년간의 현업의 경험도 쌓은 나는 뒤늦게 이 책을 읽고 나서 약간의 분노를 느꼈음을 고백하지 않을 수 없다. 그 분노는 다음 두 가지 사실에서 비롯되는 것이다. (1) 나는 미적분을 공부할 때 불운하게도 이 책을 접할 기회가 없었다. (2) 나는 그동안 미적분을 가르쳐준다면서 대중을 좌절시키는 허풍선이 저자의 기능적 헛소리 같은 책만 많이 보았다.”
“나는 2년 전부터 학생들에게 미적분을 가르쳐온 교사인데 몇 주 전에야 비로소 이 책을 우연히 만나게 됐다. 읽어보니 미적분의 철학을 아주 간명한 방식으로 설명함으로써 수학에 능숙하지 않은 사람도 미적분을 이해하기가 쉽게 씌어진 책이라는 사실을 알게 됐다.”
“나는 몇 년간에 걸쳐 대학에서 고등수학을 배우고 공학 분야의 학위를 취득했지만 미적분에 대해 내가 알게 된 것은 모두 다 기계적인 암기와 반복연습의 방식으로 습득된 것이다. 그동안 내가 미적분에 관한 문제에 대해 답을 찾아낼 수 있었던 것은 미적분의 기본원리나 그 기초를 이해했기 때문이 아니라 문제를 푸는 과정을 암기했기 때문이었다. 학교를 졸업하고 나서 여러 해가 지난 뒤에야 나는 이 책을 사서 읽게 됐다. 마치 어둠 속에서 불이 켜진 것 같았다.”
우리나라의 입시당국이 몇 년 전에 학생들의 입시부담을 줄여준다는 명분 아래 대학수학능력시험의 인문계 문제에서 미적분을 제외하는 조치를 취했다가 최근에 그 조치를 번복하고 인문계 문제에도 미적분을 다시 포함시키겠다고 발표하자 학생들이 크게 긴장하는 반응을 보인 바 있다. 이는 대학의 자연계 교육에서만이 아니라 인문계 교육에서도 미적분에 대한 지식이 요구된다는 사실을 확인해주는 것인 동시에 미적분에 대해 학생들이 느끼는 부담감이 얼마나 큰 지를 보여주는 것이기도 하다.
그런데 지은이 톰슨은 이 책의 속표지에서 ‘고대 원숭이 속담’이라는 해학적인 출처를 대면서 “어느 한 바보가 할 수 있는 것은 다른 바보도 할 수 있다”는 격언을 들려주는 데 이어 머리말에서 “미적분을 할 줄 아는 바보가 얼마나 많은가?”라고 묻는다. 굳이 풀이하자면, 미적분은 제대로만 배운다면 바보도 배울 수 있을 만큼 쉬운 것이니 겁먹지 말고 이 책을 통해 배워보라는 권유인 셈이다.
이 책은 미적분을 처음 배우려는 학생만이 아니라 어느 정도 배운 상태에서 미적분의 핵심을 다시 한 번 파악해보고 싶어 하는 학생, 학창시절에 배운 미적분 지식을 되살리고 싶은 일반인, 학생들에게 미적분을 어떻게 가르쳐야 하는지를 고민하는 교사에게도 도움이 될 것 같다.

머리말

1장 미리부터 갖게 되는 공포를 없애기 위해
2장 작음의 상이한 정도에 대해
3장 상대적 증가에 대해
4장 가장 단순한 경우의 예
5장 그 다음 단계: 상수를 어떻게 취급할 것인가
6장 함수의 합, 차, 곱, 몫
7장 축차미분
8장 시간이 변화할 때
9장 유용한 우회기법 소개
10장 미분의 기하학적 의미
11장 극대와 극소
12장 곡선의 구부러진 정도
13장 추가로 소개하는 유용한 우회기법
14장 완전한 복리와 유기적 성장의 법칙
15장 사인과 코사인을 다루는 법
16장 편미분
17장 적분
18장 미분의 역과정으로서의 적분
19장 적분으로 넓이 구하기
20장 우회기법, 함정, 그리고 승리
21장 몇 가지 미분방정식의 해 구하기
22장 곡선의 구부러짐에 대한 몇 가지 추가 설명
23장 곡선의 일부인 호의 길이를 구하는 방법

맺음말
미분과 적분의 표준형태
연습문제의 해답
옮긴이의 후기
찾아보기

는 의 작은 조각들을 전부 다 더한다는 뜻이고, 는 의 작은 조각들을 전부 다 더한다는 뜻이다. 수학자들은 보통 이 기호를 ‘~의 적분(the integral of)’이라고 부른다. 이제는 어느 바보도 를 수많은 작은 조각들로 구성된 것으로 간주한다면 그 각각의 작은 조각을 라고 부를 수 있고, 그 작은 조각들을 다 더하면 들의 합(이것은 전부와 같다)이 구해진다는 것을 알 것이다. ‘적분’이라는 말은 ‘전부(the whole)’라는 의미일 뿐이다. (pp. 9-10)

미적분에서 우리는 의 작은 조각을 라고 쓴다. 이렇게 쓰는 , , 와 같은 것들을 우리는 ‘미분(differential)’이라고 부른다. 즉 각각의 경우에 우리는 의 미분, 의 미분, 의 미분이라는 말을 사용한다(이 세 가지 기호는 각각 ‘디 엑스’, ‘디 유’, ‘디 와이’라고 읽는다). 가 의 작은 조각이고 그 자체가 상대적으로 작다고 해서 , , 와 같은 양들을 무시할 수 있다고 생각해서는 안 된다. 그러나 는 두 번째 단계로 작은 양이므로 무시해도 된다. (p. 14)

물체의 질량과 그 물체가 움직이는 속도의 곱을 운동량(momentum)이라고 한다. 이것을 기호로 표시하면 가 된다. 이 운동량을 시간에 대해 미분하면 를 얻게 되는데, 이것은 운동량의 변화율이다. 이 고정된 양이므로 는 로 바꿔 쓸 수 있는데, 위에서 보았듯이 이것은 힘 와 같다. 다시 말해 힘은 질량 곱하기 가속도라고 볼 수도 있고, 운동량의 변화율이라고 볼 수도 있다. (p. 70)

눈앞에 어떤 방정식이 놓여있는데 당신이 그 의 값을 극대값이나 극소값으로 만드는 의 값을 알아내고 싶다면 우선 그 방정식을 미분하고, 그런 다음에 그 가 0과 같다고 놓고 풀어서 의 값을 구하라. 이어 그 특수한 의 값을 애초의 방정식에 집어넣고 계산하면 당신이 찾아야 하는 의 값을 얻게 될 것이다. 이런 과정은 흔히 ‘영(0)으로 놓는 방법’이라고 불린다. (pp. 109-110)

수학자들은 이 신비로운 수 2.7182818…에 그것을 상징하는 기호로 그리스 문자 (‘엡실론’이라고 읽는다)을 붙여주었다. 중학생 정도면 누구나 그리스 문자 (‘파이’라고 읽는다)가 3.141592…를 가리킨다는 사실을 안다. 그런데 그들 가운데 엡실론이 2.71828…을 의미한다는 사실을 아는 학생은 얼마나 될까? 엡실론은 파이보다 훨씬 더 중요한 수다.(p. 157)

는 일반적으로 크기가 유한한 다수의 양을 더하는 것을 가리키는 데 사용되는 반면에 적분기호 는 일반적으로 크기가 무한히 작은 수많은 양을 더하는 것을 가리키는 데 사용된다. 즉 적분기호 은 사실상 알아내고자 하는 것 전부를 구성하는 작은 부분요소들을 다 더한다는 뜻이다. 따라서 가 되고, 가 된다. (p. 207)

원의 반지름이 2배, 3배, 4배 등이 되면 그 원의 곡률이 배, 배, 배 등이 됨을 알 수 있다. 이런 사실은 원의 곡률은 반지름에 반비례한다는 말로 표현된다. 이는 다음과 같이 쓸 수 있다.

여기서 는 상수다. 로 잡기로 우리가 합의한다면 항상 다음과 같이 된다.

반지름이 무한히 커진다면 곡률이 이 된다. (p. 278)

이 책은 독자에게 어느 한 바보가 할 수 있는 일은 다른 바보도 할 수 있음을 보여줌으로써, 미적분과 같이 엄청나게 어려운 주제에 통달했다는 자부심을 갖고 있는 수학의 귀족들이 그렇게 우쭐대기에 충분한 근거를 갖고 있지 못함을 독자로 하여금 알게 해준다. 그들은 미적분은 끔찍하게 어려운 것이라고 당신이 생각하기를 원하며, 그러한 미신이 무참하게 깨지는 것은 원하지 않는다. (p. 308)