’수학’이라는 단어는 사람들에게 먼저 ’어려움’과 ’두려움’을 떠올리게 한다.
저자는 사람들에게 ’수학’이 ’어려움’이나 ’두려움’이 아니라 우리가 살아가는 자연 그 자체이며 ’재미’와 ’호기심’이라는 것을 알려주고자 한다.
이 책을 통해 우리는 ’수학’의 진짜 존재 이유가 무엇이고
수학이 무엇에 쓰는 용도인지,
수학의 대상은 무엇인지,
자연의 패턴이 의미하는 바가 무엇인지,
생명체와 수학은 어떤 관련이 있는지,
앞으로 수학은 어떤 부분이 재미있을지
차분하게 알아볼 수 있다.
(저자의 의도와 달리 수학용어가 적지않아 읽기 어려울 수도 있음...^^)
’방정식’, ’로그’, ’미적분’, 행렬’, ’기하학’까지 생각할 필요도 없다.
우리가 늘 그리워하고 우리를 늘 편안하게 만드는 것들을 생각해보자.
창문 가로, 차창 사이로, 나무 가지 아래로 한 방울씩 떨어지는 물방울...
쏟아지는 비와 비 사이에 드러나는 아름다운 구름...
비가 갠 하늘에 예쁘게 걸쳐지는 무지개...
이 무더운 여름에 생각나는 눈송이...
달마시안, 얼룩말, 호랑이와 표범의 줄 무늬와 얼룩 무늬...
강릉 경포대와 변산반도 격포의 파도...
사하라사막의 모래언덕...
꽃과 꽃잎과 나무와 가지...
밤 하늘을 밝게 비추는 달과 별들...
업무와 약속에 긴장해 있다가도 그것을 바라보거나 그것들을 생각하면 문득 마음이 편안해진다.
이 모든 자연(자연현상)은 하루하루 일상에 찌들어 있는 우리에게 잠시나마 위안을 준다.
’수학’은 인간이 스스로 살아남기 위해 ’수(Number)’를 창조하면서 시작된 것이다.
1,2,3,4,.....
엄밀하게 말하면 ’수’는 실체가 없다.
’수’는 인간의 집단 지성이 만들어낸 개념이고 정신이고 문화이다.
’수학’ 역시 마찬가지이다.
달과 별, 눈송이, 무지개, 물방울, 구름, 꽃과 나무, 파도...
자연은 스스로 온갖 형태를 갖추면서 인간을 유혹하고 인간을 감동하게 한다.
기원전부터 인간은 그런 형태, 즉 패턴에 대한 개념을 조직하고 체계화시키는 과정에 ’수학’을 이용하면서 엄청난 비밀을 발견해 왔다.
그 비밀이란 자연의 패턴이 그저 그 자리에 존재하면서 우리의 칭송만 받는 대상이 아니라,
자연 현상과 과정을 지배하는 규칙들을 알아낼 수 있는 중요한 단서라는 사실이다.
그런 단서들에서 출발해서 그 속에 내재한 법칙과 규칙성을 연역해내는 과정 자체에도 아름다움이 깃들여 있다.
그리고 자연의 패턴들은 아름다울 뿐 아니라 유용하다.
우리가 기본적인 패턴을 식별하는 방법을 배우기만 하면, 그런 배경에서 벗어나는 예외들은 두드러지게 드러날 것이다.
이 책은 < 섹스의 진화 >, <원소의 왕국>, < 마지막 3분 >, <인류의 기원>, <세포의 반란>, <휴먼 브레인>, <에덴의 강>에 이어 - 사이언스 마스터스 시리즈 - 의 여덟 번째 책으로, ’수학의 세계’를 주제로 삼았다.
1. 수학의 질서
- 우리는 끊임없이 새로운 종류의 패턴을 배운다.
인류가 프랙털과 카오스라 불리는 두 가지 패턴을 처음 인식하게 된 것을 불과 30년 전이었다.
- 한마디로 말하자면, 구름의 모습이 프랙털이고 날씨의 변화가 카오스다.
- 피보나치 수열은 해바라기 씨앗을 포함한 자연의 곳곳에서 발견할 수 있다.
- 무지개는 제각기 다른 색을 띠는 원들의 집합이다.
- 구름은 물이 기체에서 액체로 ’상변이(phase transition)’을 일으킬 때 생성된다.
2. 수학의 쓸모
- 공학자의 본능은 자연계와 인공계를 변화시키는 것이다.
자연과학자의 본능은 자연을 이해하고 자연계가 실제로 어떻게 운영되는지 파악하는 것이다.
수학자의 본능은 분명하게 드러나는 세부적인 부분들을 관통하는 보편성을 찾아서 이해의 과정을 구축하는 것이다.
- 수학은 자연에서 관찰되는 패턴이나 불규칙성 뒤편에 숨어있는 법칙과 구조를 찾아내는 체계적인 방법이다.
그런 다음에 그 법칙과 구조를 이용해서 거기에서 무엇이 일어나고 있는지 설명하는 것 역시 수학이다.
- 문화적 측면으로 보면, 수학은 실용적인 방법들에 대해 우려와 불안감을 가지는 소수의 사람들에게 안도감을 주고,
그들로 하여금 그 방법들이 유효한 근본적인 이유를 파고 들어가도록 부추기는 역할을 한다.
- 단기적 관점에서 보면, 수학자들이 미적분의 논리적 타당성에 대해 만족하는가 여부는 별반 중요하지 않다.
그러나 장기적인 안목에서 이러한 내적 차이에 대한 의구심을 좇는 과정에서 얻어진 새로운 사상과 개념들은 외부 세계에 무척 유용하다는 사실이 입증되어 왔다.
- 달팽이가 껍데기를 만드는 방식에는 유전학과 화학이 관여한다.
여기에서 수학은 달팽이의 몸에서 일어나는 여러가지 화학 반응에 의미를 부여하는 분자적인 부기를 만든다.
즉, 수학은 달팽이 껍데기에 사용되는 분자들의 원자적 구조를 기술한다.
그리고 달팽이의 약하고 부드러운 몸체에 비해 단단하고 질긴 껍데기의 특성을 기술한다.
- 사실 수학이 없다면 우리는 물질이 실제로 원자로 이루어져 있는지, 그리고 원자들이 어떤 배열을 하고 있는지를 설득력 있게 설명할 수 없다.
유전에 관여하는 물질인 DNA 분자구조의 발견은 수학적인 실마리가 없었다면 이루어지기 힘들었다.
- 수학의 주요 기능 중 하나는 예측이다.
천체의 움직임에 대한 이해를 수학으로 설명한 후에 천문학자들은 일식과 월식현상, 그리고 혜성이 주기적으로 지구 근처로 돌아온다는 사실을 깨닫게 되었다.
태양과 지구와 달의 상대적인 위치 변화로 인한 밀물과 썰물. 그를 통해 과학자들은 몇 년 앞서 조수간만을 예측할 수 있었다.
- 그 밖에 수학은 비행기의 최적화 경로, 비행기 레이더 화상을 제공하는데 사용되는 신호처리 방식, 텔레비전의 3차원 기하학, 인공위성을 이용해서 텔레비전 신호를 전송하는 부호와 방법, 인공위성의 궤도 운동을 가능케 하는 방정식 등에 사용된다.
- 그럼에도 불구하고 우리는 새로운 수학이 바로 금전적인 이득과 연결될 것으로 기대해서는 안된다.
수학적 개념이 공장에서 생산되거나 가정에서 이용할 수 있는 무언가로 바뀌기까지는 많은 시간이 걸리게 마련이다.
그것도 아주 오랜 시간이 필요하다.
- ’호기심에 의한 연구’라는 말 자체가 상상력이라고는 전혀 없는 관료들이 그런 유형의 연구를 의도적으로 깍아내리기 위해 극히 최근에 만들어낸 말이다.
확실한 단기 이익을 주는 깔끔한 프로젝트를 향한 그들의 열망은 지극히 어리석은 것이다.
목표지향적인 연구는 예상 가능한 결과물만을 내놓기 때문이다.
- 진정 중요한 돌파구는 항상 예측하지 못한 곳에서 나오게 마련이다.
전혀 새로운 방법과 접근 방식이 의미를 갖는 이유가 바로 이 예측 불가능성이다.
3. 수학의 대상
- 수학의 대상은 가장 기본적으로 ’수(Number)’다.
’수’는 자연수, 정수, 유리수, 무리수, 실수, 복소수로 이루어진다.
- 그 다음 대상은 연산과 함수(Function)다.
- 그 다음은 증명...
전문적인 수학자는 어떤 사실이 논리적 오류를 일으킬 가능성이 전혀 없음이 입증되지 않는 한 어떤 진술도 참이라고 간주하지 않는다.
4. 변화의 상수
- 카오스와 복잡성(complexity)의 과학은 그동안 밝혀지지 않았던 역명제를 제기하고 있다.
그것은 "변화가 법칙을 생성한다"는 것이다.
- 달:지구:태양으로 이루어진 계의 운동을 흔히 ’3체 문제(three-body problem)’라고 부른다.
뉴턴 이래 3세기 이상의 기간에 엄청난 노력에도 불구하고 수학자들는 아직도 3체 문제에 대한 만족할 만한 해답을 얻지 못했다.
- 1994년 3체로 이루어진 계는 적분이 불가능하다는 것이 증명되었다.
그리고 그런 계가 아르놀드 확산이라는 신기한 현상을 나타낸다는 것도 증명되었다.
아르놀드 확산이란 상대적인 궤도 위치에서 극도로 느리고 임의적인 드리프트(흐름)을 일으킨다.
그런데 이 드리프트는 실제로는 임의적이지 않다.
- 그것은 오늘날 카오스라고 알려져 있는 행동 유형의 한 보기이다.
’카오스’란 순수하게 결정론적인 원인에 의해 나타나지만 겉으로는 임의적인 것처럼 보이는 행동을 말한다.
- 수학자들은 오늘날 공식으로 포착할 수 없는 풀이에 정성적인 측면들이 존재한다는 것을 증명했다.
오늘날에는 운동의 주된 정성적인 측면들을 직접적이고 훨씬 정확하게 다룰 수 있는 이론을 통해 답을 구할 수 있게 되었다.
정성적인 이론을 향한 이 움직임은 퇴행이 아니라 크나큰 진보이다.
- 역사상 처음으로 수학자들은 패턴들을 그 고유한 모습 그대로 이해하기 시작한 것이다.
5. 바이올린에서 비디오까지
- 텔레비전은 순수수학과 응용수학이라는 수학의 두 측면이 한데 결합해서 두 분야가 독자적으로 얻을 수 있는 것보다 훨씬 강력하고 중요한 결과를 낳은 본보기이다.
- 텔레비전의 발명은 16세기까지 거슬러 올라간다.
그것은 바이올린의 현의 진동에 얽인 문제에서 시작된다.
- 바이올린의 현의 진동은 파동방정식을 이끌어냈다.
그 파동방정식은 정확하게 ’편미분방정식’이다.
- 전자기방정식은 전기장과 자기장의 변화 사이를 네 가지 미분 방정식으로 설명한다.
그 전자기파가 무선전신으로 이어지고 결국 레이더, 텔레비전, 비디오테이프의 발명까지 이르게 되었다.
- 수학은 단순한 예를 보편화시켜서 실세계의 복잡성에까지 확대할 수 있게 해준다.
6. 대칭붕괴
- 대칭은 우리의 시각에 강력한 호소력을 발휘한다.
따라서 우리가 느끼는 미적 감각에서 중요한 역할을 담당한다.
그런데 완전한 대칭은 반복적이고 예측이 가능한 한편 우리의 정신은 놀라움을 좋아한다.
구로 우리는 종종 불완전한 대칭 겨시 정확한 수학적 대칭 만큼이나 아름답다고 느낀다.
- 자연계 속에서 무수히 발견되는 두드러진 패턴들은 모두 대칭이다.
다른 한편으로 자연은 지나친 대칭성에 대해서는 불만을 갖는 것 같다.
자연 속의 거의 모든 대칭적 패턴들은 실제로 그 패턴들을 만들어내는 원인에 비해 덜 대칭적이기 때문이다.
- 자연의 대칭은 소립자의 구조에서부터 거대한 우주에 이르기까지 모든 규모에서 발견된다.
메탄 분자는 중심에 하나의 탄소 원자와 그 주위에 4개의 수소 원자들을 가진 사면체 구조이다.
벤젠은 정육각형으로 이루어진 6겹 대칭이다.
버크민스터풀러렌 분자는 60개의 탄소 원자로 된, 끝이 잘린 20면체이다.
생물을 구성하는 세포의 깊숙한 내부에는 중심체라를 구조가 있다.
중심체의 구조는 대칭적이고 그 내부에는 중심립이라는 두 가지 구조가 서로에 대해 직각 방향으로 들어있다.
각각의 중심립은 원통 모양이고 27개의 미소관으로 이루어진다.
이 미소관들은 세로 방향으로 3개씩 완전한 9배 대칭을 이루고 있다.
유행성 감기를 일으키는 바이러스는 나선형이다.
- 자연은 바이러스의 여러 가지 형태 중에서 이십면체를 가장 선호한다.
그 보기로는 포진, 수두, 사마귀, 개에게 전염되는 바이러스성 간염, 순무에서 일어나는 황색모자이크병바이러스, 아데노바이러스이다.
- 우리가 자연 속에서 관찰하는 대칭성은 대량 생산된 우주의 광대한, 보편적 대칭성이 붕괴되고 남은 흔적이다.
잠재적인 의미에서 우주는 가능한 상태들의 방대한 대칭적 계들 중 어느 하나든지 될 수 있다.
그러나 실제로 우주는 그 중 하나를 선택해야 한다.
그 선택과정에서 우주는 관찰 불가능한 잠재적 대칭성을 위해 일부 대칭성을 포기하지 않을 수 없다.
자연의 대칭적인 패턴의 대부분은 이러한 보편적인 메커니즘의 부분적인 변형으로 우리에게 모습을 드러내는 것이다.
- 대칭 붕괴의 수학은 일견 전혀 동떨어진 것처럼 보이는 여러 가지 현상들을 하나로 통합시켜 준다.
대칭 붕괴의 보편성은 생물계와 무생물계가 많은 패턴을 공통적으로 갖는 이유를 설명해준다.
생명 그 자체는 대칭 창조-그리고 복제-의 과정이다.
7. 생명의 리듬
- 자연은 리듬 그 자체이다. 그리고 그 리듬은 무수히 많고 다양하다.
자연의 리듬은 표면에 드러나지 않으면서 스스로 유지된다.
거기에는 특별한 일이 발생하지 않는 한 계속 작동하는 정해진 패턴이 있다.
그러나 필요할 때 작동해서 즉각적인 요구에 자신의 리듬을 맞추는 복잡하고 정교한 제어 메커니즘도 있다.
- 이런 종류의 제어가능한 리듬들은 보행 동작에서 흔하게 나타난다.
다리를 가진 동물들에게서 의식적인 제어가 작동하지 않을 때 나타나는 지정된 운동 패턴을 보조(gait)라 한다.
동물의 개체에서 나타나는 생물학적 상호 작용은 집단에서 일어나는 그것과 상당한 차이를 갖지만, 그 밑에는 수학적 통일성이 내재하고 있다.
- 생물학적 주기 뒤편에 숨어있는 조직원리는 진동자(oscillator)라는 수학적 개념이다.
진동자란 자연적인 역학이 그 동일 패턴을 끝없이 반복시키는 단위이다.
생물학은 상호 작용을 통해 복잡한 행동 패턴을 만들어 내는 진동자들로 이루어진 거대한 ’회로(circuit)’를 설명하는 학문이다.
- 왜 계들은 진동하는가?
그것은 가만히 있고 싶지 않거나 가만히 있을 수 없을 때 사람이 할 수 있는 가장 단순한 일이 그것이기 때문이다.(??)
- 동물의 보행과 동기화가 우리에게 주는 가장 큰 메시지는 자연의 리듬이 종종 대칭적으로 연결되며,
그때 나타나는 패턴들은 대칭 붕괴의 보편 원리에 힘을 빌려 수학적으로 분류될 수 있다는 것이다.
또, 우리가 흔히 수학적이라고 생각하지 않는 자연의 여러가지 측면들을 수학이 보여준다는 점이다.
8. 신과 주사위
- 아이작 뉴턴이 남긴 지적인 유산은 우주가 그것이 탄생한 시점부터 작동을 시작해,
그 이후 충실한 기계처럼 미리 정해 준 홈을 따라 한 치의 오차도 없이 작동해 온 시계장치라는 상(像)이다.
- 양자역학이 가장 작은 미시 규모에서 나타나는 불확정성에 대해서 효력을 발휘할 수 있다고 하더라도,
시간과 공간의 거시 규모에서 우주는 결정론적 법칙을 따른다.
이런 현상은 ’결어긋남(decoherence)’이라고 불리는 효과의 결과이다.
이 효과는 충분히 큰 규모의 양자적 계가 거의 모든 불확정성을 상실하고 뉴턴적 계와 비슷하게 행동하도록 만든다.
- ’초기 조건에 대한 민감성’은 현상과 실험을 예측 불간응한 무엇으로 바꾸어 놓는다.
’초기 조건에 대한 민감성’의 과학적 용어가 ’나비효과(butterfly effect)’다.
그 때문에 초기 조건에 민감한 반응을 나타내는 계를 ’카오스적’이라고 한다.
카오스적인 운동은 결정론적 법칙에 따른다.
그러나 그 움직임이 너무 불규칙하기 때문에, 전문적인 훈련을 받지 않은 사람의 눈에는 거의 임의적인 것처럼 보일 정도이다.
카오스는 분명 복잡하고 겉보기로는 아무런 패턴을 갖지 않는 움직임처럼 보이지만,
실제로는 매우 단순하고 결정론적인 설명이 가능하다.
- 앙리 푸앙카레는 처음으로 위상공간을 발명해냈다.
위상 공간은 어떤 동역학적 계의 가능한 모든 운동을 나타내는 수학적 가상 공간이다.
푸앙카레의 이대한 혁신의 결과로 동역학이 끌개(attractor)라 불리는 기하학적 형태로 시각화될 수 있었다.
- 카오스의 발견으로 그동안 법칙과 그 법칙들이 만들어 내는 움직임 사이의 관계(인과관계)에 대한 우리의 이해에 근본적이 오해가 있었다는 사실이 밝혀졌다.
우리는 결정론적 원인이 반드시 규칙적인 결과를 낳는다고 생각했는데 익숙해 있었지만,
이제는 결정론적 원인이 자칫 임의성으로 잘못 해석될 만큼 불규칙한 결과를 낳을 수 있다는 것을 알게 되었다.
또한, 단순한 원인이 복잡한 결과를 낳을 수 있다는 것도....
그리고 우리는 법칙을 이해했다고 해서 미래의 행동을 예측할 수 있는 것이 아니라는 사실도 깨달았다.
- 카오스는 임의적인 것이 아니다.
’겉보기로는’ 임의적인 움직임인 것 같지만 엄밀한 법칙에 의해 나타나는 움직임이다.
카오스는 숨겨진 질서의 한 형태이다.
- 카오스에 관해 최종적으로 풀리지 않은 문제는 양자라는 불가사의한 세계일 것이다.
초끈이론은 종래의 양자역학과 마찬가지로 ’끈의 진동’의 불확정성을 순전히 임의적인 것으로 간주한다.
만약 양자적 불확정성을 만들어내는 방법을 알 수 있다면,
초끈 이론의 유리한 특성들을 가지면서 동시에 내부 변수가 카오스적으로 움직이게 하는 구조를 새롭게 만들 수 있을 것이다.
9. 물방울, 동역학 그리고 데이지꽃
- 인류의 주류 이론은 뉴턴의 역학, 상대성 이론, 양자역학, 만물의 이론(the theory of everything)으로 이어져 왔다.
- 최근 들어 종전까지의 방법과는 근본적으로 다른 접근 방법이 등장했다.
그것은 바로 ’복잡성이론(complexity theory)’이다.
복잡성 이론의 중심 개념은 무수한 구성 부분들의 상호 작용에서 대규모적인 단순성이 창발된다는 것이다.
- 그 사례로는 물방울의 형태, 동물 집단의 동역학적인 움직임, 식물의 꽃잎과 연관된 기이한 수비학적 패턴이 있다.
- 물방울이 수도꼭지에서 떨어질 때 취하는 형태는 매우 특이하다.
물방울이 분리되기 전에 길쭉한 뜨개질 바늘과 같은 모양이 생겨난다.
점성도가 높아지면 두 번째 뜨개질 바늘이 생겨나고 거기에 동근 오렌지가 매달린 모습이 된다.
점성도가 점점 높아지면 세 번째 뜨개질 바늘이 생겨난다.
계속 점성도가 높아지면 계속 가느다란 실이 무한히 증가하게 된다.
- 동물의 집단 동역학(population dynamics)을 ’셀룰러 오토마톤(cellular automaton)’으로 실험하면,
(셀룰러 오토마톤이란 일종의 수학적 컴퓨터 게임과 비슷하다.)
중간 규모의 토끼 집단의 동역학의 94%가 4차원 위상 공간 속의 카오스적 끌개에서 나타나는 결정론적 운동으로 설명될 수 있었다.
즉, 겨우 4개의 변수를 가진 미분 방정석이 토끼 집단의 동역학의 주요 특성들을 단지 6% 오차로 포괄할 수 있다는 뜻이다.
이 실험에 대한 속 깊은 의미는 간단한 대규모적인 특성들이 복잡한 생태 게임의 미세한 구조를 창발할 수 있으며, 실제로 그렇게 한다는 것이다.
- 꽃잎의 숫자...
식물에서 나타나는 수는 여러 가지 수학적 규칙성을 보여준다.
그 규칙성들이 이른바 피보나치 수열의 시초를 형성한다.
이는 문제의 숫자가 임의적인 유전 명령보다 수학적인 어떤 메커니즘에 의해 나타난다는 것이다.
그 메커니즘으로 가장 가능성이 높은 후보는 식물의 성장 과정에 작용하는 일종의 동역학적 제약일 것이다.
그리고 그 결과 자연스럽게 피보나치 수열이 나타나는 것이다.
꽃잎의 수는 모든 원시 세포 사이에서 일어나는 복잡한 동역학적 상호 작용의 결과이다.
그 수는 황금각을 통해 우연히 피보나치 수열로 연결된다.
저자는 책의 후기에서 자신이 꿈꾸는 ’형태수학(morphomatics = morphology + mathematics)에 대해 설명한다.
그 파편들은 동역학적 계, 카오스, 대칭 붕괴, 프랙털, 셀룰러 오토마톤 등이다.
그것은 자연의 패턴이 ’창발적인 현상(emergent phnomena)’라는 메세지라 정의하면서 시작된다.
그 패턴들이 자연이 지닌 심오한 단순성의 간접적인 산물이라는 데는 의심의 여지가 없다는 것...
그리고 인류가 그 패턴의 창발성을 이해하고자 한다면, 과학에 대한 새로운 접근방법이 필요하다고 주장한다.
"이제 새로운 수학이 꽃피울 시기가 무르익었다.!!!! "
동역학적계,
카오스,
프랙털,
대칭붕괴,
셀룰러오토마톤
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자연의 패턴
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